위험최소화

1. 개요 Introduction

위험최소화(risk minimization)는 금융수리(mathematical finance)에서 나온 이론으로, 거래전략(trading strategy)을 결정하는 데 쓸 수 있다. 위험최소화 이론은 푈머(Föllmer)와 존더만(Sondermann)이 처음 세웠는데, 그들은 본질적으로 어떤 부채(liability)에 대한 거래전략을, 미래비용(future cost)의 분산을 최소화함으로써 결정할 것을 제안하였다. 여기서 미래비용이란 그 부채(또는 청구권, claim)와 금융시장에서의 거래로 얻은 이득(gain)의 차이로 정의된다.

이 접근은 (예컨대 표준적인 블랙–숄즈 모형에서 쓰이는) 완비시장(complete market)의 표준적인 무차익(no-arbitrage) 가격결정 접근과 일관된다. 완비시장에서는 임의의 우발청구권(contingent claim)을 자기금융(self-financing) 동적 전략으로 완전히 헤지(hedge)할 수 있다. 그러한 전략은 보통 어떤 금액을 초기에 투자해야 하고, 그 금액을 둘 이상의 거래자산에 나누어 배분한다. 완비시장의 대표적 예는 연속시간 거래 모형인 블랙–숄즈 모형과 이산시간 모형인 콕스–로스–루빈슈타인 모형(이항모형)이다. 두 모형 모두 주식 하나와 저축계좌(은행) 하나, 두 가지 투자기회를 명시한다.

이 설정에서 청구권의 무차익 가격은, 자기금융 전략으로 그 청구권을 복제(replicate)하는 데 필요한 유일한 금액으로 얻어진다. 자기금융 전략이란 초기 투자 이후에는 자본의 추가 유입이나 유출이 일어나지 않는 동적 전략을 말한다. 더욱이 이 유일한 가격은 (조정된 측도 아래에서 계산한) 지급액을 저축계좌로 할인한 값의 기대값으로 결정된다. 이 조정된 측도를 위험중립측도(risk-neutral measure) 또는 마팅게일측도(martingale measure)라 부른다. 차익거래가 없는 완비시장은 본질적으로 유일한 동등마팅게일측도(equivalent martingale measure)의 존재로 특징지어진다.

이른바 불완비(incomplete) 무차익시장에서는 어떤 자기금융 전략으로도 완전히 헤지할 수 없는 우발청구권이 존재한다. 따라서 그러한 청구권은 무차익 가격결정만으로는 가격을 매길 수 없다. 불완비시장은 여러 개의 마팅게일측도를, 따라서 여러 개의 가능한 무차익 가격을 허용한다.

불완비성은 (느슨하게 말하면) 모형 안의 ‘불확실성의 원천(source of uncertainty)의 수’에 비해 거래자산이 너무 적을 때 일어난다. 거래자산이 둘인 이산시간 불완비 모형의 한 예는 삼항모형(trinomial model)인데, 두 시점 사이에 주식 가치의 변화가 세 가지 값을 가질 수 있다. 또 다른 중요한 불완비 모형들은 완비모형에서 출발하여, 청구권과 투자전략이 추가적인 무작위성의 원천에 의존하도록 허용함으로써 얻어진다. 이는 예컨대 부채가 금융시장과 더불어, 금융시장과는 확률적으로 독립인 다른 무작위성의 원천에도 연결될 수 있는 보험 응용에서 특히 의미가 있다.

이 글은 위험최소화 이론을 좀 더 자세히 설명하고 보험 문헌에서의 몇 가지 응용을 살펴본다. 먼저 단순한 이산시간 설정에서 핵심 아이디어를 설명한 뒤, 연속시간 거래 모형으로 넘어간다. 아울러 평균–분산 헤징(mean–variance hedging)과 부족위험 최소화(shortfall risk minimization) 등 관련 방법과 개념도 간단히 논한다.

