표제어 · 손해보험·요율

베일리–사이먼 방법

Bailey–Simon Method · 원저자: Stephen J. Mildenhall · 출처: Encyclopedia of Actuarial Science (Wiley, 2004)

읽는 법. 본문은 원문 표제어의 내용을 그대로 옮긴 것입니다. 회색 해설 · 예제 상자는 학부 입문 학습을 돕기 위해 새로 추가한 부분이며 원문에는 없습니다. 모르는 용어는 글 끝 부록을 참고하세요.

1. 개요 Introduction

베일리–사이먼 방법(Bailey–Simon method)은 분류요율 계획(classification rating plan)의 모수를 결정하는 데 쓰인다. 분류 계획은 훨씬 적은 수의 기준요율(base rate)과 요율인자(rating factor)를 산술적으로 결합해 수많은 서로 다른 클래스의 요율을 정한다(요율산정 참조). 이 방식은 경험자료가 거의 없는 클래스도, 더 신뢰할 만한 클래스의 경험을 빌려 요율을 매길 수 있게 해 준다.

만약 자료의 바탕 구조가 계획에서 쓰는 산술규칙을 정확히 따르지 않으면, 특정 셀의 적합요율이 기대요율과 같지 않을 수 있고, 그 적합요율은 편의(bias)를 갖게 된다. 편의는 분류계획 구조의 특징이지 표본 크기가 작아서 생기는 것이 아니다. 모든 셀이 개별적으로 신뢰할 만큼 자료가 충분해도 편의는 여전히 존재할 수 있다.

그렇다면 계리사는 어떤 요율변수를 고르고 모형을 어떻게 모수화해야 편의를 충분히 작게 할 수 있을까? 베일리와 사이먼은 받아들일 만한 상대도(relativity) 집합이 갖춰야 할 네 가지 기준을 제시했다.

BaS1. 각 클래스와 전체에 대해 경험을 재현해야 한다(각 클래스·전체에 대해 균형이 맞아야 한다).
BaS2. 여러 집단의 상대적 신뢰도를 반영해야 한다.
BaS3. 최대한 많은 사람에 대해, 원자료로부터의 이탈이 최소가 되어야 한다.
BaS4. 각 위험 부분집단에 대해, 경험과의 차이가 우연으로 합리적으로 설명될 만큼 경험에 충분히 가까운 요율을 내야 한다.

조건 BaS1은 각 클래스의 분류요율이 균형을 이루어야(편의가 0이어야) 한다는 것이다. 즉 한 변수에 대해 다른 변수들에 걸쳐 합한 가중평균 요율이 가중평균 경험과 같아야 한다. 클래스별 편의가 0이면 당연히 전체 편의도 0이다. 경험을 격자(grid)로 펼칠 수 있는 2차원 예에서는, 요율계획의 행·열 평균이 경험의 행·열 평균과 같아야 한다는 뜻이다. BaS1은 흔히 주변합 일치법(method of marginal totals)이라 불린다.

해설 ‘주변합 맞추기’가 핵심

표를 행(예: 품질)과 열(예: 색상)로 펼쳐 놓고, 각 행의 합과 각 열의 합(주변합)이 실제 경험의 주변합과 같아지도록 행·열 인자를 반복 조정하는 것이 베일리–사이먼의 출발점이다. 편의는 음수도 양수도 될 수 있어 평균이 0이 되므로, 모형 적합도를 재려면 거리처럼 항상 0 이상인 이탈도(deviance)가 따로 필요하다.

