윌키 투자모형

1. 개요 Introduction

윌키 확률적 투자모형(Wilkie stochastic investment model)은 윌키(Wilkie) 교수가 개발한 모형으로, 두 편의 논문에 완전히 기술되어 있다. 원래 버전은 1986년 논문에, 그리고 검토·갱신·확장된 버전은 1995년 논문에 실려 있다. 특히 후자의 논문에는 모형을 적합시키고 모수를 추정하는 과정이 상세히 담겨 있으며, 윌키 모형을 직접 구현하거나 자신의 모형을 개발·적합시키려는 독자에게 매우 권장된다.

윌키 모형은 물가상승률, 채권수익률, 주식수익률의 결합분포를 모의실험하는 데 흔히 사용된다. 1995년 논문은 모형을 확장하여 임금상승률, 부동산수익률, 환율까지 포함시켰다. 이 모형은 특히 재무위험을 측정·관리하는 맥락에서 보험계리사에게 매우 귀중한 도구로 입증되었다.

2. 역사적 배경 Historical Background

윌키 모형의 토대는 윌키가 만기보증 워킹파티(MGWP)의 일원이던 시절에 마련되었다. 이 그룹은 유닛링크 계약에 결부된 투자보증을 관리하는 표준을 개발하는 임무를 맡았으며(미국 변액연금의 최저생활급부 보증과 유사), 확률적 방법론과 확률적 모의실험이 유일하게 실용적인 수단임을 인식했다. MGWP 보고서와 함께 발표된 초기 버전은 배당과 주가를 별도로 모형화했다.

이후 윌키는 보험계리회 지급여력 워킹파티(Solvency Working Party)로 옮겨, 단순화된 혼합 보험포트폴리오(생명보험회사를 대표)의 위험관리를 탐구하며 모형을 정련·확장했다. 윌키는 물가·금리·주식수익률을 따로 다루던 기존의 단변량 모형이, 이들 시계열 간 상호작용이 결정적으로 중요한 생명보험사의 자산·부채를 모형화하기에 부적절함을 깨달았다. 1986년 논문에서 비로소 완전한 윌키 모형이 처음 기술되어, 주가·배당·물가·금리를 통합적으로 모의실험하는 접근을 제공했다. 적절한 인구통계 모형과 결합하면, 보험포트폴리오와 연금제도의 자산·부채를 함께 모의실험할 수 있다. 수많은 시뮬레이션을 수행함으로써 계리사는 자산·부채 현금흐름의 분포와 그 둘의 관계를 파악할 수 있게 되었다. 영국 등지의 생명·연금 계리사들이 이 모형을 자신들의 자산–부채 문제에 적용하기 시작했고, 윌키 모형은 가장 면밀히 검증된, 다른 모형을 재는 벤치마크로 남아 있다.

3. 모형의 구조: 캐스케이드 The Model Description — Cascade Structure

윌키 모형은 캐스케이드(cascade, 폭포형) 모형이다. 각 상자는 서로 다른 확률 과정을 나타내며, 모두 이산적·연간(annual) 과정으로 모형화된다. 각 투영 기간에서 물가상승률이 가장 먼저 모형화되고, 이어 주식수익률(배당수익률), 주식배당지수, 장기채권수익률이, 마지막으로 단기채권수익률이 모형화된다. 각 시계열은 캐스케이드 상위에 연결된 시계열로부터 어떤 요소를 받아들이고, 또 각자 무작위 성분을 포함한다. 일부는 자기 시계열의 과거 값에도 의존한다.

이 캐스케이드는 인과 관계를 모형화하려는 것이 아니라 통계적으로 편리하기 때문에 채택된 구조다. 예컨대 장기채권수익률이 주식배당지수에 직접 의존할 필요는 없는데, 물가상승률(그리고 작게는 주식수익률)에 대한 공통 의존성이 둘 사이의 의존성을 설명해 주기 때문이다.

