볼록성 (컨벡시티)

1. 볼록집합 Convex Sets

선형공간 E(예: 실수직선 ℝ 또는 유클리드 공간 ℝ^d)의 부분집합 C가 볼록(convex)하다는 것은 다음을 만족하는 것이다.

즉 어떤 집합이 볼록하다는 것은, 그 집합에 속한 임의의 두 점을 잇는 모든 선분을 부분집합으로 포함한다는 뜻이다. 귀납법으로 쉽게 보일 수 있듯이, 볼록집합 C는 그 점들의 모든 볼록결합(convex combination) Σα_ix_i(α_i ≥ 0, Σα_i = 1)도 포함한다.

실수직선에서는 어떤 집합이 볼록한 것과 그것이 구간인 것은 동치이다. 유클리드 공간에서 볼록집합의 전형적인 예로는 정육면체·공(ball)·반공간(half-space) 등이 있다. 무한차원의 예로 모든 함수 f: ℝ → ℝ의 공간을 생각하면, 음이 아닌 함수 전체·증가함수 전체·연속함수 전체·0에서 전역최소를 갖는 함수 전체는 모두 볼록 부분집합이다. 또한 임의 개수의 볼록집합의 교집합은 다시 볼록집합이 된다.

2. 볼록함수 Convex Functions

C를 볼록집합, f: C → ℝ를 실숫값 함수라 하자. f가 볼록함수(convex function)라는 것은 다음을 만족하는 것이다.

함수 f가 오목(concave)하다는 것은 −f가 볼록하다는 것이다. 등식이 성립하면 f는 동시에 볼록·오목이며 이는 f가 아핀(affine)임을 뜻한다. 기대효용 이론에서 함수의 오목성은 위험회피(risk aversion)를 반영한다. 귀납법으로 위 정의는 임의의 볼록결합에 대한 다음 조건과 동치임을 보일 수 있다.

이산확률변수 X가 P(X = x_i) = α_i를 만족하고 f가 볼록이면, 위 부등식은 f(EX) ≤ Ef(X)를 의미하는데, 이것이 바로 옌센 부등식(Jensen’s inequality)이다.

볼록함수의 또 다른 특징은 에피그래프(epigraph) epi(f) = {(x,y): f(x) ≤ y}가 볼록집합인 것과 동치라는 점이다. 또한 임의 개수의 볼록함수의 상한(supremum)은 다시 볼록이며, 연속·볼록함수는 자신보다 작거나 같은 모든 아핀함수의 상한으로 나타낼 수 있다.

3. 실수직선 위의 볼록함수 Convex Functions on the Real Line

구간 I ⊆ ℝ 위의 함수 f: I → ℝ가 볼록인 것은, 그것이 증가하는 증분(increasing increments)을 갖는 것과 동치이다. 즉 모든 h > 0에 대해 x ↦ f(x+h) − f(x)가 증가한다.

보험계리에서 볼록성의 고전적 응용은 보상함수(indemnity function)를 모형화하는 것이다. 보상함수는 주어진 총손해에 대해 (재)보험자가 지급하는 금액을 나타낸다. 증가하는 증분 성질에 따르면, 볼록성은 추가 손해 h에 대해 (재)보험자가 추가로 지급하는 금액이 이미 발생한 총손해 x의 증가함수가 되도록 보장한다.

볼록함수는 정의역 내부에서 반드시 연속이다(다만 경계에서 위로 점프하는 불연속이 가능). 좌·우 미분 D⁻f, D⁺f는 항상 존재하며 x < y에 대해 D⁻f(x) ≤ D⁺f(x) ≤ D⁻f(y)를 만족한다. 따라서 미분가능한 함수는 도함수가 증가할 때, 두 번 미분가능한 함수는 2계도함수가 음이 아닐 때 볼록이다.

볼록함수는 모든 점에서 지지선(line of support)을 갖는 것으로도 특징지어진다. 즉 f가 볼록인 것은, 고정된 모든 x₀에 대해 다음을 만족하는 어떤 y(부분기울기, subgradient)가 존재하는 것과 동치이다.

4. 유클리드 공간의 볼록함수와 최적화 Convex Functions in Euclidean Space

C ⊆ ℝⁿ이 볼록집합이고 f가 볼록함수이면 f는 C 내부에서 연속이다. 미분가능한 함수 f(기울기 ∇f)가 볼록인 것은 단조성 조건 [∇f(y) − ∇f(x)]^⊤(y − x) ≥ 0과 동치이고, 두 번 미분가능하면 헤시안(Hessian)이 양반정치(positive semidefinite)일 때 볼록이다. 볼록함수는 정의역 내부의 모든 국소극값이 최소이고, 모든 국소최소가 전역최소이며, 전역최소들의 집합이 볼록집합이라는 좋은 성질을 갖는다. 이 때문에 볼록성은 비선형 최적화 이론에서 핵심적 역할을 한다.

