완비시장

1. 1기간 모형으로 보는 완비·불완비 A Simple One-period Example

완비(complete) 또는 불완비(incomplete) 시장의 개념을 간단한 1기간 예로 소개한다. 투자 가능한 자산이 n개 있고, 각각 시각 0에서 단위가격이 1이라 하자. 시각 1에는 m개의 결과(상태) ω₁, …, ω_m 가운데 하나가 실현된다. 자산 i는 시각 1에서 가격 S_i를 가지며, 이 확률변수 S_i는 결과 ω_j가 일어나면 값 s_ij를 가진다(i=1,…,n; j=1,…,m).

시각 0에 자산 i를 x_i단위 보유한다고 하면, 포트폴리오 가치는 다음과 같다.

이제 시각 1에서 결과 j가 일어날 때 값 s_n+1,j를 갖는 새 자산 n+1을 시장에 도입한다고 하자. "이 자산은 시각 0에 어떤 가격으로 거래되어야 하는가?"를 물을 수 있다. 그러나 더 근본적인 물음은 이것이다. 모든 결과 ω₁, …, ω_m에서 V(1) = S_n+1이 되도록 하는 포트폴리오 (x₁, …, x_n)이 존재하는가? 즉, 다음 연립방정식을 만족하는 x₁, …, x_n이 있는가?

이것은 x_i를 미지수로 하는 연립방정식이다. 가능한 모든 지급액 S_n+1에 대해 이 연립방정식을 풀 수 있으면, 시장은 완비(complete)라 한다. 이때 새 증권은 중복(redundant)이다 — 기존 자산들로 할 수 없던 새로운 무언가를 전혀 제공하지 못한다.

또한 무차익 원리 때문에, 이 새 증권의 시각 0 가격은 시각 1의 가치를 복제하는 포트폴리오의 시각 0 가치와 같아야 한다. 즉,

이다. 만약 이 연립방정식을 풀 수 없으면 시장은 불완비(incomplete)라 한다. 이 단순 모형에서 n < m이면 시장은 반드시 불완비다. 또한 n ≥ m이라도 행렬 (s_ij)의 계수(rank)가 m보다 작으면 역시 불완비다.

2. 일반적 설정에서의 도달가능성 Attainability in a General Setting

이제 이 1기간 모형보다 더 일반적인 설정에서 기존 자산 집합을 생각하자. 다시 새 자산을 시장에 도입할 때, 기존 자산을 이용한 거래·헤지 전략으로 그 새 자산의 지급액을 정확히 복제할 수 있는가?를 묻는다. 이것이 모든 새 자산에 대해 참이면 시장은 완비라 하고, 어떤 자산을 복제할 수 없으면 시장은 불완비라 한다.

완비시장에서는 임의의 우발청구권(파생상품) H의 가격이 위와 같이 유일한 EMM Q 아래의 할인 기대값으로 정해진다. 불완비시장에서는 이런 Q가 여러 개이므로 가격이 하나로 결정되지 않는다.

3. 파생상품 가격결정에서의 의미 Implications for Derivative Pricing

완비·불완비 시장의 개념은 파생상품 가격결정에서 특히 중요하다. 시장이 완비이면(예: 이항모형(binomial model) 또는 블랙–숄즈–머튼 모형), 무차익 원리에 의해 파생상품에는 유일한 가격이 존재해야 한다. 그 가격은 파생상품 지급액을 복제하는 데 쓸 수 있는 포트폴리오의 가치와 같다.

시장이 불완비이면, 일부 파생상품 지급액은 복제할 수 없다. 이 경우 그 새 파생상품에 대해 무차익과 모두 양립하는 가격의 구간(range)이 존재한다. 즉 단 하나의 가격이 아니라 여러 가격이 허용된다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 완비시장 (complete market) — 모든 우발청구권(지급액)을 자기금융 전략으로 복제할 수 있는 시장.
• 불완비시장 (incomplete market) — 복제할 수 없는 지급액이 존재해 가격이 유일하지 않은 시장.
• 도달가능 청구권 (attainable claim) — 기존 자산들의 거래전략으로 정확히 복제 가능한 지급액.
• 복제(헤지)전략 (replicating / hedging strategy) — 어떤 지급액을 그대로 만들어내는 자산·채권 보유 전략.
• 중복 증권 (redundant security) — 기존 자산으로 복제 가능해 새로운 투자기회를 주지 못하는 자산.
• 상태·결과 ω_j (state / outcome) — 미래에 실현될 수 있는 시나리오. 개수가 m.
• 지급행렬 (s_ij) 의 계수 (rank) — 자산 지급벡터들의 선형독립 개수. m이면 완비의 조건.
• 무차익 원리 (no-arbitrage) — 위험 없이 이익을 내는 거래가 없다는 가격결정의 기본 가정.
• 동등마팅게일측도 (equivalent martingale measure) — 할인가격을 마팅게일로 만드는 위험중립측도. 완비 ⇔ 유일.
• 이항모형 (binomial model) — 매 기간 두 상태만 갖는 완비시장 모형. 옵션가격의 직관적 도구.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

완비시장 가정은 IFRS17의 시장정합(market-consistent) 평가가 서 있는 이론적 전제다. 모든 보수를 거래가능 자산으로 복제할 수 있다면 유일한 무차익 가격이 존재하고, 변액보증 같은 내재옵션도 복제·헤지로 가치를 정할 수 있다. 국내 보증 평가가 위험중립 시나리오로 수행되는 근거가 여기에 있다.

그러나 보험위험(사망·장수·해지)은 거래시장이 없어 현실은 불완비시장이다. 그래서 IFRS17은 복제 불가능한 비금융위험에 대해 위험조정(RA)을 별도로 부과하고, K-ICS는 이를 요구자본으로 다룬다. 본문이 짚은 완비·불완비의 경계가 곧 '시장정합 평가 + 위험마진'이라는 국내 제도 설계로 이어진다.