비협조게임이론

1. 비협조게임이란 Noncooperative Games

게임이론(game theory)은 여러 의사결정자(경기자, player)가 서로의 선택에 영향을 주고받는 상황에서 합리적 행동을 분석하는 이론이다. 그중 비협조게임이론(noncooperative game theory)은 경기자들이 구속력 있는 합의(binding agreement)를 맺을 수 없다고 보고, 각자가 자기 이익만을 좇아 독립적으로 전략을 선택하는 상황을 다룬다. (반대로 구속력 있는 합의가 가능한 경우는 협조게임이론이 다룬다.)

게임은 경기자 집합 N, 각 경기자 i가 고를 수 있는 행동(전략)의 집합 S_i, 그리고 모든 경기자의 선택 조합에 대해 경기자 i가 얻는 보수(payoff, 효용) u_i로 기술된다. 게임을 보수표(행렬)로 한 번에 나타내면 전략형(strategic / normal form), 누가 언제 무엇을 아는지 시간 순서로 나타내면 전개형(extensive form)이라 한다.

2. 내시균형 Nash Equilibrium

비협조게임의 가장 기본적인 해(解) 개념은 내시균형(Nash equilibrium)이다(Nash [5]). 전략조합 (s₁^*, …, s_n^*)이 내시균형이라는 것은, 어떤 경기자도 다른 경기자들의 전략이 고정된 상태에서 혼자 전략을 바꿔서는 보수를 늘릴 수 없다는 뜻이다. 즉 모든 경기자 i와 모든 대안전략 s_i ∈ S_i에 대해 다음이 성립한다.

여기서 s_−i는 i를 제외한 나머지 경기자들의 전략조합을 나타낸다. 즉 균형에서는 각자의 전략이 상대 전략에 대한 최선응답(best response)이 되어 있어, 일방적 이탈(unilateral deviation)이 이득이 되지 않는다.

3. 전개형 게임과 부분게임 완전성 Extensive Form and Subgame Perfection

게임이 전개형으로 주어지면(시간 순서와 정보가 명시되면), 내시균형 중에는 믿을 수 없는 위협(incredible threat)에 의존하는 것이 있을 수 있다. 즉 실제로 그 상황이 오면 실행하지 않을 위협을 전제로 한 균형이다. 이런 비합리적 균형을 걸러내기 위해 Selten은 부분게임 완전균형(subgame perfect equilibrium)을 제안했다([8, 9]). 이는 전체 게임뿐 아니라 모든 부분게임(subgame)에서도 내시균형이 되도록 요구하여, 실제로 실행될 수 없는 위협을 배제한다.

4. 불완전정보와 베이지안 게임 Bayesian Games

현실에서는 경기자들이 서로의 보수나 유형을 완전히 알지 못하는 불완전정보(incomplete information) 상황이 흔하다. Harsanyi [2]는 이런 상황을 각 경기자가 사적인 유형(type) θ_i를 가지며 그 유형이 어떤 사전분포 F에서 뽑힌다고 보아 다룰 수 있게 했다.

베이지안 게임(Bayesian game)은 따라서 (N, (A_i)_i∈N, (u_i)_i∈N, (Θ_i)_i∈N, F)의 튜플로 주어진다. 경기자 i의 (순수) 전략(strategy)은 각각의 유형 관측값 θ_i에 행동집합 A_i의 한 원소를 대응시키는 함수 s_i: Θ_i → A_i 이다. 경기자 i의 전략집합을 S_i라 한다.

베이지안 내시균형(Bayesian Nash equilibrium)은, 모든 경기자 i, 모든 유형 θ_i ∈ Θ_i, 모든 대안전략 s_i ∈ S_i에 대해 다음을 만족하는 전략조합 (s₁^*, …, s_n^*)이다.

사실 베이지안 내시균형은, 각 모수값(유형조합) θ에 대해 전략형 게임 G = (N, (S_i)_i∈N, (E_θ[u_i|θ_i])_i∈N)의 내시균형을 준다. 즉 각 경기자는 자기 사적정보의 각 값에 대해, 기댓값 기준으로 일방적 이탈이 이득이 되지 않도록 전략을 고른다.