2. 위험최소화 이론의 배경 Risk Minimization

이 절에서는 푈머–존더만과 푈머–슈바이처(Schweizer)가 도입한 위험최소화 헤징전략의 개념을 살펴본다. 이 이론은 슈바이처에 의해 더욱 발전되었으며, 위험최소화와 관련된 이차(quadratic) 헤징 접근들에 대한 개관 문헌도 있다.

푈머와 존더만은 연속시간 모형을 다루었고, 원래는 원래의 확률측도 P가 사실상 마팅게일측도인 경우를 고려하였다. 푈머와 슈바이처는 이산시간 다기간 모형을 검토하여, 최적전략을 기술하는 점화식(recursion formula)을 얻었다. 슈바이처는 가격과정이 준마팅게일(semimartingale)에 불과한 경우에 대한 국소위험최소화(local risk minimization) 개념을 도입하고, 이 기준이 이른바 최소마팅게일측도(minimal martingale measure)를 사용한 위험최소화와 유사함을 보였다.

3. 이산시간에서의 위험최소화 Risk Minimization in a Discrete-Time Framework

거래전략과 가치과정 (Trading Strategies and the Value Process)

고정된 유한 시간지평 T를 가지고, 이산시점 t = 0, 1, …, T 에서만 거래가 가능한 금융시장을 생각하자. 두 가지 거래자산이 있다고 가정한다. 가격과정 S = (S_t)를 갖는 주식과, 가격과정 S⁰를 갖는 저축계좌이다. 추가로 할인된 가격과정 X = S/S⁰ 와 Y = S⁰/S⁰ ≡ 1 을 도입한다.

어느 시점에서든 보험자/헤저(hedger)가 이용할 수 있는 정보의 양을 추적하는 것이 핵심이다. 이 정보흐름이 고려 가능한 거래전략과 부채의 부류를 정하는 데 쓰이기 때문이다. 이를 위해 여과(filtration) F = (F_t)를 갖춘 확률공간 (Ω, F, P)을 생각한다. 여과란 증가하는 σ-대수의 열 F₀ ⊂ F₁ ⊂ … ⊂ F_T 로, ‘정보’의 개념을 수학적으로 정확히 만든다. 가격과정 (S, S⁰)는 여과 F에 적합(adapted)하다고 가정하는데, 이는 각 t에서 가격이 관측가능함을 자연스럽게 뜻한다. 확률측도 P는 모형의 무작위성의 참 성질을 기술하므로 물리측도(physical measure)라 부른다. 또 P와 동등하고 X를 마팅게일로 만드는 또 다른 확률측도 Q가 존재한다고 가정한다. 측도 Q를 동등마팅게일측도라 한다.

보험자의 거래 가능성은 전략(strategy)의 개념으로 기술한다. 전략은 2차원 과정 φ = (ϑ, η) 인데, ϑ_t는 각 t에서 F_t−1-가측이고 η_t는 F_t-가측이어야 한다. 여기서 ϑ_t는 시각 t−1에 매입하여 t−1부터 t까지 보유하는 주식의 수이고, η_t는 시각 t의 정보에 따라 정할 수 있는 저축계좌 예치(deposit)와 관련된다. 포트폴리오 (ϑ_t, η_t)의 시각 t의 할인가치는 다음과 같다.

과정 V(φ) = (V_t(φ))를 φ의 (할인된) 가치과정(value process)이라 한다.

비용과정 (The Cost Process)

이제 시각 t에서 t+1로의 자본 흐름을 생각하자. 먼저 보험자는 추가로 (ϑ_t+1 − ϑ_t)만큼 주식을 사들여 보유 주식 수를 ϑ_t+1로 조정할 수 있는데, 이로 인한 비용은 (ϑ_t+1 − ϑ_t)X_t 이다. 새 포트폴리오 (ϑ_t+1, η_t)는 시각 t+1까지 보유되며, 이때 주식 투자는 할인이득 ϑ_t+1(X_t+1 − X_t)을 가져온다. 마지막으로 헤저는 시각 t+1에 새로 들어온 정보에 근거해 저축계좌 예치를 바꿀 수 있다. 이러한 행위들이 가치과정의 변화를 일으키며, 합하면 다음과 같다.