2. 주변합 일치법과 선형모형 Marginal Totals and Linear Models

간단한 예로 설명하자. 위젯(widget)이 품질 3종(저·중·고)과 색상 4종(빨강·초록·파랑·분홍)을 가진다고 하자. 두 변수 모두 손해비용에 영향을 준다. 품질 인자 하나와 색상 인자 하나를 갖는 단순 가법(additive) 요율계획을 생각한다. 품질 q, 색상 c인 클래스에 위젯이 w_qc개 있고, 관측 평균손해가 r_qc라 하자. 계획은 품질요율 x_q 3개와 색상요율 y_c 4개를 가지며, 클래스 qc의 적합요율은 x_q + y_c(가장 단순한 선형·가법 베일리–사이먼 모형)이다. BaS1은 모든 c(그리고 모든 q)에 대해 다음을 요구한다.

이를 행렬 형태로 쓰기 위해 우선 모든 가중치 w_qc = 1이라 하자. 모수벡터 β = (x_l, x_m, x_h, y_r, y_g, y_b, y_p)^t에 대응하는 설계행렬(design matrix) X를 두면, Xβ는 적합요율 (x_l+y_r, …)의 12×1 벡터다. 그러면 7개의 BaS1 항등식 전체가 다음 한 개의 벡터방정식으로 표현된다.

독자는 이것이 선형회귀의 정규방정식(normal equation)임을 알아볼 것이다! 즉 표기 아래에는, 선형 가법 베일리–사이먼 모형이 단순한 선형회귀 모형이라는 사실이 숨어 있다. 이제 야코비(Jacobi) 반복으로 X^tXβ = X^tr을 풀 수 있다. X^tX의 대각성분 행렬을 M, N = X^tX − M이라 하면 야코비 반복은 다음과 같다.

X^tX의 단순한 형태 덕분에 이것은 잘 알려진 베일리–사이먼 반복법으로 환원된다.

(y^(k+1)에 대해서도 x^(k)로 표현된 비슷한 식이 성립한다.) 반복의 최종 결과는 x_q = lim_k→∞ x_q^(k)이며 y도 마찬가지다. 가중치가 모두 1이 아니면 단순 합·평균을 가중 합·평균으로 바꾼다. 모든 행·열 합 벡터는 X^tWr(W는 가중치 대각행렬)이 되고, BaS1 균형조건은 다음 가중 정규방정식이 된다.

이는 설계행렬 X와 가중치 W를 가진 가중선형회귀의 정규방정식이다. 반복법에서 M은 이제 X^tWX의 대각성분이고, 야코비 반복은 다음 익숙한 베일리–사이먼 반복이 된다.

해설 가우스–자이델과의 관계

각 변수를 모두 갱신한 뒤가 아니라 x^(k)가 새로 계산되는 즉시 x^(k+1)로 바꿔 쓰는 방식은 가우스–자이델(Gauss–Seidel) 반복법이라 하며, 이것으로도 베일리–사이먼 문제를 풀 수 있다.

식 (가중 정규방정식)이 선형 가법 베일리–사이먼 모형을 통계적 선형모형과 동일시한다는 점은 여러 이유로 중요하다. 첫째, 최소편의 모수가 독립·동일분포 정규오차를 가정한 최대가능도 모수와 같음을 보여 준다. 둘째, 매우 느리게 수렴할 수 있는 최소편의 반복보다 정규방정식을 푸는 편이 훨씬 효율적이다. 셋째, 선형모형용으로 개발된 통계량(잔차·이상치 영향 등)을 적용해 모형 적합과 BaS2·BaS4 충족 여부를 평가할 수 있다. 또한 선형 베일리–사이먼 모형과 일반화선형모형(GLM) 사이에 대응이 있으나, GLM에 대응되지 않는 비선형 베일리–사이먼 모형도 존재한다.

예제 행·열 평균 맞추기(가법, w=1)

2×2 경험표가 행 평균 (10, 20), 열 평균 (12, 18)을 가진다. 가법 모형 x_q+y_c의 첫 반복은 어떻게 진행되는가?

y_c를 0으로 초기화하면 x_q⁽¹⁾ = (행 q의 r 합)/(열 개수) = 행 평균이 되어 (10, 20). 다음 y_c⁽¹⁾ = 열 평균 − (x들의 평균). x 평균 = 15이므로 y = (12−15, 18−15) = (−3, 3). 이렇게 행·열 주변합이 경험과 일치할 때까지 번갈아 갱신한다.

