보너스–맬러스 제도 (할인·할증)

1. 사전요율 변수와 사후 조정 A Priori vs A Posteriori Rating

다른 보험종목과 마찬가지로 자동차보험에서도 계리사는 손해 부담을 계약자들 사이에 공정하게 배분하는 요율구조를 설계해야 한다. 포트폴리오의 모든 위험이 동일하게 분포한다고 볼 수 없다면, 위험과 유의하게 상관된 분류변수(classification variable)를 찾아 모든 계약을 요율 셀(rating cell)로 나누는 것이 공정하다. 경쟁시장에서 유의한 변수를 요율에 반영하지 못하면, 그 변수를 사용하는 경쟁사에게 자사의 우량위험을 빼앗기게 된다.

많은 변수의 값은 계약자가 운전을 시작하기 전에 미리 정해진다. 이를 사전변수(a priori variable)라 한다. 자동차 대인배상(third-party liability)에서 흔히 쓰는 사전변수로는 주운전자의 나이·성별·혼인상태·직업, 차량의 모델·배기량(출력)·용도, 거주지, 가구 보유 차량 수 등이 있고, 일부 국가에서는 흡연 여부나 차 색깔까지 사용한다.

사전변수를 많이 넣어도 요율 셀 안에는 여전히 계약자 간 강한 이질성(heterogeneity)이 남는다. 어떤 사전변수도 책임 있는 운전행태(난폭운전 성향, 교통법규 준수, 음주습관, 반사신경 등)를 대신할 수 없기 때문이다. 그래서 대부분의 나라가 채택한 발상이, 개별 사고경험(그리고 가능하면 교통법규 위반 기록)을 반영하여 보험료를 사후(a posteriori)로 조정하는 것이다.

2. 보너스·맬러스란 무엇인가 Bonuses and Maluses

과거의 본인과실 사고(at-fault claim)는 보험료 할증(surcharge)으로 벌점화되는데, 이 할증을 맬러스(malus)라 한다. 반대로 무사고 연도는 보험료 할인(discount)으로 보상되며, 이 할인을 보너스(bonus)라 한다. 이런 할증·할인을 포함한 요율제도를 유럽·아시아 대부분에서는 보너스–맬러스 제도(Bonus–Malus System, BMS)라 부르고, 다른 나라에서는 실적요율(merit-rating) 또는 무사고할인(no-claim discount) 제도라 부른다.

이 제도의 정당성은 통계연구들이 내린 결론, 즉 운전자의 향후 사고건수를 가장 잘 예측하는 것은 나이·성별·차종이 아니라 과거의 본인과실 사고건수라는 사실에 근거한다. BMS의 주된 목적은 — 신중운전을 유도해 도덕적 해이(moral hazard)를 줄이는 것 외에 — 개별 위험을 더 잘 평가하여, 장기적으로 누구나 자기 손해의 공정한 몫에 해당하는 보험료를 내게 하는 것이다.

BMS는 또한 역선택(adverse/antiselection)에 대한 대응이기도 하다. 예컨대 연간 주행거리는 사고건수와 명백히 상관되지만, 대부분의 보험사는 이를 정확·저렴하게 측정할 수 없다고 본다. BMS는 많이 운전하는 사람의 더 잦은 사고를 벌점화함으로써, 이런 정보 비대칭을 부분적으로 보완한다.

3. 마르코프 연쇄로 본 BMS BMS as a Markov Chain

전 세계 대부분의 BMS는 마르코프 무기억성(memory-less property)을 갖는다. 즉, 다음 해의 등급은 현재의 등급과 올해의 사고건수만으로 결정되며, 과거에 그 등급에 어떻게 도달했는지는 무관하다. 일부 BMS는 이 성질을 갖지 않지만, 그런 경우에도 등급 수를 늘리면 항상 마르코프 형태로 바꿀 수 있다. 모든 BMS는 유한상태 에르고딕(정칙) 마르코프 연쇄로 표현할 수 있어 — 모든 상태가 양재귀·비주기적 — 분석이 크게 쉬워진다.

정의 Definition

한 보험사가 s-등급 BMS를 쓴다는 것은, 어떤 요율 셀의 피보험자들을 유한개의 등급 C_i (i = 1, …, s)로 나눌 수 있고, 연간 보험료가 등급과 사전변수에만 의존함을 뜻한다. 관례상 C₁은 최대 할인 등급, C_s는 최대 할증 등급이다. 이 제도는 다음 세 요소로 결정된다.

