베이지안 지급준비금 산정

1. 개요 Overview

베이지안 방법론(베이지안 통계 참조)은 보험계리학의 여러 분야에서 쓰인다. 가장 이른 응용 가운데 하나는 1918년 경험요율(experience rating)에 관한 것으로, 그 해법이 ‘역확률(inverse probabilities)의 사용에 달려 있다’고 언급되었는데, 이는 베이즈가 원래 사용한 용어다. 그러나 경험요율에서 베이지안 절차의 중요성을 완전히 인식한 첫 인물은 1940년의 Ove Lundberg였던 것으로 보인다. 지급준비금 추정에 베이지안 방법을 명시적으로 처음 적용한 예도 있으며, 신뢰도법(신뢰도법 지급준비금 참조)을 통한 암묵적 사용은 그보다 앞설 수 있다. 한편 경험적 베이즈(empirical Bayes) 방법론은 이 글에서 다루지 않는다.

지급준비금 산정 기법은 무작위 변동을 허용하는지 여부에 따라 보통 확률론적(stochastic) 방법과 비확률론적(결정론적, deterministic) 방법으로 나뉜다. 베이지안 방법은 전자에 속한다. 확률론적이기 때문에, 전통적 연쇄사다리 같은 결정론적 모형과 달리 준비금 추정치에 대한 통계적 추론을 수행할 수 있다. 추론 과정으로서 베이지안 접근은 고전적(빈도주의, frequentist) 통계추론의 대안이다. 이론적으로는 공리적 기초 위에서 제1원리로부터 유도되며, 실무적으로는 자료에 확률모형을 적합한 뒤 그 결과를 모수와 미관측 양에 대한 확률분포로 요약하는 과정이다.

베이지안 추론의 핵심 특징은 불확실성을 직접 정량화한다는 점이다. 적용하려면 계리사가 문제에 등장하는 모든 관측가능·관측불가능한 양에 대해 완전한 확률모형(결합확률분포)을 세워야 한다. 이 모형은 클레임 생성과정에 관한 지식과 일관되어야 한다. 그러면 모형의 모수나 미관측 자료에 관한 베이지안 결론을, 주어진 자료에 조건부인 확률 진술의 형태로 내릴 수 있다. 따라서 이 방법은 모수(또는 관심 양)의 완전한 분포 프로파일을 제공하여, 비정규성·치우침(왜도)·꼬리 거동 같은 분포의 특징을 한눈에 드러낸다.

2. 베이지안 방법의 장점 Why Bayesian?

베이지안 방법이 계리 실무, 특히 지급준비금에 매력적인 이유는 다음과 같다. 첫째, 확률모형의 설정을 통해 전문가의 사전정보나 기존 정보를 공식적으로 통합할 수 있다. 보험계리에는 업계 전반의 경험이나 통계표 형태의 풍부한 ‘객관적’ 사전정보가 존재하는 경우가 많은데, 그동안 베이지안 방법이 더 적극적으로 쓰이지 않은 것이 오히려 놀라울 정도다.

둘째, 분석을 언제나 관심 양의 완전한 확률분포를 사용해 수행할 수 있다. 관심 양은 모수일 수도, 확률변수의 미래값일 수도 있다. 베이지안 방법은 아무리 제한적이더라도 가용한 정보를 관심 변수의 이론적 모형과 결합해 이 분포들을 얻는다. 완전한 분포가 있으면 점추정 외에도 풍부한 정보를 얻을 수 있다. 보험계리학은 기댓값뿐 아니라 파산확률(파산이론 참조), 극값(극값이론 참조), VaR 같은 분포의 특정 특성을 살펴야 하는 분야이므로, 완전한 분포에 대한 이해가 본질적으로 중요하다.

