파레토 요율
1. 개요: 왜 파레토인가 Why the Pareto Distribution
파레토 분포(Pareto distribution)는 다른 표준적인 손해분포에 비해 여러 좋은 성질을 갖고 있어 문헌에서 폭넓게 연구되어 왔다(→ 연속 모수분포 참조). 파레토 분포의 가장 중요한 특징 중 하나는, 경험자료가 거의 없거나 전혀 없는 고액 초과계층(high excess layer)의 요율을 매길 때 관측 자료로부터 더 나은 외삽(extrapolation)을 제공한다는 점이다. 지수분포·감마분포·로그정규분포 같은 다른 분포들은 경험이 없지만 불확실성이 큰 이런 초과계층에서 일반적으로 더 "싸게(cheaper)" 나온다 — 즉 손해를 과소평가하기 쉽다.
재산(property) 부문 초과손해액 재보험(excess-of-loss reinsurance)의 요율산정에서 파레토 모형을 활용한 사례는 문헌에 잘 정리되어 있다. 파레토 분포에는 여러 가지 모수화(parameterization) 방식이 있으며, 어떤 자료가 있고 분석 목적이 무엇이냐에 따라 각기 장단점이 있다.
초과계층 요율의 어려움은 거대손해가 드물어 자료가 거의 없다는 점이다. 이런 영역에서 정규·로그정규처럼 꼬리가 얇은 분포를 쓰면 큰 손해 확률을 너무 낮게 본다. 파레토 분포는 두꺼운 꼬리(heavy tail)를 가져 큰 손해를 비교적 보수적으로(=비싸게) 예측하므로, 관측 범위 너머로 외삽할 때 더 안전한 편이다.
2. 파레토 분포의 형태 Forms of the Pareto Distribution
실무에서 가장 흔히 쓰이는 두 가지는 1-모수 파레토와 2-모수 파레토다. 2-모수 파레토 분포 Pareto(α, β)의 확률밀도함수(pdf)는 다음과 같다.
여기서 α는 꼬리 두께를 결정하는 형상모수(shape), β는 척도모수(scale)다. 생존함수(꼬리확률)는 다음의 간단한 닫힌 형태를 가진다.
평균과 분산은 다음과 같으며, 각각 α > 1, α > 2일 때만 유한하다.
1-모수 파레토 분포 Pareto(α)는 임계값 d를 초과하는 손해만 다룬다. 개별 클레임 중 d보다 큰 것만 자료로 주어질 때 유용하며, 모수가 하나뿐이라 업종(line of business)별로 모수가 분포 형태에 미치는 영향을 비교하기 쉽다.
반면 2-모수 파레토는 포트폴리오에서 발생한 모든 클레임이 주어질 때 특히 유용하며, 이때 로그정규 같은 다른 2-모수 분포와 적합도(goodness-of-fit)를 비교할 수 있다.
파레토 계열에는 일반화 파레토 분포(GPD)도 있다. 극단값이론(extreme value theory)의 수학적 결과는, 큰 임계값을 초과하는 손해의 극한분포로 GPD가 정당화됨을 보여준다. 따라서 "큰 임계값 초과분"을 모형화하는 데 파레토/GPD를 쓰는 것은 이론적 뒷받침이 있다.
3. 임계값 변경에 대한 닫힘 성질 Closure under Change of Thresholds
파레토형 분포가 초과손해액 요율산정에 적합한 핵심 이유는 임계값 변경에 대해 닫혀 있다(closed under change of thresholds)는 점이다. 즉, 개별 클레임액 X가 1-모수 파레토를 따를 때, "X > u가 주어졌을 때 X − u의 조건부 분포"는 2-모수 파레토가 된다. 또한 X가 2-모수 파레토를 따르면, 같은 조건부 분포(X > u 주어진 X − u)는 다시 2-모수 파레토가 되며 모수는 u에 따라 달라진다.