• 보험료 수준 척도 b = (b₁, …, b_s), 단 b₁ ≤ b₂ ≤ … ≤ b_s;
• 시작 등급 C_i₀;
• 전이규칙(transition rules): 사고건수가 정해졌을 때 한 등급에서 다른 등급으로 옮기는 규칙.

전이규칙은 변환 T_k로 나타낼 수 있다. k건의 사고가 보고됐을 때 계약이 C_i에서 C_j로 옮겨지면 T_k(i) = j이다. 이를 행렬 T_k = (t_ij^(k))로 쓰면, T_k(i) = j일 때 원소가 1, 아니면 0이다. 변환은 일관성 조건 T_k(i) ≤ T_l(i) (단 k ≤ l)과 T_k(i) ≤ T_k(m) (단 i ≤ m)을 만족해야 한다.

4. 사고건수 모형과 전이확률 Claim Frequency & Transition Probabilities

각 계약자의 연간 사고건수는 흔히 모수 λ의 포아송 분포(Poisson distribution)를 따른다고 가정한다.

여기서 사고빈도(claim frequency) λ는 포트폴리오 안에서 사람마다 다르므로 확률변수이며, 그 분포는 밀도함수 u(λ) — 이를 구조함수(structure function)라 한다 — 로 정의된다. λ의 분포로 가장 고전적인 선택은 감마분포(Gamma distribution)이며, 이때 포트폴리오의 사고건수는 음이항분포(negative binomial distribution)를 따른다.

사고빈도가 λ인 계약자가 C_i에서 C_j로 옮겨갈 (1단계) 전이확률 p_ij(λ)는 다음과 같다.

여기서 p_k(λ)는 한 보험연도에 k건의 사고를 보고할 확률이다. 행렬 P(λ) = (p_ij(λ))가 이 마르코프 연쇄의 전이행렬이다. λ가 시간에 따라 변하지 않으면(운전능력 개선 없음) 연쇄는 시간동질(homogeneous)이다. 무사고 연도일 확률을 p₀(λ), 적어도 한 건을 보고할 확률을 1 − p₀(λ)로 쓴다.

5. 정상분포와 평균 보험료 Stationary Distribution & Mean Premium

전이행렬을 알면, n단계 전이확률 p_ij⁽ⁿ⁾(λ)는 P(λ)를 n번 곱해 구한다. 기약(irreducible) 에르고딕 마르코프 연쇄에서는 정상분포(stationary distribution) a(λ) = [a₁(λ), …, a_s(λ)]가 항상 존재하며, 이는 다음 식의 유일한 해다.

a_j(λ)는 보험연수가 무한히 커질 때 계약이 C_j에 있을 확률의 극한값이며, 동시에 사고빈도 λ인 계약자가 정상상태 도달 후 C_j에 머무는 시간의 비율이기도 하다. 회사의 전체 포트폴리오에 대한 정상분포 a = (a₁, …, a_s)는 개별 정상분포를 구조함수로 적분하여 얻는다.

회사가 정상상태에서 거두는 평균 보험료 수준은 개인별로는 b(∞, λ), 포트폴리오 전체로는 b(∞)로 쓴다.

벌점 등급 수가 보고 1건당 5등급을 넘는 곳이 없을 만큼 전이규칙이 완화되어 있고, 선진국 평균 사고빈도가 10% 아래로 떨어지면서, 몇 년 뒤에는 대다수 계약이 고할인 등급에 몰리고 제도의 재정 불균형이 생긴다. 그 결과 b(∞)는 시작 수준 100보다 훨씬 낮아지고, 보험사는 기본보험료를 점점 올릴 수밖에 없다.

6. BMS의 평가와 설계 도구 Evaluation and Design Tools

BMS의 설계·구현은 대개 마케팅·규제·공정성·재정이라는 상충하는 고려들 사이의 타협이다. 계리사들은 기존 BMS를 평가하고 새 BMS 설계를 돕기 위한 여러 도구를 개발했다.

