금융경제학

1. 개요: 재보험에서 주식시장으로 Introduction

금융경제학(financial economics)은 불확실성 아래에서 자원과 위험이 시장을 통해 어떻게 배분·가격결정되는지를 연구하는 분야다. 흥미롭게도, 재보험시장에서의 최적 위험배분 이론 상당 부분은 그대로 주식시장에 적용될 수 있다. 보험 위험교환 모형과의 가장 큰 차이는, 보통주(common stock) 시장에서는 선형(linear) 위험분담만 허용된다는 점이다. 어떤 상황에서는 이러한 선형 분담도 파레토 최적일 수 있으나, 일반적으로는 그렇지 않다. 그럼에도 경쟁균형(competitive equilibrium)이 존재하는 것은 충분히 가능하다.

고전경제학은 각자 자기 이익을 좇는 수많은 개인의 활동을 시장이 어떻게 조정하는지를 설명하고자 했다. 200년에 걸친 고전적 사고의 우아한 종합이 바로 일반균형이론(general equilibrium theory)이다. 그 핵심 메시지는, 경제 안의 모든 재화·서비스에 대해 시장과 그에 따른 가격이 존재하고, 외부효과·공공재가 없으며, 정보의 비대칭이나 시장지배력이 없다면, 경쟁시장이 자원을 효율적으로 배분한다는 것이다.

2. 1기간 금융모형 The Financial Model

분석은 1기간(one-period) 모형으로 한정한다. 시점은 0과 1 두 개이고, 소비재는 하나이며, 소비는 최종 시점 1에서만 이뤄진다. 이 단순함의 핵심은, 일반모형의 복잡한 요소를 모두 추상화하고 각 경제주체에 대해 단 두 가지만을 원초적인 것으로 둔다는 데 있다. 즉 (1) 그의 선호 순서(preference ordering)와 (2) 외생적으로 주어진 미래 소득이다. 선호 순서는 미래의 불확실한 소비의 변동성에 대한 그 사람의 태도, 곧 그의 위험회피(risk aversion)를 나타낸다.

소득의 특징은, 그것이 자연의 불확실한 상태(states of nature)들에 걸쳐 고르게 분포하지 않는다는 점이다. 금융계약(financial contract)은 미래 소득에 대한 청구권이다. 바로 여기에 금융시장의 논리가 있다. 이런 청구권을 교환함으로써 사람들은 자신의 미래 소득의 모양을 바꾸어, 불확실한 상황들에 걸쳐 더 고른 소비를 얻는다. 직접 그렇게 하지 못하는 이유는 단지, 상태조건부 소비재를 직접 교환하는 시장이 없기 때문이다.

개인 i는 처음에 여러 증권의 지분을 가지고 출발하며, 그가 보유한 초기 부존(endowment)의 시점 1 보수와 예산집합은 다음과 같다. 여기서 Z_n은 증권 n의 시점 1 보수, p_n은 그 가격, θ_n⁽ⁱ⁾는 개인 i가 보유한 증권 n의 비율이다.

θ_n⁽ⁱ⁾가 음수일 수도 있다는 점에 주목하자. 즉 공매도(short selling)가 허용된다. 경제 [(u_i, X_i), Z]의 균형은, 주어진 증권가격 p 아래에서 각 개인이 자신의 기대효용을 극대화하고, 동시에 시장이 청산(market clearing)되는 배분과 가격의 조합이다.

3. 애로 증권과 완전시장 Arrow Securities & Complete Markets

이상적(reference) 모형으로 애로–드브뢰(Arrow–Debreu) 모형을 생각하자. 설명을 위해 상태가 유한개라고 하자. 상태집합을 Ω = {ω₁, …, ω_S}라 하고, 주식들의 N×S 보수행렬을 Z라 하자. 만약 N = S이고 Z가 비특이(nonsingular)라면 시장은 완전(complete)하다. 이는 애로 증권(Arrow security)을 보통주들의 포트폴리오로 만들어낼 수 있음을 보이면 충분하다.