준비금 결과의 예측분포(predictive distribution)를 다룬 문헌은 드물었고, 지금까지는 예측오차로 변동성을 추정하는 데 초점이 있었다. 과정변동성(process variability)과 추정변동성(estimation variability)을 모두 반영한 이 분포를 해석적으로 얻기는 어렵다. 베이지안 모형은 모수의 불확실성을 자동으로 모두 반영한다. 준비금의 점추정치와 분산 같은 산포 측도뿐 아니라 준비금의 완전한 분포까지 제공하므로, 다른 위험측도도 계산할 수 있다. 특히 분포가 뚜렷이 치우친 경우, 정규근사로 얻은 신뢰구간은 정확한 구간과 크게 다를 수 있는데, 베이지안 방법은 클레임 분포의 구체적 형태를 자동으로 반영한다. 또한 완전 베이지안 방법에서 모수의 사후분포는 사용한 자료가 주어졌을 때 본질적으로 정확한 분포다.

3. 표기와 진전삼각형 Notation & the Run-off Triangle

대부분의 방법은 다음을 가정한다. (a) 클레임이 완전히 지급되기까지 걸리는 기간 수가 고정되어 알려져 있다. (b) t번째 진전기간에 지급되는 클레임의 비율이 모든 발생연도에서 동일하다. (c) 서로 다른 발생연도에 관한 양들은 독립이다.

X_it를 발생(사고)연도 i에 대응하는 t번째 진전연도의 사건(클레임) 건수(또는 금액)라 하자. 그러면 k×k 행렬 X_it (i=1,…,k; t=1,…,k)를 얻으며, 여기서 k는 한 노출연도의 클레임을 모두 지급하는 데 걸리는 최대 기간 수다. 이 행렬은 관측된 변수(왼쪽 위 부분)와 예측해야 할 변수(오른쪽 아래 부분)로 나뉜다. 즉 i+t ≤ k+1인 X_it를 알고 있으며, 이 알려진 값들의 삼각형이 지급준비금에서 쓰는 전형적인 진전(런오프)삼각형이다.

4. 베이지안 모형 Bayesian Models

확률변수 X_it가 클레임 수치(금액, 손해율, 클레임 빈도 등)를 나타낸다고 하자. 관측된 진전삼각형은 위 구조를 가지며, 미관측 변수(아래쪽 삼각형)를 예측해야 준비금을 추정할 수 있다. 대응하는 밀도함수를 f(x_it|θ)라 하자(θ는 모수 벡터). 모수가 주어졌을 때 확률변수들이 조건부 독립이라 가정하면, 삼각형 위쪽 자료가 주어졌을 때 모수의 우도함수는 다음과 같다.

모수 θ에 관한 가용 정보는 계리사가 설정하는 사전분포 π(θ)를 통해 반영된다. 이를 우도함수와 결합하여 베이즈 정리로 모수의 사후분포 f(θ|x)를 얻는다. 여기서 ∝는 비례를 뜻한다.

관심이 모수 추론에 있으면 f(θ|x)를 사용한다. 그러나 지급준비금처럼 예측에 관심이 있으면, 위쪽의 과거(관측) 자료를 써서 아래쪽 삼각형의 관측치를 예측한다. 과거·미래 관측을 구분하기 위해 i+t > k+1인 미래값은 X_it 대신 Z_it로 표기한다. X_it와 Z_it가 θ가 주어졌을 때 조건부 독립이므로, 사후예측분포(posterior predictive distribution)는 다음과 같이 정의된다.

따라서 계리사는 통상의 모형화 외에, (i) 모형 모수에 대한 사전분포 설정과 (ii) 그 결과인 사후분포 또는 예측분포(및 그 특성)의 계산이라는 두 가지 추가 과제를 수행한다.

지급준비금에서 베이지안 접근의 이점은, 진전삼각형 아래쪽의 모든 칸(및 그 함수)에 대해 사후예측분포를 제공한다는 데 있다. 그 한 예가 특정 발생연도 i에 대한 기댓값들의 합, 즉 그 연도에 필요한 준비금 추정치다. (여기서 D는 알려진 모든 정보를 나타낸다.)

변동성의 표준 측도는 예측오차(prediction error)다. 지급준비금에서는 준비금 분포의 표준편차로 정의할 수 있으며, 베이지안 맥락에서는 통상 준비금 예측분포의 표준편차를 쓴다.