기호는 많은 모수와 다섯 개의 통합 과정 때문에 혼동되기 쉽다. 아래 첨자는 시계열을 가리킨다. q 는 물가(인플레이션) 시계열, y 는 배당수익률, d 는 배당지수 과정, c 는 장기채권수익률, b 는 단기채권수익률을 뜻한다. μ 항은 모두 평균을 가리키며(로그 과정의 평균일 수 있음), δ 는 연속복리 성장률을, a 는 자기회귀 모수를, σ 는 (조건부) 분산 모수를, w 는 다른 과정 안에서 물가에 적용되는 가중치를, z(t)는 무작위 충격(일반적으로 독립 N(0,1))을 나타낸다.

4. 물가(인플레이션) 모형 The Inflation Model

δ_q(t)를 구간 [t−1, t)에서의 물가의 힘(force of inflation, 연속복리 물가상승률)이라 하자. 그러면 δ_q(t)는 다음 식으로 정의되는 1차 자기회귀, AR(1) 과정을 따른다.

여기서 μ_q 는 일정하다고 가정한 평균 물가의 힘, a_q 는 자기회귀를 제어하는 모수(값이 클수록 평균으로의 회귀가 약함), σ_q 는 백색잡음 항의 표준편차, z_q(t)는 N(0,1) 백색잡음이다. AR(1) 과정은 잘 이해되어 있어 다루기 쉽다. δ_q(0)이 주어지고 |a_q| < 1 일 때 δ_q(t)의 분포는 다음과 같다.

a_q < 1 이면 a_q^t 가 t 증가에 따라 0으로 수렴하므로, 장기 분포에 대한 영향이 줄어들어 물가의 힘의 궁극적(무조건) 분포는 다음과 같다.

즉 물가지수 Q(t)의 비율 Q(t)/Q(t−1)의 궁극 분포는 로그정규가 된다. 1923–1994년 영국 자료에 기반한 모수는 (괄호 안은 표준오차) μ_q = 0.0473 (0.0120), a_q = 0.5773 (0.0798), σ_q = 0.0427 (0.0036)이며, 이는 장기 물가상승률 분포가 N(0.0473, 0.0523²)임을 뜻한다.

윌키는 1995년 논문에서 물가에 대한 ARCH 모형도 제안한다. ARCH 모형은 직전 값에 의존해 변동성이 변하며, 직전 값이 평균에서 크게 벗어나면 다음 기 변동성이 커진다. 이는 1986년 FMG 비판이 지적한, AR(1) 물가모형의 꼬리가 너무 얇아 장기 고물가를 반영하지 못한다는 점에 대응한다.

5. 배당과 주식수익률 Dividends and the Return on Shares

모형은 주식의 배당수익률과 연속복리 배당성장률을 생성한다. t년의 배당수익률 y(t)는 다음에서 결정된다.

즉 로그수익률 과정은 물가연동 성분, 추세 성분, 그리고 물가과정과 독립인 추세제거 AR(1) 성분 yn(t)로 구성된다. 1923–1994년 영국 자료 기준 모수는 w_y = 1.794, μ_y = 0.0377, a_y = 0.549, σ_y = 0.1552 이다.

배당성장률 δ_d(t)는 다음 관계로 생성된다.

첫 두 항은 현재·과거 물가의 가중평균이다. δ_d(t)에는 배당수익률 효과(배당수익률 하락이 배당지수 상승과 연관, 즉 d_y < 0), 직전 해 배당수익률 충격항 σ_yz_y(t−1), 직전 해 배당성장률 자체의 충격항 σ_dz_d(t−1)의 영향이 들어간다. 물가의 힘으로부터 배당지수를 구성할 수 있다.

주가지수 P(t)는 배당지수와 배당수익률로부터 만들 수 있고, 매년 주식 총수익률 py(t)는 총누적수익률(gross rolled-up yield)로 요약된다.

1923–1994년 영국 자료 기준 모수는 w_d = 0.58, d_y = −0.175, μ_d = 0.016, b_d = 0.57, σ_d = 0.07, d_d = 0.13 이다.