① 기대 제곱 요율오차 Expected Squared Rating Error

화폐단위를 사고 평균금액이 1이 되도록 재척도화하자. 사고심도가 운전자의 통제 밖이라면, BMS는 피보험자의 사고빈도 λ를 추정하려는 셈이다. 평균 정상보험료 b(∞, λ)와 λ의 차이가 그 계약자의 요율오차다. BMS 설계의 자연스러운 목표는 포트폴리오 전체에 걸친 총 요율오차(제곱오차의 기댓값)를 최소화하는 것이다. 점근적 접근에서 총 요율오차는 다음과 같다.

② 투명성 Transparency

정상 평균수준 b(∞)가 100보다 낮으면, 계약자가 기대한 진짜 할인을 받지 못하므로 불공정하다고 볼 수 있다. 무사고 1년 뒤 5% 할인을 받는다고 믿어도, 회사가 고할인 등급 집중을 메우려 모든 보험료를 4% 올린다면 실질 할인은 약 1%뿐이다. 이때 BMS는 사용자에게 투명하지 않다. 강한 설계 제약으로 투명성 조건 b(∞) = 100을 부과할 수 있다.

③ 상대 정상 평균수준 (RSAL) Relative Stationary Average Level

정상 평균수준 b(∞)는 최소·최대 수준 b₁, b_s가 제도마다 달라 그 자체로는 비교에 쓸 수 없다. 그래서 RSAL을 정의한다.

RSAL이 낮으면 계약이 낮은 등급에 많이 몰려 있음을, 높으면 등급 간에 잘 퍼져 있음을 뜻한다.

④ 수렴속도 Rate of Convergence

어떤 BMS는 몇 년 만에 정상분포에 가까워지지만, 더 정교한 BMS는 30년, 심지어 60년이 지나도 등급 확률이 안정되지 않는다. 운전 생애에 비추어 60년은 명백히 과도하다. n년 뒤 정상분포로의 수렴 정도는 총변동(total variation)으로 측정한다.

총변동은 두 확률분포에 대해 항상 0과 2 사이에 있으며, BMS가 안정되면서 0으로 줄어든다. 시작 등급의 보험료 수준이 b(∞)에 가까울수록 수렴이 빨라진다.

⑤ 보험료 변동계수 Coefficient of Variation

보험은 계약자에서 보험사로의 위험이전이다. BMS가 없으면 이전이 완전(완전 연대)하여 계약자 연간 지급액의 변동성은 0이다. BMS가 있으면 어느 정도 변동이 생기는데, "관대한" BMS는 낮고 "엄격한" BMS는 높다. 변동계수(표준편차/평균)는 차원 없는 산포 척도로서 BMS의 연대성·엄격성을 평가한다. 어떤 BMS든 사고 변동계수의 작은 일부만 계약자에게 이전되며, 주된 위험부담자는 여전히 보험사다.

7. 탄력성과 효율 Elasticity and Efficiency

사고건수만으로 BMS를 만들면, 각 운전자의 위험은 개인 사고빈도 λ로 측정된다는 중요한 결과가 따른다. 사고빈도에 대한 평균 정상보험료의 탄력성(줄여서 BMS의 탄력성)은 사고빈도 변화에 대한 제도의 반응을 측정한다. 합리적인 BMS라면 생애 보험료가 λ의 증가함수여야 하고, 이상적으로는 선형 — λ가 10% 늘면 총보험료도 10% 늘어야 — 이다. 대부분은 증가폭이 10% 미만이다. 만약 2%라면, λ = 0.10에서 탄력성은 0.20으로 평가된다.

로이마란타(Loimaranta)는 점근적 탄력성 개념을 효율(efficiency)이라는 이름으로 도입했다. 사고빈도 λ에 대응하는 평균 정상보험료를 b(∞, λ)로 쓸 때 효율은 다음과 같다.

η(λ) = 1이면 BMS가 완전탄력적이라 한다. 구간 λ ∈ (0, 1) 전체에서 η(λ) = 1이 되는 것은 불가능하며, λ → 0일 때와 λ → ∞일 때 η(λ) → 0이다. 설계자는 가장 흔한 λ 값(예: 0.05–0.25)에서의 η(λ)에 집중해야 한다. 실제로 거의 모든 BMS는 이 구간에서 탄력성이 1보다 한참 낮으며, 스위스 제도는 드물게 (0.15–0.28) 구간에서 과탄력(η(λ) > 1)을 보인다. 포트폴리오 탄력성 η는 다음과 같이 적분해 구한다.