우변의 첫째 항과 셋째 항은 헤저에게 발생하는 비용(cost)을 나타내고, 둘째 항은 기간 (t, t+1]에 전략 φ로부터 얻은 거래이득이다. 이로부터 전략 φ에 결부된 비용과정(cost process)을 다음과 같이 정의한다.

여기서 ΔX_j = X_j − X_j−1 의 표기를 썼다. 비용과정은 거래이득으로 설명되지 않는 가치과정의 변화를 추적한다. 또한 C₀(φ) = V₀(φ), 즉 초기비용은 정확히 시각 0에 투자한 금액과 같다.

전략이 자기금융(self-financing)이라는 것은, 가치과정의 변화가 오직 거래이득으로만 생긴다는 뜻이다. 즉 고려하는 기간 동안 자본의 유입이나 유출로 포트폴리오가 영향을 받지 않는다. 이 조건은 다음을 요구하는 것과 같다.

모든 t에 대해 위가 성립하는 것이고, 따라서 이는 정확히 비용과정이 상수일 때에 해당한다.

위험최소화 헤징전략 (Risk Minimizing Hedging Strategies)

이제 시각 T에 지급해야 할 어떤 부채 H를 가진 보험자가, 그 부채에 결부된 위험을 통제(헤지)하려 한다고 하자. 만약 그 부채를 완벽히 복제하는 자기금융 전략 φ를 찾을 수 있어서, 어떤 초기금액 V₀(φ)에서 출발해 종가 V_T(φ) = H (P-거의 확실하게)를 갖는다면, 초기가치 V₀(φ)가 부채 H의 유일하게 합리적인 가격이다. 이때 청구권은 달성가능(attainable)하다고 하며, V₀(φ)가 바로 H의 무차익 가격이다 (예: 이항모형의 옵션). 그러나 더 현실적인 상황에서는 부채를 자기금융 전략으로 완벽히 헤지할 수 없으므로, 최적성 기준을 정의하는 문제를 생각하는 것이 의미가 있다.

한 가지 가능한 목표는, 종가 조건 V_T(φ) = H 아래에서, 다음 기간 동안 발생하는 비용 제곱의 (어떤 마팅게일측도 Q 아래) 조건부 기대값을 최소화하는 것이다. 위에서 설명했듯 이는 일반적으로 자기금융 전략으로는 불가능하므로, 초기 이후 자본의 추가·인출을 허용한다. 이는 각 t마다 다음을 최소화함을 뜻한다.

이는 마팅게일측도 아래의 조건부 기대값이다. 푈머와 슈바이처는 이 문제를 r_T−1부터 시작하는 후방귀납(backwards induction)으로 풀었다. 각 시각 t에서 r_t(φ)는, 그 시각에 선택할 수 있는 양들 — 즉 ϑ_t+1과 η_t — 의 함수로서 최소화된다. 이렇게 얻어진 전략을 위험최소화 전략(risk-minimizing strategy)이라 한다.

(5)의 해는 다음 대안 문제의 해와 동일함을 보일 수 있다. 즉 종가 조건 V_T(φ) = H 아래, 모든 전략에 대하여 각 시각 t에서 다음 양을 최소화하는 것이다.

두 문제 (5)와 (8)의 동치성을 위해서는, 기대값을 마팅게일측도 Q에 대해 계산하는 것이 결정적으로 중요하다. 물리측도 P를 써서 (5)를 풀면 이를 국소위험최소화라 하지만, 슈바이처는 마팅게일측도 Q를 (마팅게일측도가 아닌) 물리측도 P로 바꾸면 문제 (8)이 일반적으로 해를 갖지 않음을 보였다.

(8)에 나오는 항 C_T(φ) − C_t(φ)는 전략 φ에 결부된 미래비용을 나타낸다. 따라서 (8)을 최소화하는 기준은 본질적으로 모든 가능한 전략 중에서 미래비용의 조건부 분산을 최소화하는 것이다. 비용과정의 정의와 조건 V_T(φ) = H를 쓰면 다음을 얻는다.