재보험은 본래 "어떤 부보점 u를 넘는 부분"을 다룬다. 임계값을 u로 올려도 초과분이 여전히 파레토라면, 부보점이 다른 여러 계층을 같은 분포족으로 일관되게 다룰 수 있다. 한 번 적합한 파레토로 더 높은 계층의 요율까지 자연스럽게 외삽할 수 있다는 뜻이다.
4. 계층 기대비용 Expected Cost in a Layer
계층은 "l xs m"으로 표기한다. 이는 부보점 m을 초과하는 손해를 최대 l까지 부담한다는 뜻으로, 한 클레임이 계층에 귀속되는 금액은 다음과 같다.
여기서 X는 개별 클레임 크기다. 계층의 클레임당 기대비용(expected cost per claim)은 기대값 표현을 직접 적분하여 다음과 같이 구한다.
여기서 f(x)와 F(x)는 각각 X의 pdf와 누적분포함수(cdf)다. 같은 기대비용을 한정기대값(limited expected value)으로 계산할 수도 있다(→ 익스포저 요율법 참조). 위 표현은 1-모수·2-모수 파레토 모두에서 닫힌 형태(closed form)를 가진다는 점이 중요하다.
X가 1-모수 파레토를 따르면 계층 l xs m의 클레임당 기대비용은 다음과 같다.
X가 2-모수 파레토를 따르면 계층 l xs m의 클레임당 기대비용은 다음과 같다.
계층 기대비용은 본질적으로 생존함수 S(x) = 1 − F(x)를 부보점 구간에서 적분한 것이다. 파레토의 생존함수가 단순한 거듭제곱 꼴(2절)이므로 적분이 깔끔하게 풀려, 모수만 알면 어떤 계층의 기대손해든 공식 한 줄로 얻을 수 있다. 수치적분이 필요 없다는 것이 실무상 큰 장점이다.
5. 예제: 과거 손해로 초과계층 요율 매기기 Worked Example
한 보험 포트폴리오의 클레임 경험이 다음과 같다(인플레이션 조정 완료). 10,500 · 10,435 · 15,090 · 26,730 (단위: 화폐). 경험이 거의 없는 고액 초과계층의 요율을 매기려 한다.
최대가능도추정(MLE)으로 이 과거 손해에 2-모수 파레토를 적합하면 다음 모수를 얻는다.
이 적합 분포의 생존함수를 제4절의 2-모수 공식 
에 대입하면, 여러 재보험 계층의 클레임당 기대비용을 직접 계산할 수 있다. 원문 Table 2는 이 모형으로 서로 다른 두 계층의 클레임당 기대비용을 제시한다.
| 계층 (l xs m) | 모형 | 산출 |
|---|---|---|
| 각 초과계층 | Pareto(1.504457, 187859.8) | 제4절 공식으로 닫힌 형태 계산 |
핵심은, 관측된 4건의 손해만으로 적합한 파레토 분포가 그 범위를 훨씬 넘는 고액 계층의 기대비용까지 일관되게 외삽해 준다는 점이다.
6. 장점과 실무상 한계 Advantages and Practical Limitations
초과계층 요율을 매길 때, 경험이 거의 없는 계층에서는 파레토 분포가 다른 표준 손해분포보다 더 나은 적합을 주는 것이 보통이다. 다시 말해 관측 자료 너머로 더 잘 외삽한다. 그러나 파레토 분포의 실무상 단점 하나는, 기대값이 형상모수 α > 1일 때만 존재한다는 점이다. 적합된 α가 1에 가까우면 평균(따라서 계층 기대비용)이 매우 불안정해지므로 결과 해석에 주의해야 한다.
제2절에서 보았듯 평균은 α > 1, 분산은 α > 2에서만 유한하다. 본 예제의 적합값 α ≈ 1.50은 평균은 존재하지만 분산은 존재하지 않는 영역이다. 꼬리가 그만큼 두껍다는 뜻으로, 거대손해의 변동성을 강조하는 보수적 모형임을 보여 준다.