애로 증권이란 특정 상태 ω_s에서 "1단위의 회계가치"를 지급하고 다른 상태에서는 0을 지급하는 청구권이다. Z가 비특이이면, 각 상태 ω_s마다 θ(ω_s) = e(ω_s)Z⁻¹로 정의되는 포트폴리오가 그 애로 증권을 정확히 복제한다. 따라서 완전한 애로 증권의 집합을 구성할 수 있고, 그러면 시장구조가 완전해진다.

1기간 모형에서는, 보수 Z가 연속분포를 갖거나 상태가 무한·가산이면 시장은 완전할 수 없다. 유한한 경우에도 Z의 계수(rank)가 상태 수 S보다 작으면 완전하지 않다. 다만 불완전한 모형에 옵션을 추가하면 모형을 완전하게 만들 수 있는 예가 흔하다.

4. 일반 가격결정 원리: 오일러 방정식 Some General Pricing Principles

각 개인의 최적화 문제에서 예산제약을 목적함수에 대입하고 라그랑지안을 세운 뒤 1계 조건을 구하면, 균형에서 각 증권의 가격은 다음을 만족한다. 여기서 Y_i는 개인 i의 최적 보수, α_i는 라그랑주 승수다.

이는 확률적 할인요소(stochastic discount factor)·상태가격 형태의 가격결정식이다. 즉 증권의 가격은 그 보수에 한계효용을 곱해 기대값을 취한 것에 비례한다. 자산 n의 수익률을 R_n = Z_n/p_n이라 하면, 각 개인 i에 대해 임의의 두 자산 n, m 사이에 다음 오일러(Euler) 관계가 성립한다.

모든 상태에서 소비재 1단위를 지급하는 무위험자산(0번 자산)이 순공급 0으로 존재한다고 하자. 그러면 무위험수익률 R₀과 무위험이자율 r_f는 다음과 같이 정의된다.

이로부터 임의의 자산에 대해 다음이 성립함을 보일 수 있다. 이는 균형에서 어떤 자산의 위험프리미엄은, 그 자산의 수익률과 균형배분의 (정규화한) 한계효용 사이의 공분산에 비례한다는 뜻이다.

수익률이 다변량 정규분포를 따른다고 가정하면, 이 관계 (식 위)로부터 자본자산가격결정모형(CAPM)을 유도할 수 있다.

5. 무차익조건과 상태가격 디플레이터 No-Arbitrage Restrictions

CAPM의 다소 제약적인 가정에 의존하는 대신, 상태가격 디플레이터(state-price deflator)의 존재만으로 비슷한 관계를 끌어낼 수 있다. 무차익(no-arbitrage) 원리는 선형 가격결정 범함수의 근거가 된다. 차익거래란, 가격이 0 이하인데 보수가 (확실히) 양인 포트폴리오, 즉 밑천 없이 위험 없는 이익을 주는 포트폴리오를 말한다.

자산가격결정의 기본정리(Fundamental Theorem of Asset Pricing)는 이렇게 말한다. 무차익이 성립할 필요충분조건은 상태가격 디플레이터가 존재하는 것이다. 즉 P[ξ > 0] = 1인 엄격히 양의 확률변수 ξ가 존재하여, 임의의 포트폴리오 θ의 시장가격이 다음과 같이 쓰인다.

(이 표현은 양의 선형 범함수에 대한 리스(Riesz) 표현정리에서 나온다.) 무차익은 경쟁균형 존재보다 약한 요건이므로, 균형이 존재하면 반드시 무차익이 성립한다. 무위험자산이 있을 때, 상태가격 디플레이터와 최대 상관을 갖는 포트폴리오 θ^*를 도입하면, 일반 CAPM에서 시장포트폴리오가 하던 역할을 θ^*가 대신하여 다음 베타 관계가 성립한다.

이 표현의 장점은 CAPM의 제약적 가정(정규분포·평균분산 선호 등)을 필요로 하지 않는다는 데 있다.