5. 사전분포의 선택 Prior Distribution

사전분포 설정은 계리 실무에 낯선 일이 아니다. 예컨대 전통적 본후터–퍼거슨 방법에서는 ‘행(row) 모수’에 대한 완전한 사전(전문가) 지식을 명시적으로 사용한다. 즉 궁극 클레임의 외부 초기추정치를 진전계수와 함께 쓴다. 베이지안 방법은 행 모수에 대한 사전지식이 완벽하지 않을 때, 그것을 확률분포로 모형화하여 적용하는 것이다. 이처럼 외부 정보로 초기추정치를 마련하는 방식은 자연스럽게 베이지안 모형으로 이어진다.

베이지안 모형은 정보적 사전분포(informative prior)의 선택을 통해 계리적 판단을 반영할 수 있다는 장점이 있다. 다만 이는 오용 위험이라는 단점이 될 수도 있다. 답이 사전분포 π(θ)와 분포 가정에 의존한다는 비판이 가능하나, 계리 분야에서는 관련 문제의 자료·경험을 가정의 근거로 자주 쓰므로 개념적 걸림돌이 되지는 않는다. 신뢰도이론에서 흔히 쓰는 구조분포(structure distribution)도 과거 경험으로 위험구조의 확률모형을 설정하는 또 다른 예다.

베이지안 접근은 사전정보가 있을 때 결정론적·고전통계적 방법 모두에 대한 강력한 대안이다. 그러나 사전정보에 합의가 없거나 아예 없을 때도 쓸 수 있다. 후자의 경우 비정보적(noninformative) 사전분포 또는 기준(reference) 사전분포를 써서 ‘무지의 상태’를 반영하며, 이런 추론을 객관적 베이지안 추론이라 한다. 많은 경우 베이지안 방법은 미지급 클레임 같은 변수의 예측분포에 대한 해석적 폐형(closed form)을 제공하며, 분위수 등 그 특성으로 직접 예측추론을 수행할 수 있다. 예측분포가 알려진 형태가 아니거나 폐형이 없거나 복잡하면, 몬테카를로(MC) 모의실험으로 근사할 수 있다.

6. 예제 1: 포아송–다항 모형(클레임 건수) Example 1 — Poisson/Multinomial

X_it를 발생연도 i의 t번째 진전연도 클레임 건수라 하고, N_i를 발생연도 i의 총 클레임 수라 하자. N_i가 포아송 분포를 따르고, 진전구조 p=(p₁,…,p_k)^t(각 진전연도 지급 비율 벡터)가 모든 i에서 같다고 가정한다. N_i=n_i와 p가 주어지면 발생연도들은 독립이고, i번째 연도의 클레임 수는 다항분포 Mult_k(n_i; p)를 따른다. 알려진 자료가 주어졌을 때 미지 모수 (n₂,…,n_k, p)의 우도는 각 행의 다항 우도의 곱이며, 그 i번째 항은 다음과 같다.

여기서 x_i^*=Σx_it, p^*=p₁+⋯+p_k−i+1이다(관측된 진전연도까지의 합). 다음으로 모수 (n₂,…,n_k, p)의 사전분포를 설정하면, 결합 사후분포는 우도와 사전의 곱에 비례하며 다음과 같이 분해된다.

여기서 D=(x₁,…,x_k, n₁)은 알려진 모든 정보다. 이 분포로 임의 모수의 평균이나 특성을 구할 수 있다. 발생연도별 총 클레임 수의 확률거동을 보려면 주변 사후분포 f(n₂,…,n_k|D)를, 삼각형 아래쪽 각 칸의 미래 클레임 수를 추정하려면 예측분포를 쓴다.

7. 예제 2: 로그정규(ANOVA) 모형(클레임 금액) Example 2 — Log-normal/ANOVA

이제 X_it > 0을 발생연도 i의 t번째 진전연도 총 클레임 금액이라 하자. Y_it=log(X_it)로 두고 다음을 가정한다(불균형 이원배치 분산분석, ANOVA). 즉 X_it는 로그정규분포를 따른다. (이 모형은 Kremer가 지급준비금에 처음 도입했다.)