3. 편의·이탈도·일반화 균형 Bias, Deviance, Generalized Balance

이제 편의와 그에 연관된 모형 적합도 척도인 이탈도(deviance)의 확장 개념으로 넘어간다. 이는 편의가 0인 여러 모형 중에서 하나를 고르는 데 중요하다. 편의처럼 이탈도도 각 관측마다 정의되어 전체에 걸쳐 합산된다. 각 이탈도가 음이 아니므로 모형 이탈도도 음이 아니며, 0이면 완전적합에 대응한다. 대칭인 편의와 달리 이탈도는 대칭일 필요가 없다—양의 편의보다 음의 편의(또는 그 반대)를 더 우려할 수 있다.

보통의 편의는 관측 r과 적합값(요율) μ의 차이 r − μ이다. 여러 관측의 편의를 더할 때 관측마다 가중치를 달리할 이유가 둘 있는데, 모두 BaS2(신뢰도 반영)와 관련된다—(1) 셀마다 노출 수가 달라 분산·신뢰도가 다르고, (2) 바탕분포의 분산이 평균 μ의 함수이면 셀마다 상대적 신뢰도가 다르다. 분산이 큰 셀의 큰 편의는 더 흔하므로, 분산이 작은 셀의 편의보다 작게 가중해야 한다. 이를 위해 분산함수(variance function) V를 쓴다. V는 한 변수의 순양수 함수로, 예로 V(μ) = 1, V(μ) = μ, V(μ) = μ²이 있다. 분산함수 V와 사전가중치 w가 주어지면 선형 편의함수를 정의한다.

모형 전체의 총편의는 다음과 같다(관측을 r₁, …, r₁₂로 번호 매김).

이탈도 함수 d(r; μ)는 관측 r과 적합값 μ의 거리 척도로, (d1) d(r; r) = 0, (d2) r ≠ μ이면 d(r; μ) > 0을 만족해야 한다. GLM 이론에 착안해, 선형 편의함수에 다음과 같이 이탈도 함수를 대응시킨다.

이는 (d1)·(d2)를 분명히 만족한다. 미적분의 기본정리에서 ∂d/∂μ = −2w(r − μ)/V(μ)임을 얻는데, 이는 뒤에 최소이탈도 모형을 구할 때 쓰인다. 보통편의 b(r; μ) = r − μ(즉 V = 1)에 대응하는 이탈도는 제곱거리 이탈도다.

V(μ) = μ²에 대응하는 (r − μ)/μ² 편의에 대응하는 이탈도는 다음과 같고, 이 경우 r = μ 주위로 대칭이 아니다.

분류계획의 총이탈도는 모든 셀에 대한 합으로 정의된다.

∂d/∂μ 식이 보여 주듯, 최소이탈도 모형은 최소편의 모형이 된다—이것이 이탈도를 정의한 이유다.

4. 최소이탈도 = 최대가능도, 그리고 GLM Minimum Deviance, MLE, and GLM

조금 일반화해, 분류계획이 클래스 i의 요율을 μ_i = h(x_iβ)로 정한다고 하자. 여기서 β는 기본 요율량의 벡터, x_i = (x_i₁, …, x_ip)는 요율 대상 위험의 특성 벡터, h는 추가 변환이다(h는 GLM의 연결함수(link function)의 역함수). 총이탈도 D를 β에 대해 최소화하려면 각 β_j로 미분해 0으로 둔다. 연쇄법칙과 위 미분식, 그리고 이탈도가 선형 편의함수에 대응한다는 가정을 쓰면 p개의 방정식을 얻고, 이를 행렬로 쓰면 다음이 된다.