베이지안 게임이 전개형으로 주어지면 베이지안 내시균형도 (완전정보 전개형처럼) 믿을 수 없는 위협을 포함할 수 있다. 그런데 불완전정보 게임에서는 부분게임 완전성만으로는 부족한 경우가 많다. 추가로 필요한 것은 각 경기자가 다른 경기자들의 전략에 대해 갖는 믿음(beliefs)이 일관적(consistent)이어야 한다는 요건이다. 완전베이지안균형(perfect Bayesian equilibrium)은 균형이 부분게임 완전이면서 동시에 일관된 믿음을 갖기를 요구한다(일관성 요건이 베이즈 규칙에 기반하므로 '베이지안'이라 부른다). 형식적 서술은 [1]을 보라.

5. 보험계리학에서의 응용 Applications in Actuarial Sciences

비협조게임이론의 응용은 주로 손해보험(non-life insurance)에서 찾을 수 있다. 가장 유명한 예 가운데 하나가 역선택(adverse selection) 문제로, 정보가 없는 보험자가 잠재 고객을 그들의 행동에 따라 선별(screen)하려는 상황이다. 이 문제에 따르면, 보험은 보험을 많이 활용할 것으로 기대하는 고객들을 끌어들이게 된다. 이 문제는 선별(screening)로 풀 수 있다.

예로 자동차보험을 생각하자. 보험자는 좋은 운전자와 나쁜 운전자를 구별하고 싶어 한다. 보험시장의 기본 선별모형은 [7, 12]에서 찾을 수 있다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 비협조게임 (noncooperative game) — 구속력 있는 합의가 불가능하고 각자가 자기 이익만 좇는 게임.
• 전략형 / 전개형 (strategic / extensive form) — 게임을 보수표로 나타내면 전략형, 시간 순서·정보 구조로 나타내면 전개형.
• 보수 / 효용 (payoff / utility) u_i — 전략조합이 정해졌을 때 경기자 i가 얻는 결과의 값.
• 내시균형 (Nash equilibrium) — 어떤 경기자도 일방적으로 전략을 바꿔 이득을 볼 수 없는 전략조합.
• 최선응답 (best response) — 상대 전략이 주어졌을 때 자기 보수를 최대화하는 전략.
• 부분게임 완전균형 (subgame perfect equilibrium) — 모든 부분게임에서도 균형이 되어 '믿을 수 없는 위협'을 배제하는 내시균형.
• 불완전정보 / 유형 (incomplete information / type) — 경기자가 서로의 보수를 모르는 상황. Harsanyi는 사적 유형 θ로 모형화.
• 베이지안 내시균형 (Bayesian Nash equilibrium) — 각 유형에서 기대보수 기준으로 일방적 이탈이 이득이 안 되는 전략조합.
• 완전베이지안균형 (perfect Bayesian equilibrium) — 부분게임 완전이면서 믿음이 베이즈 규칙으로 일관된 균형.
• 역선택 / 도덕적 해이 (adverse selection / moral hazard) — 계약 전(역선택)·후(도덕적 해이)에 생기는 정보비대칭 문제. 보험시장의 핵심 응용.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

비협조게임이론은 국내 보험시장의 과점 경쟁 구조와 정보 비대칭 계약 설계를 분석하는 이론 틀로 적용된다. 국내 생명보험과 손해보험은 각각 소수의 대형사가 시장 점유율을 과점하는 구조이며, 보험료 인상이나 신상품 출시 결정은 경쟁사 반응을 예상한 전략적 판단을 포함한다. 내시 균형의 관점에서 보면, 경쟁사가 동일한 논리로 대응함으로써 전체 업계가 보험료를 동시에 올리거나 내리는 결과가 나타나는 것은 비협조게임의 전형적 귀결이다.

역선택 문제도 비협조게임으로 모형화할 수 있다. 가입자는 자신의 건강 상태라는 사적 정보를 보유하고, 보험사는 이를 관찰하지 못한다. 이 정보 비대칭 아래에서 가입자와 보험사가 각자의 이익을 추구하면 역선택 균형이 발생하며, 풀링 균형과 분리 균형 중 어떤 상태가 실현되는지는 게임의 균형 개념에 달려 있다. 국내 실손보험의 손해율 악화 문제는 이러한 역선택 비협조 균형의 현실 사례로 볼 수 있다.

보험 규제 설계도 게임이론으로 분석된다. 감독당국과 보험사 간의 규제-회피 게임, 재보험사와 원보험사 간의 계약 협상, 보험 풀 참여자 간의 위험 분담 등에서 비협조게임 균형이 실질적인 결과를 결정한다. K-ICS 내부모형 인가 과정은 보험사의 전략적 정보 제공과 감독자의 검증이 맞물리는 구조로, 비협조게임의 형태를 띠는 상호작용이다.