위쪽 삼각형의 알려진 값 개수를 T_U=(k+1)k/2, 아래쪽 미관측 칸 개수를 T_L=(k−1)k/2라 하자. θ=(μ, α₁,…,α_k, β₁,…,β_k)^t는 (2k+1) 모수 벡터다. 조건부 독립 가정하에 우도 L(θ,σ|y)를 쓸 수 있고, 계리사가 사전분포 f(θ,σ)를 설정하면 결합 사후분포는 f(θ,σ|y) ∝ L(θ,σ|y) f(θ,σ)가 된다. 아래쪽 미관측 변수들을 모은 벡터 z의 예측분포는 모수에 대해 적분하여 얻는다.

이때 예측값의 전체 분산은 다음과 같이 두 항으로 분해된다. 첫째 항은 과정분산(process variance)의 사후 기댓값, 둘째 항은 모수 추정의 불확실성에서 오는 추정분산이다.

여기서 E_θ,σ[·|y], Var_θ,σ[·|y]는 각각 모수의 사후분포하에서의 기댓값과 분산이다. 예측값들 사이의 의존성은 모수의 사후분포를 통해 암묵적으로 반영된다. 적절한 조건에서 예측분포의 해석적 표현을 유도할 수도 있으나, 보통은 이 분포의 추가 분석을 어떤 형태의 모의실험으로 수행한다.

8. 베이지안 계산: 모의실험과 MCMC Bayesian Computation — Simulation & MCMC

두 예제 모두에서 미지급 총 클레임의 준비금을 구하려면 진전삼각형 아래쪽 칸들의 값을 추정해야 한다. 즉 예측분포의 평균과 분산을 구한다. 각 칸에 대해 베이지안 ‘추정량’ E(X_it|D)가 필요하고, 발생연도 i의 미지급 클레임 추정량은 그 합 R_i이며, 그 예측분산은 아래쪽 삼각형 칸 쌍들의 공분산 Cov(X_is, X_jt|D)까지 평가해야 얻어진다. 이 공식들은 계산이 매우 번거롭고, 그래도 완전한 분포는 얻지 못한다.

그러나 직접 모의실험(direct simulation)으로는 준비금 분포를 비교적 쉽게 얻을 수 있다. 매우 큰 N에 대해 j=1,…,N로, 아래쪽 미관측 삼각형의 각 칸 값 x_it^(j)를 각자의 예측분포에서 무작위로 생성한다. 이 값들은 모수변동과 과정변동을 모두 포함한다. 각 j마다 총 미지급 클레임의 모의값을 계산한다.

이렇게 얻은 R^(j)들로 준비금 요구액의 거동을 분석하며, 평균과 분산은 다음과 같다. 여기서 표준편차 σ_R이 총 클레임의 예측오차 추정치가 된다.

모의실험은 모수 간 공분산을 명시적으로 구할 필요가 없다는 장점이 있다 — 예측분포 안에서 의존성이 암묵적으로 처리되기 때문이다. 한 예로, 예제 2와 유사한 모형으로 총 준비금의 예측분포에서 N=5000개 값을 직접 생성하면, 겹쳐 그린 정규밀도와 비교해 분포의 치우침(왜도)을 확인할 수 있다.

직접 모의실험은 모수의 결합분포를 식별할 수 있고 알려진 형태일 때 합리적이다. 그렇지 않아 분포를 표준형으로 인식할 수 없을 때는 마르코프 연쇄 몬테카를로(MCMC) 방법이 해법이 된다. 사실 베이지안 패러다임은 사전정보의 필요뿐 아니라 그 계산적 유연성 때문에 채택되기도 한다 — 복잡한 모형을 다룰 수 있게 해 주기 때문이다. MCMC 표집 전략으로 각 관심 사후분포에서 표본을 생성할 수 있으며, 앞 예제들과 유사한 네 모형이 BUGS(Bayesian inference Using Gibbs Sampling) 패키지로 구현·분석된 바 있다. MCMC도 모의실험으로 미관측값의 예측분포를 주므로, 위 식으로 예측오차를 곧바로 계산할 수 있다.