5. 옌센 부등식 Jensen’s Inequality

지지선 부등식에서 변수 x를 확률벡터 X로, x₀를 EX로 바꾸고 양변에 기댓값을 취하면 확률론에서 가장 중요한 부등식 중 하나인 옌센 부등식을 얻는다. X = (X₁, …, X_n)가 임의의 확률벡터이고 f가 볼록함수이면

이며, 이는 조건부기댓값으로도 일반화된다(E[f(X) | 𝒢] ≥ f(E[X | 𝒢]) a.s.). 옌센 부등식은 확률분포의 볼록순서(convex ordering) 개념과 연결되며, 위험회피에 대한 직관적 의미를 제공한다.

6. 응용: 채권의 볼록성 Application: Bond Convexity (study aid)

※ 이 절은 원문에는 없으며, 위 수학적 볼록성이 금리위험·면역화에서 어떻게 쓰이는지 보이기 위해 학습용으로 덧붙인 것입니다.

채권가격 P는 만기수익률 y의 함수이며, 그 그래프는 아래로 볼록(convex)하다. 가격-수익률 관계를 y 주위로 테일러 전개하면, 1차 항이 듀레이션(duration), 2차 항이 볼록성(convexity)이다. 볼록성은 다음과 같이 정의한다.

그러면 수익률이 Δy만큼 변할 때 가격변화는 듀레이션 D와 볼록성 C로 다음과 같이 근사된다.

2계도함수가 양(P″ > 0, 즉 볼록)이므로 볼록성 항 +½P C(Δy)²는 항상 가격에 유리한 방향으로 작용한다. 금리가 오르든 내리든, 듀레이션만으로 예측한 가격보다 실제 가격이 더 높아진다. Redington의 면역화에서 자산의 볼록성이 부채의 볼록성을 초과하도록 요구하는 이유가 바로 이것이다(앞 2~3절의 "2계도함수 ≥ 0"이 그대로 적용된다).

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 볼록집합 (convex set) — 두 점을 잇는 선분이 항상 그 안에 들어오는 집합.
• 볼록함수 (convex function) — 현(chord)이 그래프 위에 있는, 아래로 볼록(U자) 함수. f″ ≥ 0와 동치.
• 오목함수 (concave function) — −f가 볼록인 함수(∩자). 오목효용은 위험회피를 나타낸다.
• 아핀함수 (affine function) — 볼록이면서 동시에 오목인 함수(1차식 + 상수).
• 볼록결합 (convex combination) — 음이 아닌 가중치(합 1)로 점들을 평균한 점 Σα_ix_i.
• 옌센 부등식 (Jensen’s inequality) — 볼록함수에 대해 E[f(X)] ≥ f(E[X]).
• 지지선 (line of support) / 부분기울기 (subgradient) — 볼록함수를 아래에서 받치는 직선과 그 기울기.
• 헤시안 (Hessian) — 다변수 함수의 2계도함수 행렬. 양반정치이면 볼록.
• 위험회피 (risk aversion) — 같은 기댓값이면 확실한 쪽을 선호하는 성향. 효용함수의 오목성으로 표현.
• 듀레이션 (duration) — 가격-수익률 관계의 1차(기울기) 항. 금리민감도.
• (채권) 볼록성 (convexity) — 가격-수익률 관계의 2차 항 C = (1/P) d²P/dy². 면역화에서 자산이 부채보다 커야 유리.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

볼록성은 국내 보험사의 금리위험 관리에서 듀레이션과 짝을 이루는 2차 지표다. 보험부채는 만기가 매우 길어 듀레이션이 크고 볼록성도 높은데, 자산(주로 채권)의 듀레이션·볼록성을 부채에 맞추는 것이 자산부채관리의 출발점이다. 본문의 '듀레이션 접선 위로 휘는 정도'는 큰 폭의 금리 변동에서 듀레이션만으로 설명되지 않는 가치 변화를 보정한다.

K-ICS 금리위험은 상·하향 금리충격에 따른 순자산 변화로 측정되므로, 볼록성이 큰 부채를 가진 보험사는 금리 하락 시 부채가 자산보다 더 크게 늘어 요구자본이 악화될 수 있다. 장기채·초장기 국고채 매입, 금리스왑 등이 듀레이션·볼록성 갭을 줄이는 수단으로 활용된다.