6. 장기·단기 채권수익률 Long-term and Short-term Bond Yields

장기채권수익률은 영국 콘솔(consols)의 수익률로 모형화한다. 이는 차입자 선택으로 상환 가능한 국채인데, 표면금리가 연 2.5%로 매우 낮아 상환되지 않을 것으로 보아 사실상 영구채(perpetuity)로 취급된다. 수익률 c(t)는 물가연동 부분 cm(t)과 "실질" 부분으로 나뉜다.

물가 부분은 가중이동평균 모형이고, 실질 부분은 본질적으로 배당수익률의 기여가 있는 AR(1) 모형이다. 1923–1994년 영국 자료 기준 모수는 w_c = 0.045, μ_c = 0.0305, a_c = 0.9, y_c = 0.34, σ_c = 0.185 이다. a_c 값이 (1.0 미만이어야 한다는 제약 하에서) 비교적 높아, 이 시계열의 평균회귀가 느림을 나타낸다.

단기채권수익률 b(t)는 장기금리 c(t)의 배수로 계산된다. 즉 단기·장기 수익률 비율의 로그가 AR(1) 과정을 따른다고 가정한다.

7. 임금·부동산·물가연동채·환율 Wages, Property, Index-linked Bonds, Exchange Rates

1995년 논문에서 윌키는 임금상승률, 부동산수익률, 환율까지 모형을 확장한다. 임금 모형은 AR(1)을 따르는 실질 부분과, 현재·과거 물가의 영향을 받는 물가연동 부분의 결합이다. 부동산 모형은 주식 모형과 구조가 매우 비슷하여 수익률과 임대료 지수를 별도로 생성한다. 물가연동채(index-linked bonds)의 실질수익률 로그는 장기채권모형의 기여가 있는 AR(1)로 모형화된다. 환율 모형은 두 나라 물가지수의 비율에 무작위 곱셈 성분을 더해 로그-AR(1)로 모형화되며, 장기적으로 구매력평가(PPP) 가정을 사용한다.

8. 결과와 활용 Results and Applications

모의 경로들은 주식 총수익률의 높은 연간 변동성과, 장기에 비해 단기채권수익률의 큰 변동성을 보여 준다(다만 대체로 같은 경로를 따른다). 중요한 점은 이들이 네 개의 독립 과정이 아니라 하나의 다변량 과정이라는 것이다. 따라서 모든 경로가 서로 연결되어, 상대적으로 낮은 물가가 캐스케이드를 타고 흘러 배당수익률·배당성장률·장기채권수익률, 결국 단기채권수익률까지 끌어내린다. 한 연구에서는, 모형 생명보험사에 고물가도 문제이지만 저물가가 더 큰 문제임을 보였다. 저물가가 낮은 주식수익률과 결부되기 때문이며, 통합모형이 없었다면 드러나지 않았을 통찰이다.

보험계리 실무의 특성상, 많은 경우 자산과 부채가 모두 윌키 모형이 다루는 경제 과정의 영향을 받는다. 생명보험에서는 자산 측에서 채권·주식 혼합 포트폴리오의 가치를 투영하고, 부채 측에서 계약 규모·보험사 비용이 물가의 영향을 받으며, 유닛링크 보증은 기초자산 성과에, 보증연금옵션은 주식수익률과 장기금리에 의존한다. 확정급여 연금제도의 부채는 물가·임금에, 손해보험 부채 역시 물가에 좌우된다. 그래서 윌키 모형은 생명·손해·연금 등 보험계리 실무의 거의 모든 영역에 적용되어 왔으며, 영국은 물론 남아프리카·호주·캐나다 등지에서 자산–부채 투영에 흔히 쓰인다.

9. 모형에 대한 평가와 비판 Commentary on the Wilkie Model

윌키 모형이 처음 발표된 이래 여러 유사 모형이 개발되었지만, 어느 것도 윌키 모형만큼 면밀한 검증을 받지 못했다. 이는 그것이 최초의 그런 모형이었고, 새 방법론에 대한 회의가 있었던 데 기인한다. 윌키 모형의 개발은, 계리사가 결정론적 경로만이 아니라 자산·부채의 분포를 탐구해야 한다는, 특히 영국 생명보험 위험 접근법의 혁명을 가져왔다.