8. 보너스 헝거와 최적 자기부담 Bonus Hunger & Optimal Retention

사고금액과 무관하게 벌점을 매기는 BMS는 보너스 헝거(bonus hunger) 효과를 부른다. 계약자는 미래의 보험료 인상을 피하려고 소액 사고를 스스로 부담하고 회사에 신고하지 않는다. 이 행태는 이미 1938년에 인식되었다. 여러 나라의 소비자단체 잡지는 최적 자기부담(optimal retention) 표 — 그 금액 아래면 직접 부담하는 게 유리하고 그 위면 신고하는 게 유리한 사고금액 — 를 발표한다.

최적 전략 계산은 불확실성하의 무한기간 동적계획법과 밀접한 어려운 문제로, 현재 BMS 등급, 할인율, 사고빈도, 사고 발생시점, 이미 신고한 사고 수, 사고심도 분포 등 여러 요인에 달려 있다. 계산해 보면 최적 자기부담은 놀라울 만큼 높다. 최하위 등급에 도달한 운전자를 빼면, 자기부담액이 보통 연보험료를 넘으며, 때로는 연보험료의 4~5배에 달하는 사고도 직접 부담하는 것이 유리하다.

"최적" BMS란 투명하고, RSAL이 너무 낮지 않으며, 수렴이 빠르고, 보험료 변동계수가 합리적이며, 흔한 λ 값에서 탄력성이 1에 가깝고, 최적 자기부담이 적당하며, 요율오차가 낮은 제도다. 이 목표들은 서로 상충한다. 전이규칙을 더 엄격하게 하면 요율오차·탄력성·RSAL·투명성은 좋아지지만 수렴이 느려지고 변동성과 최적 자기부담이 과도해질 수 있다. 따라서 BMS 설계는 수많은 시행착오가 필요한 복잡한 작업이다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 보너스–맬러스 제도 (BMS) — 무사고에 할인(보너스), 사고에 할증(맬러스)을 주는 자동차보험 사후요율 제도. 경험요율의 한 형태.
• 사전변수 / 사후요율 (a priori / a posteriori) — 계약 전 정보로 정하는 요율 vs 계약 후 사고경험으로 조정하는 요율.
• 마르코프 연쇄 (Markov chain) — 다음 상태가 현재 상태에만 의존하는(과거 경로 무관) 확률과정. BMS의 등급 전이가 이에 해당.
• 전이행렬 / 전이확률 (transition matrix) — 한 등급에서 다른 등급으로 옮겨갈 확률을 모은 행렬 P(λ).
• 정상분포 (stationary distribution) — 시간이 무한히 흐른 뒤 각 등급에 계약이 머무는 비율의 극한 분포 a(λ).
• 구조함수 (structure function) — 포트폴리오 안 사고빈도 λ의 분포 u(λ) (흔히 감마).
• 포아송–음이항 (Poisson / negative binomial) — 개인 사고건수는 포아송, λ가 감마면 포트폴리오 전체는 음이항분포.
• 탄력성 / 효율 (elasticity / efficiency) — 사고빈도가 변할 때 보험료가 얼마나 반응하는지(=공정성)의 척도. 이상값 1.
• RSAL — 상대 정상 평균수준. 계약이 등급에 얼마나 잘 분산됐는지를 0~1로 나타내는 지표.
• 보너스 헝거 / 최적 자기부담 (bonus hunger) — 할증을 피하려 소액사고를 신고하지 않는 행태와, 신고·자기부담의 손익분기 금액.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

보너스–맬러스(할인·할증)는 국내 자동차보험의 핵심 요율제도다. 무사고 기간이 쌓이면 할인등급이 올라 보험료가 내려가고, 사고가 나면 할증되어 오른다. 본문의 등급 전이(transition) 구조가 국내 우량할인·불량할증 등급과 사고점수제(건수·크기 반영)로 구현되어 있다.

이 제도는 본문이 강조한 사후적 경험요율로서, 위험분류만으로 못 잡는 개인별 위험을 사고 경험으로 보정한다. 다만 소액사고의 할증 회피(자비 처리) 같은 행태유인도 함께 나타나며, 이는 제도 설계 시 고려된다.