확률적 투자모형

1. 개요 Introduction

확률적 투자모형(stochastic investment models)은 다양한 보험계리 업무에서 점점 더 중요한 구성요소가 되고 있다. 대표적인 활용 예는 다음과 같다.

• 위험평가(risk assessment)
• 위험관리(risk management)
• 불일치준비금(mismatching reserves)의 산정
• 복잡한 금융 특성을 가진 보험계약의 보험료 책정
• 부채의 평가(예: 공정가치, fair value)

2. 모형의 구성요소 Features of the Model

확률적 투자모형은 다음 특징의 일부 또는 전부를 포함하는 모형이다.

개별 자산군(asset class)에 대해서는,

• 총수익률(total returns)에 대한 모형, 또는
• 총수익률을 추론할 수 있게 해 주는 관련 시계열에 대한 모형(예: 배당과 배당수익률을 통해 주식 총수익률을 추론).

그밖에 다음 요소를 포함한다.

• 금리, 물가상승률, 임금상승률 등 다른 경제변수에 대한 모형 — 자산과의 상관관계를 포함하는 방식으로.
• 둘 이상의 국가·경제권과, 국가 간 상관을 가진 환율 과정을 포함할 수 있는 가능성.

실무에서 이러한 경제·자산 시계열은 흔히 자기회귀(autoregressive)·시계열(time-series) 구조로 표현된다. 예컨대 어떤 변수 X(t)가 장기 평균 μ 로 되돌아가려는 성질(평균회귀)을 갖는 1차 자기회귀, AR(1) 과정은 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 a 는 자기회귀(평균회귀 속도) 모수, σ 는 충격의 표준편차, z(t)는 표준정규 백색잡음이다. 이런 형태는 다음에 설명할 윌키 모형을 비롯한 여러 보험계리용 모형의 기본 단위가 된다.

3. 역사적 배경과 윌키 모형 Origins and the Wilkie Model

제대로 된 확률적 투자모형을 필요로 한 가장 이른 연구 중 하나는 만기보증 워킹파티(MGWP, Maturity Guarantees Working Party, 1980)의 보고서였다. MGWP의 목표는 금융보증이 포함된 유닛링크(unit-linked) 생명보험계약의 분위수 준비금(quantile reserves)을 계산하는 것이었다. 이를 위해 여러 금융변수에 대한 새로운 시계열 모형을 개발해야 했고, 이 작업은 곧바로 윌키 모형(Wilkie model)의 발표로 이어졌다.

윌키 모형은 오랫동안 벤치마크 역할을 해 왔다. 그 이유 중 하나는, 모형과 그 추정(역사적 자료에 적합시킨 방법)에 대한 상세한 설명까지 포함하여 공개된 영역(public domain)에서 완전히 문서화된 몇 안 되는 모형이기 때문이다. 윌키의 뒤를 이은 다른 모형으로는 Yakoubov 외, Whitten & Thomas, Hardy 등의 모형이 있다. 이 중 일부(Whitten & Thomas, Hardy)는 수익률의 상대적 동질성과 정규성 같은 윌키 모형에 대한 구체적 비판에 대응한다는 특징이 있다.

4. 새로운 세대의 모형 A New Generation of Models

최근에는 새로운 세대의 모형이 등장하고 있는데, 이들은 다중자산·윌키형 모형의 장점과 차익거래 없는(arbitrage-free) 동학을 결합하려 한다. 이런 모형은 보험부채의 공정가치 평가에 필수적이지만, 더 일반적인 목표는 다음 특징들을 포함하는 것이다.

• 앞서 설명한 자산·경제변수.
• 연속시간(continuous time)으로 설정된 모형.
• 파생상품 가격결정과 동적 헤지를 가능하게 하는, 현실적이고 차익거래 없는 단기 동학.
• 장기 위험관리 문제를 다룰 수 있게 하는, 현실적인 장기 동학.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 확률적 투자모형 (stochastic investment model) — 미래 경제·자산 변수를 무작위 과정으로 모형화해 결과의 분포를 산출하는 모형.
• 결정론적 투영 (deterministic projection) — 하나의 "최선 추정" 가정으로 미래 현금흐름을 단일 경로로 그리는 방식.
• 총수익률 (total return) — 자본이득과 배당·이자를 모두 합한 자산 수익률.
• 자기회귀 AR(1) (autoregression) — 현재 값이 직전 값과 평균에 의존하며 무작위 충격을 받는 시계열 구조. 평균회귀 성질을 가진다.
• 불일치준비금 (mismatching reserve) — 자산과 부채의 만기·성격 불일치에서 생기는 위험에 대비해 쌓는 준비금.
• 분위수 준비금 (quantile reserve) — 부채를 일정 확률(예: 99%)로 충당할 수 있도록 분포의 분위수로 설정한 준비금.
• 유닛링크 (unit-linked) — 보험금이 투자 펀드의 성과에 연동되며, 흔히 최저보증이 붙는 생명보험.
• 공정가치 (fair value) — 시장과 정합적인 방식으로 산정한 자산·부채의 가치.
• 차익거래 없음 (arbitrage-free) — 위험 없이 확실한 이익을 얻는 기회가 존재하지 않는다는 가격결정 원칙.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

확률적 투자모형은 국내 보험산업에서 경제시나리오생성기(ESG)라는 이름으로 직접 구현되어 쓰인다. IFRS17과 K-ICS는 보험계약부채를 최선추정 및 위험조정(RA)으로 측정하고, 내재 옵션·보증의 시장정합 평가를 요구하므로, 현실세계(P)와 위험중립세계(Q) 시나리오를 동시에 생성하는 ESG가 필수 인프라가 되었다. 금리·주식·신용 스프레드 등 주요 위험 변수에 대한 확률모형을 ESG에 내장하고, 수만 개의 경로를 생성해 준비금과 요구자본을 산출한다.

윌키(Wilkie) 모형은 원형적 확률적 투자모형으로, 국내에서도 ESG 설계의 참조 틀로 활용된다. 다만 국내 보험 계리 실무는 Hull-White·CIR 계열 금리모형과 GBM 기반 주식모형을 결합한 ESG를 더 선호한다. 장기 금리의 UFR(최종선도금리) 수렴 가정은 K-ICS 할인율 체계와 연동되며, 금리 시나리오 생성 시 UFR 수렴 조건을 반드시 충족해야 한다.

확률적 투자모형의 현실세계 시나리오는 보험사의 장기 재무건전성 스트레스 테스트에도 활용된다. 금리 급등·주가 급락·신용 위기 등 복합 시나리오를 구성해 미래 K-ICS 비율 변동 범위를 추정하고, 이를 자본계획과 배당 정책 수립에 반영하는 ORSA(Own Risk and Solvency Assessment) 체계가 국내에 도입되어 있다.