이는 한 고정된 t에 대해 R_t(φ)를 최소화하는 문제가, 부채 H를 F_t-가측량 V_t(φ)와 금융시장에서의 미래거래이득으로 근사하는 것임을 보여준다.

해의 구조와 본질가치 (Intrinsic Value)

해의 구조는 다음과 같이 정의되는 Q-마팅게일 V^* 와 밀접히 관련된다.

이를 본질가치과정(intrinsic value process)이라 부른다. V^*는 쿠니타–와타나베 분해(Kunita–Watanabe decomposition)를 통해 다음과 같이 분해된다.

여기서 ϑ^H는 예측가능(predictable)하고(즉 ϑ^H_j는 F_j−1-가측), L^H는 Q-마팅게일 X에 직교(orthogonal)하는 Q-마팅게일이다(즉 곱 X L^H도 Q-마팅게일). 이 분해 (11)을 써서 푈머와 슈바이처는 최적 위험최소화 전략 φ = (ϑ̂, η̂)에 대한 다음 특성화를 유도하였다.

따라서 최적 주식 수는 쿠니타–와타나베 분해에 나오는 과정 ϑ^H로 결정되고, 저축계좌 예치는 가치과정이 본질가치과정과 일치하도록 정해진다. 위험최소화 전략에 결부된 비용과정은 Q-마팅게일이며, 따라서 이 전략을 평균자기금융(mean-self-financing)이라 부른다. 자기금융 전략은 비용과정이 상수이므로 자동으로 평균자기금융이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 특히 위험최소화 전략은 (일반적으로) 자기금융이 아니다.

4. 연속시간에서의 위험최소화 Risk Minimization in Continuous Time

연속시간에서의 아이디어를 기술하기 위해, 다시 주식 S와 저축계좌 S⁰ 두 가지 투자기회로 이루어진 무차익 금융시장을 생각한다. 자산은 연속적으로 거래되고, 거래비용·최소단위가 없으며 공매도가 허용된다고 가정한다. 할인주가과정 X = S/S⁰를 다루며 X가 P-마팅게일이라 가정한다. 이는 P가 마팅게일측도임을 뜻하므로 측도를 바꿀 필요가 없다. 시각 T에 지급할 부채 H는 F_T-가측이고 제곱적분가능(square-integrable)하다고 가정한다.

전략 φ = (ϑ, η)는 적절한 가측성·적분가능성 조건을 만족하는 과정이다. 이산시간과 마찬가지로 ϑ_t는 시각 t에 보유한 주식 수, η_t는 시각 t의 할인 저축예치이다. 가치과정은 V_t(φ) = ϑ_tX_t + η_t (0 ≤ t ≤ T)로 정의되고, 비용과정은 다음과 같다.

양 C_t(φ)는 시각 t까지 누적된 비용을 나타낸다. 이산시간처럼 비용은 포트폴리오의 가치 V_t(φ)에서 과거의 거래이득을 뺀 것이다. 부채 H를 고정하고 V_T(φ) = H인 전략으로 한정한다. 자기금융이면 비용과정이 상수이고, 청구권 H는 종가가 P-거의 확실하게 H와 일치하는 자기금융 전략이 존재할 때 달성가능하다 한다. 불완비시장에는 달성 불가능한 청구권이 있으므로, 더 넓은 전략 부류를 고려하여 제약 V_T(φ) = H 아래 미래비용 제곱의 조건부 기대값을 최소화한다. 더 정확히, 전략 φ가 다음을 임의의 t에 대해 최소화하면 부채 H에 대한 위험최소화 전략이라 한다.

푈머와 존더만은 (17)을 위험과정(risk process)이라 불렀다. (이 ‘위험과정’의 용법은, 보통 보험료와 급부의 현금흐름을 가리키는 전통적 보험계리의 용법과는 다르다.)