여기서 W는 (i, i) 성분이 w_ih′(x_iβ)/V(μ_i)인 대각행렬, μ는 Xβ의 변환이다. 이 식은 단지 일반화된 영(零)편의 방정식 BaS1이다—앞의 가중 정규방정식과 비교하라. 따라서 일반적 틀에서 베일리·사이먼의 균형기준 BaS1은, 편의를 선형 편의함수로 재고 연결함수·모형 형태에 맞게 가중치를 조정하면 최소이탈도 기준과 동치가 된다.

여기서 이 식이, 연결함수 g = h⁻¹과 분산함수 V를 갖는 지수족 분포에 대한 GLM의 최대가능도 방정식임을 쉽게 알 수 있다. 이 대응은 지수족 분포의 구성 덕분에 성립한다—최소이탈도가 최대가능도에 대응한다.

해설 분산함수 ↔ 분포

분산함수 V(μ) = μ^k를 고르는 것은 곧 오차분포를 고르는 것이다—k=0 정규, k=1 포아송, k=2 감마, k=3 역가우스. 베일리–사이먼 반복은 암묵적으로 이 분포를 가정하는 셈이며, GLM으로 보면 그 가정이 명시적으로 드러나 진단·검정이 가능해진다.

5. 예: 승법(곱셈) 최소편의 모형 Examples: Multiplicative Minimum Bias

실무 분류계획은 보통 기준요율 집합과 승법 상대도(multiplicative relativity)로 이루어지므로 승법 모형이 더 흔하다. 우리 틀에서 승법 인자는 h(x) = e^x로 손쉽게 얻는다. V(μ) = μ로 두면, 첫 분류변수의 i번째 수준에서 편의를 0으로 만드는 최소이탈도 조건은 다음과 같다(연결함수 관련 조정 포함).

이를 풀면 베일리–사이먼의 승법 모형 반복식을 얻는다.

j에 대해서도 대칭으로 같은 형태가 성립한다. 분산함수 V(μ) = μ는 자료에 대한 포아송 분포에 대응한다. V(μ) = 1을 쓰면 정규오차를 가진 승법 모형이 되는데, 이는 로그변환 자료에 선형모형을 적용하는 것(로그정규 오차가 됨)과는 다르다.

둘째 예로 분산함수 V(μ) = μ^k (k = 0, 1, 2, 3)와 h(x) = x를 보자. 이들은 차례로 정규(k=0)·포아송(k=1)·감마(k=2)·역가우스(k=3) 지수족 분포에 대응한다. 미분식을 재배열하면 다음 반복법을 얻는다.

k = 0이면 이 식은 앞의 가법 반복식과 같다. k가 커질수록 극단적 관측에 더 작은 가중치가 실리므로, 최소편의 모형이 더 두꺼운 꼬리의 오차분포를 가정하고 있음이 직관적으로 분명하다. 특정 GLM과의 대응을 알면 이 직관이 확인되고 각 경우의 자료 분포가 구체적으로 정해져, 모형 작성자가 더 강력한 위치에 서게 된다.

예제 승법 반복식 한 단계

승법 모형 μ_ij = e^x_i+y_j, V(μ)=μ에서 행 i의 인자 e^x_i를 어떻게 갱신하나?

반복식 e^x_i = (∑_j w_ijr_ij) / (∑_j w_ije^y_j)를 쓴다. 즉 행 i의 가중 실제손해 합을 현재 열 인자로 만든 기대 노출 합으로 나눈다. 이렇게 행·열 인자를 번갈아 갱신하면 주변합이 경험과 맞을 때까지 수렴한다.