참고 및 관련 표제어
부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)
- 파레토 분포 (Pareto distribution) — 꼬리가 두꺼운 손해분포. 고액 초과계층의 손해를 외삽하는 데 강함.
- 1-모수 / 2-모수 파레토 — 임계값 d 초과만 다루는 형(1-모수)과 척도모수 β를 둔 형(2-모수).
- 형상모수 α (shape) — 꼬리 두께를 정함. α 작을수록 꼬리가 두껍고 평균·분산이 불안정.
- 초과계층 (excess layer) / "l xs m" — 부보점 m 초과분을 한도 l까지 부담하는 구간.
- 클레임당 기대비용 (expected cost per claim) — 한 클레임이 계층에 들여보낼 것으로 기대되는 평균 금액.
- 생존함수 (survival function) S(x) — 1 − F(x), 손해가 x를 초과할 확률. 계층 적분의 핵심.
- 임계값 변경 닫힘 (closure under thresholds) — 임계값을 올려도 초과분이 다시 파레토가 되는 성질.
- 외삽 (extrapolation) — 관측 자료 범위 밖(고액 계층)으로 손해를 추정하는 것.
- 한정기대값 (limited expected value) — 상한을 둔 손해의 기대값. 계층 비용 계산의 대안 도구.
- 일반화 파레토 분포 (GPD) — 극단값이론이 임계값 초과분의 극한분포로 정당화하는 파레토형 분포.
한국보험시장 현황 Korea Market Practice
파레토 요율(Pareto Rating)은 한국에서 초과손해 재보험(Excess of Loss Reinsurance) 보험료 산출에 가장 직접적으로 활용된다. 재물·배상책임·자동차 등의 종목에서 초과손해 재보험층에 진입하는 대형 클레임의 빈도와 규모를 파레토 분포로 적합하여, 각 계층(layer)의 기대 비용을 산출한다. 국내 손해보험사와 코리안리 등 재보험사는 이 방법론을 참조하여 재보험 조건을 협의한다.
보험개발원의 참조순보험요율 산출에도 극단 손해 분포 모형화가 포함된다. 특히 자동차 대인·대물 고액 클레임, 대형 화재·폭발 손해, 환경오염 배상 등에서 두꺼운 꼬리 특성을 보이는 손해 분포의 적합이 중요하다. 파레토 분포가 가진 '임계값 변경 닫힘(closure under thresholds)' 성질 — 즉 임계값을 올려도 초과분이 다시 파레토가 된다는 특성 — 은 여러 계층의 재보험 비용을 일관성 있게 계산하는 데 실무적으로 유리하다.
극단값이론(Extreme Value Theory, EVT)과 일반화 파레토 분포(GPD)의 활용도 국내 대형 보험사와 재보험사 계리 부서에서 점차 확산되고 있다. K-ICS의 자연재해 위험 요구자본 산출에서도 거대 손해 분포의 꼬리 특성 모형화가 요구되며, 이 과정에서 파레토형 분포 적합과 계층 비용 추정 기법이 활용된다. Cat(재해) 모형 사용도 병행되나, 데이터 제약이 있는 종목에서는 파레토 요율 방법이 실용적인 대안이 된다.
파레토 요율 적용 시 한국 실무에서 유의할 점은 역년별 대형 손해의 변동성이다. 특정 연도에 대형 태풍·집중호우 등 재해성 손해가 집중되면 일반 파레토 피팅의 모수가 크게 흔들린다. 이를 보완하기 위해 단기(3~5년) 평균과 장기(10년+) 참조 데이터를 결합하고, 재해 손해를 평준화(catastrophe loading)하여 적용하는 방식이 권장된다. 이 과정에서 계리사는 파레토 꼬리 지수(α)의 안정성과 적합 감도를 점검하는 역할을 맡는다.