1989년 영국 보험계리회 재무관리그룹(FMG)이 통계적 관점에서 모형을 비판하는 임무를 맡았다. 유일하게 실질적인 통계적 비판은 물가모형에 관한 것으로, AR(1) 모형의 꼬리가 너무 얇아 장기 고물가를 반영하지 못한다는 것이었다. 윌키는 이에 대해 무거운 꼬리와 지속성을 모형화하는 ARCH 모형을 제안했다. 많은 계리 응용에서는 고물가보다 저물가가 더 큰 위험이므로, 고물가 위험의 과소평가는 큰 문제가 아닐 수 있다.

FMG 보고서의 가장 신랄한 비판은 생명보험 응용 부록에서 나왔는데, 확률적 모의실험이 연산 비용 면에서 비실용적이고, 모형이 너무 난해·이론적이어서 경영진에게 설명하기 어렵다는 것이었다. 그러나 컴퓨터 성능은 당시 저자들의 상상을 뛰어넘어 확장되었고, 확률적 모의실험은 생명보험 위험관리의 표준 도구가 되었으며, 결과도 결코 "뻔한" 것이 아니었음이 드러났다.

몇 년 뒤 후버(Huber)는 안정성(stability) 문제를 논했다. 즉 경제 시계열 사이·내부의 관계가 때때로 변할 수 있으며(예: 제2차 세계대전 무렵의 영구적 변화), 모든 모형의 한계를 인식하는 것이 유용하다는 것이다. 후버는 또 윌키 모형이 효율적 시장 가설(EMH)과 불일치한다고 지적했다. 다만 윌키 모형은 단기적으로는 임의보행(random walk)에 매우 가깝고, 임의보행은 EMH와 정합적이다. 마지막으로 후버는 자료의 희소성을 지적했다. 각 시계열에 대해 역사적 경로는 하나뿐인데, 우리는 수많은 미래 경로를 투영한다. 이는 계량경제 시계열의 공통 문제이며, 방법론 전체를 기각할 이유는 아니지만 "모형은 어디까지나 모형일 뿐"임을 늘 기억해야 한다.

10. 다른 통합 투자모형 Other Integrated Investment Models

윌키 모형 이후 여러 모형이 제안되었고, 상당수는 윌키 모형을 토대로 일부 시계열을 수정한 것이다. 예컨대 어떤 모형은 물가를 포함한 여러 시계열에 임계값 자기회귀(threshold autoregressive) 모형을 쓰는데, 이는 과정이 특정 임계값(예: 물가 10%)을 넘으면 모수가 바뀌는 다중국면 모형이다. 또 다른 설계로는 벡터자기회귀(VAR)가 있는데, 모든 경제 시계열을 하나의 다변량 무작위 과정으로 함께 모형화하는 순수 통계적 방법이며, 국면전환(regime switching)을 결합하기도 한다.

오늘날 대부분의 보험사·계리 컨설팅사는 자산–부채 모형화에 정기적으로 쓰는 통합 확률적 투자모형을 보유하고 있으며, 다수가 윌키 모형이나 그 변형을 사용한다.

11. 금융경제학에서 온 모형 Models From Financial Economics

파생상품은 하나 이상의 위험자산에 의존하는 보수를 갖는 증권이다. 파생상품 가치를 구하는 한 방법은 조정된 확률분포(위험중립분포, 즉 Q 측도) 하에서 할인된 기대보수를 취하는 것이다. 원래의 "실세계" 분포는 P 측도라 한다.

이 글에서 설명한 분포들은 위험중립 평가가 아니라 자산·부채의 실세계 투영을 위해 설계되었고, 금융경제학 모형보다 훨씬 긴 기간에 쓰도록 만들어졌다. 금융경제학의 장기 계약은 만기 1년 정도이지만, 생명보험의 중기 계약은 20년일 수 있다. 또 대부분의 계리 모형은 연간 모형인 반면, 금융경제학은 더 잦은 시간 간격(흔히 연속시간)을 요구한다. (윌키 모형은 연간 점들 사이에 브라운 다리(Brownian bridge) 과정을 적용하여 연속시간 모형으로 쓰이기도 했다.)