6. GLM 권고와 정리 Why Prefer GLM

지금까지 선형 최소편의 모형과 통계적 GLM의 연결에 초점을 맞추었다. 최소편의 모형은 직관적이고 이해·계산이 쉽지만, 최종적으로 모형 작성자에게는 GLM이 더 강력한 기법을 제공한다—오차분포 가정이 명시적이고, 계산기법이 더 효율적이며, 출력 진단이 더 유익하다. 이 때문에 독자는 선형 최소편의 모형 기법보다 GLM 기법을 선호하는 것이 좋다. 다만 모든 최소편의 모형이 GLM으로 나타나는 것은 아니며, 비선형 예에 대해서는 별도 문헌을 참조해야 한다. χ² 등 다른 적합도 척도도 문헌에서 다룬다.

해설 역사적 위치

베일리–사이먼 방법(1960)은 GLM(1970~80년대 정립)보다 먼저 나온 요율산정의 고전이다. 미국에서는 ISO가 개인·상업 보종 요율에 최소편의 모형을 써 왔고, 유럽에서는 GLM을 더 명시적으로 사용해 왔다. 오늘날 분류요율의 표준 도구는 GLM이지만, 그 뿌리이자 직관적 출발점이 바로 주변합을 맞추는 베일리–사이먼 반복이다.

참고 및 관련 표제어

관련 표제어. Ratemaking(요율산정) · Generalized Linear Models(일반화선형모형, GLM) · Minimum Bias(최소편의) · Risk Classification / Classification Ratemaking(분류요율) · Regression Models for Data Analysis(자료분석 회귀모형)

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

분류요율 계획 (classification rating plan) — 적은 수의 기준요율·요율인자를 결합해 많은 클래스의 요율을 정하는 체계.
상대도 (relativity) — 기준요율 대비 각 클래스 요율의 배수(승법) 또는 가산값(가법).
편의 (bias) — 적합요율과 실제 경험의 차이 r − μ. 양·음이 모두 가능해 평균이 0이 될 수 있다.
주변합 일치법 (method of marginal totals) — 행·열 합을 경험의 행·열 합에 맞추는 균형조건(BaS1).
이탈도 (deviance) — 관측과 적합값의 거리 척도. 항상 0 이상이고 완전적합에서만 0.
분산함수 (variance function) V(μ) — 분산이 평균에 의존하는 방식. μ^k의 k가 오차분포를 결정.
연결함수 (link function) — 선형예측자 xβ와 평균 μ를 잇는 함수 g; h = g⁻¹.
정규방정식 (normal equation) — X^tWXβ = X^tWr. 가중선형회귀의 해를 정의.
야코비/가우스–자이델 반복 — 정규방정식을 푸는 두 반복법. 베일리–사이먼 반복이 그 특수형.
일반화선형모형 (GLM) — 지수족 분포 + 연결함수의 회귀 틀. 최소편의 = 최대가능도로 연결됨.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

베일리–사이먼 방법은 연령·차종 같은 여러 요인을 동시에 반영하는 분류요율을 행·열 반복보정으로 구하는 고전적 기법으로, 국내 자동차보험 요율 세분화의 출발점이 된 사고다. 오늘날에는 동일한 다요인 요율을 일반화선형모형(GLM)으로 추정하는 것이 표준이며, 베일리–사이먼은 GLM의 특수한 경우로 이해된다.

국내 자동차·실손 요율은 여러 위험특성을 동시에 반영해 셀별 요율을 산출하는데, 그 이론적 뿌리가 본문의 최소편향(minimum bias) 보정에 있다.

실무 GLM의 전신

오늘날 국내 분류요율은 대부분 GLM으로 산출되지만, 베일리–사이먼의 행·열 균형 사고가 그 토대다. 다요인 요율의 원형으로 의미가 있다.

[한국보험시장 현황]은 한국 보험시장 실무 관점(2026.6 기준)에서 추가 작성한 것임. · 원문: Encyclopedia of Actuarial Science (Wiley, 2004), "Bailey–Simon Method", Stephen J. Mildenhall. · 본 해설서의 [해설]·[예제]·[부록]은 학부 입문 학습용으로 추가·구성한 것임.