9. 연쇄사다리·본후터–퍼거슨과의 연결 Link to Chain-ladder & BF

위의 결과는 전통적 결정론 기법과 자연스럽게 연결된다. 본후터–퍼거슨 방법은 행 모수(궁극 클레임)에 대한 외부 사전추정치를 진전계수와 결합하는데, 그 사전지식을 확률분포로 모형화하면 그대로 베이지안 모형이 된다. 즉 본후터–퍼거슨은 ‘사전정보를 완벽히 신뢰하는’ 극단, 연쇄사다리는 ‘자료만 신뢰하는’ 극단으로, 베이지안/신뢰도 틀 안에서 두 방법은 사전과 자료에 부여하는 가중치의 양 끝에 해당하는 특수한 경우로 통합된다. 베이지안 접근은 그 사이의 중간 가중을 자연스럽게 허용하며, 동시에 준비금의 완전한 예측분포를 제공한다.

요약하면, 모의실험 방법은 모수 추정치 자체가 아니라 모수·미래값의 결합분포로부터의 표본을 제공한다. 지급준비금 맥락에서는 진전삼각형의 미래 지급에 대한 분포가 예측분포로부터 생성되고, 모의 예측값들의 적절한 합으로 발생연도별·총 준비금의 예측분포를 얻는다. 그 분포의 평균을 최선추정으로 쓸 수 있으며, 완전한 예측분포가 있으므로 다른 요약통계도 자유롭게 살필 수 있다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 사전분포 (prior distribution, π(θ)) — 자료를 보기 전 모수에 대한 믿음을 나타낸 확률분포. 전문가 지식·업계 경험·통계표 등을 담는다.
• 우도 (likelihood, L(θ|x)) — 모수가 주어졌을 때 관측 자료가 나올 확률(밀도). 자료가 모수에 대해 말해 주는 정보다.
• 사후분포 (posterior, f(θ|x)) — 베이즈 정리로 사전과 우도를 결합해 얻은, 자료를 본 뒤의 모수 분포.
• 예측분포 (predictive distribution) — 미관측(미래) 값에 대한 분포. 모수에 대해 적분해 얻으며, 준비금 산정의 핵심 출력이다.
• 진전(런오프)삼각형 (run-off triangle) — 행=발생연도 i, 열=진전연수 t의 클레임 표. 위쪽은 관측, 아래쪽은 예측 대상.
• 예측오차 (prediction error) — 준비금 예측분포의 표준편차. 과정변동과 추정변동을 합한 불확실성.
• 과정변동·추정변동 (process / estimation variability) — 각각 클레임 자체의 무작위성, 모수를 모른다는 데서 오는 불확실성. 둘을 합쳐 전체 분산이 된다.
• 포아송·다항·로그정규 — 클레임 건수(포아송+다항)나 금액(로그정규)을 모형화하는 대표 분포들.
• 비정보적 사전분포 (noninformative prior) — 사전정보가 없을 때 ‘무지’를 반영하도록 택하는 사전분포. 객관적 베이지안 추론에 쓰인다.
• MCMC (마르코프 연쇄 몬테카를로) — 폐형이 없는 복잡한 사후·예측분포에서 표본을 생성하는 시뮬레이션 기법. BUGS 등으로 구현.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

베이지안 지급준비금 산정은 진전삼각형(자료)에 사전정보(기대손해율·업계 경험)를 결합해 준비금을 추정한다. 국내 IFRS17 체제의 최선추정(BEL) 산출, 특히 자료가 적은 신규·소규모 보종의 IBNR 추정에서 이런 사고가 유용하다. 자료가 충분하면 자료 쪽으로, 부족하면 사전정보 쪽으로 추정이 이동한다.

본후터–퍼거슨 방법이 베이지안 추정의 특수한 경우로 해석되듯, 국내 실무의 표준 준비금 기법들도 자료와 사전기대를 가중결합하는 베이지안 틀로 일관되게 이해할 수 있다.