6. 위험중립 가격결정과 현대 청구권 평가 Risk-neutral Valuation

포트폴리오의 시장가치를 구하려면 기대보수를 기대수익률로 나누면 된다(아래 왼쪽). 분모의 위험조정 기대수익률은 앞의 베타 관계로 계산하며, 이는 1960년대 중반 이후 금융에서 써온 친숙한 방법이다.

이와 대비되는 것이 현대 청구권 평가이론(contingent claims valuation)이다. 여기서는 분모 대신 분자를 위험조정한다. 즉 주어진 확률측도 P와 동등한 위험조정(위험중립) 확률측도 Q 아래에서 보수의 기대값을 취하고, 분모에는 무위험수익률 R₀을 쓴다.

두 방법 모두 차익거래의 부재와 상태가격 디플레이터의 존재를 필요로 한다. 어느 쪽이 실무에서 더 간단한지는 상황에 따라 다르다.

7. 불완전시장과 효율성, 균형의 존재 Incomplete Markets & Existence

거래가능 부분공간 M(보통주로 만들 수 있는 보수들의 집합)이 전체 공간 L²와 같지 않으면 모형은 불완전(incomplete)하다. 이 경우에도 균형이 존재하면 무차익이 성립하고 엄격히 양인 상태가격 디플레이터 ξ가 존재한다. 다만 이때 균형은 제약된 파레토 최적(constrained Pareto optimal)에 그칠 수 있다. 즉 배분이 거래가능 부분공간 M 안에 있어야 한다는 제약 아래에서만 최적이다.

핵심 결과(정리)는 다음과 같다. 불완전 금융모형에서 균형이 존재하면, 균형에서 증권가격은 각 개인이 자기 한계대체율을 거래가능 부분공간 M 위로 사영(projection)한 값이 서로 같아지도록 결정된다. 직교사영을 쓰면 ξ, ξ̃, ξ_i의 M 위 사영이 모두 일치한다.

균형의 존재는 의외로 비교적 최근에야 다뤄졌다. 평균분산 선호를 가정하면 평균분산 균형의 존재를 보일 수 있고(정리: 모든 i에 대해 E(X_i) > 0이고 Z_M이 상수가 아니면 균형 존재), 효용이 평균·분산에 선형(2차 효용)이면 균형은 존재하고 유일하다. 일반적으로는 재보험시장 균형 ↔ 무차익 균형 ↔ 금융시장 균형의 연결을 통해, 무차익 균형이 존재하면 금융시장 균형이 존재함을 보일 수 있다. 이때 무한차원 양의 원뿔(positive cone)의 내부가 비어 있어 표준 분리정리를 쓸 수 없는 어려움이 있으며, 이를 다루는 핵심 개념이 선호의 적정성(properness)이다.

8. 고유위험과 주식시장 위험 Idiosyncratic & Stock-Market Risk

소비자는 초기 부존 X_i의 불확실성을 일부는 주식시장으로 다루지만, 주식시장에서 헤지할 수 없는 중요한 위험들이 남는다. 화재·도난·자동차 사고 같은 재물손해, 노동소득의 불확실성, 수명의 불확실성 등이다. 이런 고유위험(idiosyncratic risk)을 다루기 위해, 보험료를 내고 경제적 결과를 일부 넘길 수 있는 보험시장과, 실업보험과 함께 노동소득을 어느 정도 고르게 해주는 사회보장 체계가 존재한다고 가정한다.

주식시장만 보면 모형은 불완전하고 비효율적이지만, 보험까지 포함한 전체 시장이 완전하면, 소비자는 여전히 파레토 최적 배분을 얻을 수 있다. 이때 작동하는 상태가격 디플레이터는 (불완전한 주식시장만의 ξ̃가 아니라) 전체에 공통인 ξ이다. 주식시장의 최적 배분은 보험으로 보완되어야 최종 균형배분 Y_i가 완성된다.