위험최소화 전략은 항상 평균자기금융, 즉 비용과정이 마팅게일이다. 또한 푈머와 존더만은, 최적 위험최소화 전략이 본질가치과정 V^*_t = E[H | F_t]에 대한 쿠니타–와타나베 분해와 연결됨을 알아냈다. V^*와 X가 마팅게일이므로, 쿠니타–와타나베 분해정리에 의해 V^*는 다음 형태로 유일하게 표현된다.

여기서 L^H는 평균이 0인 마팅게일, L^H와 X는 직교, ϑ^H는 예측가능 과정이다. 마팅게일 L^H와 X의 직교성을 적용하고 조건 V^*_T = H를 쓰면, 푈머와 존더만은 V_T(φ) = H를 만족하는 유일한 위험최소화 전략이 다음과 같이 주어짐을 증명하였다.

이에 결부된 최소달성가능 위험과정은 R_t(φ̂) = E[(L^H_T − L^H_t)² | F_t]로 주어진다. 위험최소화 전략에 결부된 위험과정은 본질위험과정(intrinsic risk process)이라고도 부른다.

국소위험최소화와 지급흐름 (Local Risk Minimization & Payment Streams)

국소위험최소화의 아이디어는 연속시간으로도 일반화될 수 있으나, 다음 (무한소) 구간에 대한 위험을 최소화하는 것이어서 더 까다롭다. 그럼에도 푈머와 슈바이처는 최적 국소위험최소화 전략이 이른바 푈머–슈바이처 분해(Föllmer–Schweizer decomposition)로 유도됨을 보였다. 이 분해는 P가 마팅게일측도이면 쿠니타–와타나베 분해로 특수화된다.

위험최소화 기준은 지급흐름(payment stream)으로도 일반화되었다. 부채를 제곱적분가능하고 우연속인 지급과정 A = (A_t)로 표현하도록 허용하는 것이 핵심이다. 구간 (s, t]에서 A_t − A_s는 보험자가 지급한 금액을 나타낸다. 이 경우 전략 φ와 지급과정 A에 결부된 비용과정을 자연스럽게 수정하면, 원래 비용과정에 지급과정 관련 항이 더해진 형태가 된다. 즉 작은 구간 (t, t+dt]에 발생하는 비용 dC_t(φ)는, 거래이득 ϑ_tdX_t와 부채로 인한 지급 dA_t로 설명되지 않는 가치과정의 변화이다.

5. 관련 기준 Related Criteria

평균–분산 헤징 (Mean–Variance Hedging)

앞서 보았듯 위험최소화 전략은 보통 자기금융이 아니다. 그래도 자기금융 전략으로 이어지는 관련 기준은, 모든 자기금융 전략에 대해 다음 양을 최소화하는 것이다.

이 기준은 본질적으로 부채 H를 L²(P)에서 근사하는 것이다. 여기서 P는 꼭 마팅게일측도일 필요가 없다. 이 접근을 평균–분산 헤징(mean–variance hedging)이라 하며, 불로(Bouleau)–람베르통(Lamberton)과 더피(Duffie)–리처드슨(Richardson)이 제안하였다.

부족위험 최소화 (Shortfall Risk Minimization)

위험최소화와 평균–분산 헤징은 위험을 이차 기준으로 재는 이차 헤징(quadratic hedging) 접근이라 불리는데, 이득과 손실을 같은 방식으로 다룬다. 좀 더 자연스러운 접근은 이른바 부족위험(shortfall risk), 즉 자기금융 헤징전략의 종가가 부채를 충당하기에 부족할 위험을 고려하는 것이다. 더 정확히는 모든 자기금융 전략에 대해 다음을 최소화한다.

여기서 ℓ은 ℓ(0) = 0인 증가하는 손실함수(loss function)이다. 예를 들어 ℓ을 지시함수로 두면 문제는 부채 H를 충당할 자본을 만들지 못할 확률을 최소화하는 것으로 환원되는데, 이를 분위수 헤징(quantile hedging)이라 한다. 또 ℓ(x) = x로 두는 경우도 있다.