12. 맺음말 Concluding Comments

윌키 투자모형은 여러 이유로 획기적이었다. 처음 발표된 지 20년 가까이 지난 지금도 거의 원형 그대로 유용할 만큼 견고함을 입증했다. 이 모형을 일찍 채택한 보험사들은 자산–부채 관계에 대한 통찰이 어려운 투자 환경을 헤쳐 나가는 데 매우 유용했음을 알게 되었다. 또한 이 작업은 계량경제학과 보험계리학을 결합한 새로운 연구 분야를 열었다. 지난 10년간 많은 모형이 개발되었으나, 어느 것도 윌키 모형만큼 면밀한 검증을 받지 못했고, 그만큼 완전하게 가치를 입증하지도 못했다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 윌키 모형 (Wilkie model) — 물가를 출발점으로 배당·채권수익률 등을 차례로 생성하는 캐스케이드형 확률적 투자모형.
• 캐스케이드 모형 (cascade model) — 상위 시계열(물가)의 충격이 하위 시계열로 흘러내려 서로 연결되는 구조.
• 물가의 힘 (force of inflation) — 연속복리로 표현한 물가상승률 δ_q. 실효 연율과 구분된다.
• AR(1) (autoregression order 1) — 현재 값이 직전 값과 평균에 의존하며 무작위 충격을 받는 평균회귀 시계열.
• 자기회귀 모수 a (autoregression parameter) — 평균으로 되돌아가는 속도. 1에 가까울수록 회귀가 느리다.
• 배당수익률·배당지수 (dividend yield·dividend index) — 주가 대비 배당 비율과 누적 배당 수준. 둘로 주가와 주식 총수익률을 구성.
• ARCH 모형 (ARCH) — 직전 값이 평균에서 멀수록 다음 기 변동성이 커지는, 변동성 변화 모형. 두꺼운 꼬리를 표현.
• 콘솔·영구채 (consols·perpetuity) — 만기가 사실상 없는 영국 국채로, 장기채권수익률의 대용으로 쓰임.
• 효율적 시장 가설 (efficient market hypothesis) — 가격이 정보를 즉시 반영해 초과수익이 불가능하다는 가설. 임의보행과 정합적.
• P 측도·Q 측도 (P·Q measure) — 실세계 확률(P)과 위험중립 확률(Q). 윌키 모형은 실세계(P) 투영용.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

윌키 투자모형(Wilkie model)의 핵심인 물가·채권·주가의 확률적 연계 구조는, 국내 보험사의 경제시나리오발생기(ESG) 설계와 유사한 철학을 공유한다. 국내 생명보험사는 IFRS17·K-ICS 목적으로 실세계 ESG(Real-World ESG)와 위험중립 ESG(Risk-Neutral ESG)를 각각 구축하는데, 실세계 ESG는 물가·금리·주가·환율의 역사적 상관관계를 반영하는 VAR 계열 모형이 주로 사용된다. 이는 윌키 모형이 물가상승률(Q)을 최상위로 두고 채권·주가가 종속되는 계층적 구조를 채택한 것과 맥락이 같다.

K-ICS에서 장기 재무건전성 평가(ORSA, Own Risk and Solvency Assessment)에는 다년도 확률적 시나리오가 요구된다. 윌키 모형 계열의 실세계 ESG로 금리·주가·물가의 미래 경로를 시뮬레이션하고, 이를 통해 특정 신뢰수준에서의 지급여력비율 분포를 추정한다. 특히 저금리 장기 지속 시나리오, 금리 급등 시나리오 등 꼬리 위험(tail risk) 분석이 중요하다.

변액보험 최저보증(GMxB) 평가에서도 윌키류 모형의 실세계 시뮬레이션이 경영 의사결정용 분석에 활용된다. 가격결정(pricing) 단계에서는 위험중립 ESG로 공정가치를 산출하고, 사업관리 단계에서는 실세계 ESG로 헤지 손익·현금흐름을 시뮬레이션하여 운영 위험을 파악한다.