9. 결론 Conclusions

금융의 많은 결과는 고전적 재보험 이론의 귀결로 볼 수 있다. Karl H. Borch는 1940~50년대 불확실성의 경제학에 기여하고 또 거기서 빌려왔다. 당시 대부분의 경제학자들에게는 애로–드브뢰의 일반균형이론 재정식화가 실제 경제와 너무 동떨어져 보였지만, Borch는 그 모형이 재보험시장을 꽤 정확히 묘사한다는 것을 발견했다. 이 글은 불완전시장에서의 금융시장 균형을 연구할 때, 재보험 모형을 출발점으로 삼는 것의 유용함을 보이고자 했다 — 영향이 주로 금융에서 보험으로 갔다는 통념에 대한 작은 균형추로서.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 경쟁균형 (competitive equilibrium) — 각자 가격을 주어진 것으로 받아들이고 최적화하며, 모든 시장에서 수요=공급이 되는 가격·배분 상태.
• 파레토 최적 (Pareto optimality) — 누군가의 만족을 낮추지 않고는 다른 사람의 만족을 높일 수 없는, 더 개선할 수 없는 배분 상태.
• 위험회피 (risk aversion) — 같은 기대값이면 변동이 작은 쪽을 선호하는 태도. 효용함수가 오목한 것으로 표현된다.
• 애로–드브뢰 모형 / 애로 증권 (Arrow–Debreu / Arrow security) — 각 상태마다 1단위를 지급하는 기본 청구권으로 모든 위험을 거래하는 이상적 완전시장 모형.
• 완전시장·불완전시장 (complete / incomplete markets) — 모든 상태조건부 보수를 만들 수 있으면 완전, 거래가능 보수가 부족하면 불완전.
• 상태가격 디플레이터 / 확률적 할인요소 (state-price deflator / SDF) — 미래 보수에 곱해 기대값을 취하면 현재가격이 나오는 엄격히 양의 확률변수 ξ.
• 오일러 방정식 (Euler equation) — 최적화의 1계 조건. 한계효용으로 할인한 자산수익률의 기대가 자산 간에 같아야 한다는 관계.
• 무차익 / 자산가격결정 기본정리 (no-arbitrage / FTAP) — 밑천·위험 없는 이익이 불가능하다는 조건. 무차익 ⇔ 상태가격 디플레이터 존재.
• 위험중립측도 (risk-neutral measure Q) — 무위험율로만 할인하면 가격이 나오도록 실제 확률을 위험조정한 확률측도. dQ/dP = ξ·R₀.
• CAPM (자본자산가격결정모형) — 자산의 기대초과수익이 시장포트폴리오에 대한 베타에 비례한다는 평균분산 균형모형.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

금융경제학은 한국 보험사 자산운용과 K-ICS 내부모형의 이론적 기반이다. 무차익거래 원칙과 위험중립 가격 결정은 국내 보험사가 파생상품(금리스왑·통화선물·ELS)을 공정가치로 측정하는 방법론의 핵심이다. IFRS17에서 보험부채 할인율에 적용되는 유동성 프리미엄 조정도 금융경제학의 자산 가격 결정 이론을 응용한 것이다.

효율적 시장 가설(EMH)과의 관계에서, 국내 보험사 자산운용 부서는 완전 효율적 시장보다는 반강형(semi-strong form) 효율성 정도가 성립한다는 전제 아래 운용한다. 이는 공개 정보를 체계적으로 분석하면 시장 평균 대비 초과수익을 얻을 수 있다는 믿음에 기반하며, 신용분석·섹터 로테이션·대체투자 기회 탐색 등이 이 관점에서 이루어진다. CAPM 기반 베타 관리는 K-ICS 주식위험 요구자본 산출에도 직접 연계된다.

금융경제학의 기대효용 극대화 프레임은 보험 가격 결정(보험 계약의 공정 보험료), 재보험 의사결정, 캡티브 전략 설계 등에 이론적 근거를 제공한다. 국내에서는 캡티브가 아직 도입되지 않았지만(단계적 허용 논의 중), 금융경제학에 기반한 위험 전가 구조 설계가 공동재보험과 catastrophe bond 검토에 활용된다.