6. 보험에서의 응용 Insurance Applications

유닛링크드 위험 (Unit-linked Risks)

이차 헤징 접근은 묄러에 의해 이산·연속시간 모형에서 이른바 유닛링크드(unit-linked) 생명보험계약의 헤징에 적용되었고, 노르베르(Norberg)에 의해 유한상태 마르코프연쇄로 구동되는 시장에서 적용되었다. 유닛링크드 생명보험계약에서는 보험급부가 특정 주가지수나 펀드의 성과에 명시적으로 연계된다. 따라서 부채는 피보험 생존(보험위험)과 주가지수의 성과(금융위험) 모두에 의존한다. 그 결과 유닛링크드 생명보험 포트폴리오의 부채는 표준적인 금융모형 안에서 무차익 가격결정 이론만으로는 유일하게 가격을 매길 수 없다. 이 상황에서 위험을 줄이는 전략을 유도하기 위해 위험최소화 기준을 적용할 수 있다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 위험최소화 (risk minimization) — 불완비시장에서 미래비용(헤지 오차)의 조건부 분산을 최소화하여 헤징전략을 정하는 방법.
• 불완비시장 (incomplete market) — 불확실성의 원천에 비해 거래자산이 적어, 어떤 청구권을 완벽히 복제·헤지할 수 없는 시장.
• 자기금융 전략 (self-financing strategy) — 초기 투자 이후 자본의 추가 유입·유출이 없는 전략. 비용과정이 상수.
• 비용과정 (cost process) C_t — 가치과정 변화 중 거래이득으로 설명되지 않는 추가 자본의 누적.
• 가치과정 (value process) V_t — 보유 포트폴리오 (ϑ_t, η_t)의 할인가치 ϑ_tX_t + η_t.
• 본질가치과정 (intrinsic value process) V^* — 마팅게일측도 아래 부채의 조건부 기대값 E^Q[H | F_t].
• 마팅게일측도 (martingale measure) Q — 할인가격 X를 마팅게일로 만드는, 물리측도 P와 동등한 측도.
• 쿠니타–와타나베 분해 (Kunita–Watanabe decomposition) — 마팅게일을 X로 헤지 가능한 부분과 X에 직교하는 잔여부분 L^H로 가르는 분해.
• 평균자기금융 (mean-self-financing) — 비용과정이 (상수는 아니어도) 마팅게일인 전략. 위험최소화 전략의 성질.
• 평균–분산 헤징 (mean–variance hedging) — 자기금융 전략으로 한정하고 종가오차 E[(H−V_T)²]을 최소화하는 이차 헤징.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

위험최소화(risk minimization) 이론은 국내 보험사가 변액보험 보증의 헤지 전략을 설계할 때 직접적으로 적용된다. 변액연금의 GMxB(최저 보증) 상품은 주가·금리에 연동되는 우발 현금흐름을 포함하므로, 이를 금융시장에서 완전히 헤지하는 것은 불가능하다(보험 사망·해지 위험이 추가되어 불완비시장이 된다). 이때 위험최소화 접근은 "시장에서 헤지 가능한 부분을 동적 전략으로 복제하고, 복제 불가 부분(비체계적 위험)에 대한 잔여비용 분산을 최소화한다"는 원칙을 제시한다.

IFRS17 체계에서 위험최소화는 헤지회계와 연결된다. 국내 보험사 중 일부는 변액보증 헤지 포트폴리오를 IFRS17 헤지회계 또는 공정가치 옵션으로 처리하여, 헤지 도구(주가지수 선물·풋옵션·금리 스왑)의 가치 변동과 보증 부채의 가치 변동을 상쇄시킨다. 이 상쇄 효과가 클수록 잔여비용(본문의 cost 프로세스)의 분산이 줄어, 위험최소화 전략이 실효를 거두는 셈이다.

K-ICS에서 변액보증 시장위험 요구자본은 주가하락·금리하락 충격 시나리오를 적용한 보증 부채 증가액으로 산출된다. 헤지 전략이 인정되면 헤지 도구의 가치 변화로 요구자본을 일정 부분 상쇄할 수 있다. 따라서 위험최소화 전략이 얼마나 효과적으로 설계되었는지가 K-ICS 비율에 직결된다.