금리기간구조 아핀모형

1. 개요 Introduction

이자율의 기간구조(term structure)를 모형화하는 데는 여러 종류의 이자율 모형이 쓰인다. 대표적으로 (1) 단기금융시장에서 널리 쓰이는 시장모형(market models), (2) 채권시장에서 널리 쓰이는 아핀 기간구조 모형(affine term structure models), (3) 채권과 단기금융시장 양쪽에 적용되는 HJM(Heath–Jarrow–Morton) 모형이 있다.

채권시장에서 기간구조는 만기와 표면이자율이 서로 다른 여러 채권의 집합으로 결정된다. 일부 채권만 유동적이어서 나머지 채권은 매도·매수 호가 차이(bid–ask spread)가 클 수 있고, 거래 빈도가 일정하지 않아 이전 거래가격과 직후 거래가격이 크게 차이 날 수도 있다. 이런 상황에서는 시장의 모든 채권 가격을 정확히 재현하는 것이 불필요·부적절하며 심지어 불가능할 수도 있다. 대신 모형이 시장 대부분의 채권에 근사적으로 맞기만(유동성 높은 채권에는 더 정밀하게) 하면 충분하다. 따라서 다양한 시장가격을 재현하는 능력보다 다루기 쉬움(tractability)을 중시하는 모형이 정당화되며, 아핀모형이 바로 이 목적에 이상적이다.

2. 아핀 프레임워크 The Affine Framework

시각 t에 만기 T(>t)인 순할인채권(pure discount bond)의 가격을 B(t,T)로, 만기까지의 시간을 τ = T − t로 쓴다. 어느 순간의 기간구조를 결정하는 N개의 확률적 상태변수(state variables) X_t = (X₁, …, X_N)가 있다고 하자. 미래의 진화가 현재 상태값에만 의존하는 마르코프(Markov) 세계를 가정하면, 일반성을 잃지 않고 채권가격을 어떤 함수 φ로 쓸 수 있다.

일반적으로 φ는 해석적 형태를 갖지 않을 수 있다. 이때 두 가지 방향이 있다. 하나는 상태변수가 따르는 과정과 기간구조와의 관계를 먼저 지정하고 그로부터 φ를 유도하는 것이다(흔히 수치적으로만 계산 가능). 다른 하나는 φ의 형태를 먼저 지정하고, 차익거래 없는(무차익) 틀 안에서 그와 일관되는 상태변수 과정을 역으로 도출하는 것이다. 후자가 더 다루기 쉬운데, φ에 대한 해석해를 처음부터 부과하기 때문이다.

아핀모형은 φ가 상태변수 X_i에 대해 아핀(1차)이 되도록 요구하는 가장 단순한 명세이다.

이때 현물이자율(spot rate) r(t,T)는 B(t,T) = exp(−r(t,T)(T−t))로부터 다음과 같이 상태변수의 아핀 함수가 된다.

그리고 순간이자율(short rate) r_t 역시 상태변수의 아핀 함수이다(g는 상수, f는 계수 벡터).

수익률이 이런 형태를 갖도록 요구하면 상태변수가 따르는 과정은 강하게 제약된다. Duffie와 Kan은, 수익률이 아핀이 되려면 상태변수 벡터 X_t가 다음 형태의 확률미분방정식(SDE)을 따름을 보였다.

여기서 z_t는 N차원 위너과정(Wiener process), V_t는 각 성분이 √(α_i + β_i^⊤X_t) 꼴인 대각행렬이다. 이 형태의 과정이 주어지면 함수 A_i를 얻기 위해 다음과 같은 리카티(Riccati) 미분방정식을 풀면 된다(경계조건 A(T,T)=0).

이 방정식은 때로는 해석적으로 풀릴 수 있고, 그렇지 않더라도 수치적으로 쉽게 풀 수 있다. 결과적으로 채권가격은 상태변수의 아핀 함수를 지수에 올린 꼴이 된다.

3. 위험중립 가치평가 Risk-neutral Valuation

별도로 명시하지 않는 한, 과정은 누적계좌(accumulator/cash account)를 기준으로 하는 위험중립 마팅게일 측도(spot martingale measure) 아래에서 주어진 것으로 가정한다. 그래야 가격 공식에 위험의 시장가격(market price of risk)이 따로 등장하지 않는다. 이 측도 아래에서 채권가격은 만기의 액면(=1)을 순간이자율로 할인한 값의 기대값으로 표현된다.

4. 아핀모형의 예: 단일인자 모형 Examples: One-factor Models

모형이 관측된 시장 특징에 정확히 맞도록, 흔히 일부 모수를 시간의 함수로 두어 시장가격과 맞추고자 한다. 대표적인 두 가지 정규(canonical) 단일인자 모형은 다음과 같다. 첫 번째는 바시첵(Vasicek) 모형이다.

