발생/노출률

1. 도입: 위험률(risk ratio)의 정의 Introduction

건강한 사람이 어떤 위험한 직무에 들어간다고 하자. 취업 후 그 사람이 암으로 사망할 확률을 π라 하고, 모집단 전체에서 무작위로 뽑은 사람이 암으로 사망할 확률을 π_m이라 하자. 두 확률 π와 π_m을 비교하면 그 위험직무가 얼마나 위험한지를 정량적으로 평가할 수 있다. 이 확률들은 처음에는 알 수 없으므로, 추정하려면 자료를 모아야 한다.

여기서는 확률 π의 추정에만 집중한다. 위험직무에 들어가는 사람들의 모집단을 생각하고, 무작위로 뽑은 한 개인의 수명을 X, 그 누적분포함수를 F라 하자. 확률 π보다 더 많은 정보를 담는 양이 이른바 위험률(risk ratio) ρ이며, 이는 (암으로 인한 사망확률)/(평균수명)으로 정의된다.

이 양 ρ는 특정 발생/노출률(specific occurrence/exposure rate)이라고도 불린다. 즉 한 번의 평균수명 동안 암으로 사망하는 비율(rate)이다.

2. 분포의 혼합 구조 The Mixture Structure of F

위험률 ρ를 추정하려면 분포함수 F도 추정해야 한다. F는 두 성분으로 이루어진다. 모집단 안에는 두 하위집단이 있다. 확률 π로 암으로 죽는 사람들과 확률 1 − π로 다른 원인으로 죽는 사람들이다. 암으로 죽는 하위집단의 수명 분포함수를 F₁, 다른 원인으로 죽는 하위집단의 것을 F₂라 하면, 분포함수 F는 F₁과 F₂의 혼합(mixture)(분포의 혼합 참조)이다.

따라서 위험률을 추정하려면 이제 π, F₁, F₂ 세 가지를 추정해야 한다. 이를 위해 모집단에서 무작위로 뽑은 n명의 코호트(코호트 참조)를 추적한다.

3. 중도절단과 수정된 위험률 Censoring and the Modified Risk Ratio

표본 전체가 모두 죽을 때까지 따라가는 것은 불가능하다. 실무·재정상의 이유로 일정 기간 M 동안만 관측한다. 구간 [0, M] 동안만 개인들을 관찰하면 위험률을 비모수적으로 추정할 수 없으므로 정의를 수정해야 한다. 수정된 위험률(modified risk ratio) ρ_M은 다음과 같다.

여기서 F̄는 F에 대응하는 생존함수(F̄ = 1 − F)이고 π_M = π F₁(M)이다. 분모는 본질적으로 M에서의 결정론적 우측중도절단(중도절단 참조)이 있을 때 모집단 개인들의 평균수명이고, 분자는 구간 [0, M] 안에서 암으로 사망할 확률이다.

4. 비모수 추정 Nonparametric Estimation

표본의 모든 개인을 시점 M까지 추적한다. 이런 연구에서 코호트의 각 구성원에게는 네 가지 가능성이 생긴다. (1) 암으로 사망, (2) 다른 원인으로 사망, (3) 연구에서 이탈, (4) 시점 M에 생존. 개인이 연구에서 이탈하는 시점을 C(전통적으로 중도절단 확률변수)라 하고 그 분포함수를 G라 한다.

각 개인에 대해 삼중쌍 (X, Δ, C)가 결합돼 있으나 전부 관측되지는 않는다. 실제로 기록할 수 있는 것은 (Y, δ)이며, 여기서 Y = min{X, C}이고 δ는 네 값(1: 암사망, 0: 타원인사망, −1: 이탈, −2: 시점 M 생존)을 가져 위 네 가능성을 나타낸다. C와 (X, Δ)는 서로 독립이라고 가정한다.

관측치 (Y₁, δ₁), …, (Y_n, δ_n)을 (Y, δ)의 독립 실현으로 본다. π_M과 γ_M = ∫_[0,M] F̄(t) dt를 추정하기 위해 Kiefer–Wolfowitz 비모수 이론을 사용한다. Ĝ, F̂를 자료에 기반한 G, F의 카플란–마이어 추정량이라 하면, Kiefer–Wolfowitz 식의 일반화 최대가능도 추정량은 다음과 같다.

여기서 I(·)는 지시함수, Ĝ(Y_i⁻)는 Y_i 직전에서의 중도절단 생존 추정값이다. 따라서 ρ_M의 일반화 최대가능도 추정값은

이다. ρ̂_M의 점근분포는 정규(normal)이며, 그 세부는 Babu, Rao & Rao(1992)에서 찾을 수 있다.

5. 수치 예제 A Numerical Example

원문 예제: 크기 n = 7, M = 7인 표본이 다음 자료를 준다(Y_i 오름차순). (1.7, 1), (2.3, 0), (4.4, −1), (4.5, 1), (4.9, −1), (6.0, 0), (6.1, 0). 즉 1번은 시점 1.7에 암사망, 2번은 2.3에 타원인사망, 3번은 4.4에 이탈, 4번은 4.5에 암사망, 5번은 4.9에 이탈, 6번은 6.0에 타원인사망, 7번은 6.1에 타원인사망.

C의 카플란–마이어 추정은 시점 4.4에 확률질량 3/15, 4.9에 4/15, 구간 (4.9, ∞)에 8/15를 준다. 그 결과 π̂_M = 9/28이다. 사망원인을 합쳐 얻은 F의 카플란–마이어 추정은 다음 분포를 준다.

이로부터 γ̂_M = 1 × 1.7 + (48/56) × 0.6 + (40/56) × 2.2 + (30/56) × 1.5 + (15/56) × 0.1 = 4.08이다. 따라서 ρ_M의 일반화 최대가능도 추정값은 (9/28)/4.08 = 0.08이다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 발생/노출률 (occurrence/exposure rate) — (사건 수)/(노출 시간). 위험률·중심사망률의 추정량.
• 위험률 (risk ratio) ρ — (특정 원인 사망확률)/(평균수명). 평균수명당 사망 비율.
• 생존함수 F̄ — 시점 t까지 생존할 확률, F̄(t) = 1 − F(t).
• 혼합분포 (mixture) — 여러 하위분포를 가중평균한 분포. 여기서 F = πF₁ + (1−π)F₂.
• 중도절단 (censoring) — 관측 종료·이탈로 사건을 끝까지 보지 못함. 여기선 시점 M의 우측중도절단.
• 코호트 (cohort) — 같은 시작조건으로 추적하는 개인들의 집단.
• 카플란–마이어 추정량 — 중도절단 자료에서 생존함수를 비모수적으로 추정하는 곱-극한 추정량.
• Kiefer–Wolfowitz 이론 — 부수모수가 무한히 많을 때의 최대가능도 추정 일관성 이론.
• 일반화 최대가능도추정 (generalized MLE) — 비모수 상황으로 확장된 가능도 최대화 추정.
• 중심사망률 (central rate) — 연령구간 동안의 평균 사망강도; 발생/노출률로 추정된다.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

발생/노출률은 국내 손해보험 통계의 기본 단위다. 자동차보험의 사고율은 보유대수(또는 가입대수·차량年)를 노출로, 발생 사고건수를 분자로 계산하며, 이는 본문의 '노출단위당 발생'과 정확히 같다. 적절한 노출단위 선택(차량年·인年·보험가입금액年)이 요율의 정확도를 좌우한다.

경과 노출(earned exposure) 기준으로 빈도를 산출하고, 이를 위험분류·요율 산정에 활용하는 방식은 국내 참조통계·회사 요율 산출의 표준 절차다.