두 번째는 (α=0인 경우의) Cox–Ingersoll–Ross(CIR) 모형로, 변동성에 제곱근항 √r_t가 들어간다.

두 모형에서 κ는 평균회귀(mean reversion) 속도, θ는 장기 평균 수준, σ는 변동성이다. 바시첵 모형에서는 θ를 시간 의존적으로 만들어(확장 바시첵/Hull–White) 관측된 기간구조를 정확히 재현할 수 있다. 상수 모수를 가진 M0(1) 바시첵 모형의 현물이자율은 다음과 같이 명시적으로 주어진다.

여기서 장기이자율 l은 상수로

이고 r_t = r(t,t)는 순간이자율이다. CIR 모형에서도 현물이자율에 대한 명시 해가 있으며, γ = √(κ² + 2σ²) 등의 항으로 표현된다.

5. 모형의 분류와 다인자 모형 Classification and Multifactor Models

Dai와 Singleton은 선형변환·재조정에 기초한 동치 개념을 이용해 아핀모형을 분류했다. N인자 모형에는 본질적으로 서로 다른 N+1개의 정규 모형 M_m(N)(0 ≤ m ≤ N)이 있으며, 모든 아핀모형은 그 중 하나의 특수한 경우이다. 이 분류는 변동성 행렬 β의 계수(rank), 즉 변동성에 등장하는 상태변수의 개수로 결정되는 불변량이다.

실무에서는 다인자 모형이 단일인자 모형보다 유연하다. 특히 가우시안 형태(M0(N))의 2·3인자 모형은 채권·옥션 가격의 닫힌 해가 있고 수치계산도 간단해 채권시장에서 널리 쓰인다. 예를 들어 2인자 가우시안 모형 r_t = φ(t) + x_t + y_t 에서 결정적 함수 φ(t)는 현재 수익률곡선에 정확히 맞추도록 선택된다. 이처럼 아핀모형은 유연성과 다루기 쉬움을 겸비해 실무의 금리위험관리에 크게 기여한다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 기간구조 (term structure) — 만기별 이자율의 구조. 수익률곡선으로 나타난다.
• 아핀모형 (affine model) — 채권의 로그가격·수익률이 상태변수의 1차(아핀) 함수가 되도록 만든 이자율 모형.
• 순할인채권 (pure discount bond) — 이자 없이 만기에 액면 1을 주는 채권. 그 가격이 할인계수 B(t,T).
• 순간이자율 (short rate) r_t — 지금 이 순간의 초단기 이자율.
• 상태변수 (state variables) — 기간구조를 결정하는 확률적 요인들. 현물이자율의 아핀 결합으로 해석될 수 있다.
• 확률미분방정식 (SDE) — 드리프트(추세)과 확산항(변동성·위너과정)으로 쓰는 확률과정 방정식.
• 리카티 방정식 (Riccati ODE) — 미지함수의 2차항을 포함하는 1계 비선형 상미분방정식. 계수함수 A, B가 이를 만족한다.
• 바시첵 모형 (Vasicek) — 평균회귀 + 상수 변동성의 가우시안 순간이자율 모형. 음의 이자율을 허용.
• CIR 모형 (Cox–Ingersoll–Ross) — 변동성에 √r_t를 둔 제곱근 모형. 음의 이자율을 허용하지 않는다.
• 위험중립 마팅게일 측도 (risk-neutral / martingale measure) — 가격을 순간이자율로 할인한 기대값으로 쓸 수 있게 하는 확률측도.
• 평균회귀 (mean reversion) — 이자율이 장기 평균 수준 θ로 되돌아가려는 성질(속도 κ).

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

아핀 기간구조 모형은 국내 보험계리에서 보험부채 평가와 자산부채관리의 토대다. IFRS17은 보험부채를 무위험 금리 기간구조(국고채 수익률에 유동성프리미엄을 더한 할인곡선)로 할인하도록 요구하고, K-ICS는 금리위험을 만기별 금리충격으로 측정한다. 두 경우 모두 만기별 금리를 일관되게 모형화해야 하며, Vasicek·CIR·Hull–White·G2++ 같은 아핀모형이 경제적 시나리오 생성기(ESG)의 금리 모듈로 널리 쓰인다.

특히 변액보험 최저보증, 금리연동형 상품의 옵션·보증 평가에는 다수의 금리 시나리오가 필요한데, 아핀모형은 채권·스왑 가격을 닫힌형 또는 준닫힌형으로 주어 시나리오 산출을 효율화한다. 본문이 강조한 '몇 개의 상태변수로 곡선 전체를 설명한다'는 성질이 국내 ESG 보정(calibration)에서도 핵심이다.