고장률 (위험률)

1. 고장률의 정의 Definition of the Failure Rate

X를 분포함수 F를 갖는 비음수 확률변수라 하고, 어떤 장치(device)의 수명(lifetime)을 나타낸다고 하자. F̄(x) = 1 − F(x)는 생존함수다. x_F = sup{x: F̄(x) > 0}을 F의 오른쪽 끝점(right endpoint)이라 한다. 장치가 시각 t까지 살아남았다(고장 나지 않았다)는 조건 아래에서, 그 장치가 (t, t+x] 구간 안에 고장 날 조건부 확률은 다음과 같다.

시각 t에서의 고장 강도(failure intensity)를 보기 위해, 다음 극한을 생각하고 이를 λ(t)로 표기한다.

F가 절대연속이고 밀도함수 f를 가지면, 위 극한은 단순한 형태로 정리되며 이 함수 λ를 F의 고장률(failure rate)이라 부른다. 고장률은 나이 t인 장치의 고장 강도를 반영한다. 보험계리학(actuarial mathematics)에서는 이를 사력(force of mortality)이라 부른다.

고장률은 신뢰성(reliability), 보험, 생존분석, 대기행렬(queueing), 극단값 이론(extreme value theory) 등 여러 분야에서 중요하다. 분야에 따라 λ를 위험률(hazard rate) 또는 강도율(intensity rate)이라고도 부른다. 이하에서는 일반성을 잃지 않고 오른쪽 끝점 x_F = ∞이라 가정한다.

2. 고장률과 생존함수의 상호 결정 Failure Rate and the Survival Function

고장률과 생존함수(혹은 동치로 분포함수)는 서로로부터 완전히 결정된다. 정의식 양변을 적분하면 다음 관계를 얻는다.

이 적분 함수 Λ(t) = ∫₀ᵗ λ(u)du를 누적고장률함수(cumulative failure rate) 또는 (누적)위험함수(hazard function)라 한다. 따라서 생존함수는 누적위험의 음의 지수로 표현된다.

이 식은 F가 λ에 의해 유일하게 결정됨을 명백히 보여준다. 지수분포(exponential distribution)의 고장률은 양의 상수다. 역으로, [0, ∞)에서 양의 상수 고장률을 갖는 분포는 반드시 지수분포다. 한편 많은 분포가 단조(monotone) 고장률을 가진다. 예를 들어 위 파레토(Pareto) 분포의 고장률 λ(t) = α/(t+β)는 감소한다.

감마분포 G(α, β)의 경우 고장률 λ(t)는 형상모수에 따라 달라져, 0 < α ≤ 1이면 감소하고 α ≥ 1이면 증가한다.

3. 노화 개념: IFR과 DFR IFR and DFR Classes (Aging)

식 (2)에 따라 고장률의 단조성은 비율 F̄(x+t)/F̄(t)의 단조성으로 특징지을 수 있다. 분포 F가 모든 x ≥ 0에 대해 F̄(x+t)/F̄(t)가 t에 대해 감소하면 증가고장률(IFR, increasing failure rate) 분포라 하고, 증가하면 감소고장률(DFR, decreasing failure rate) 분포라 한다.

F가 절대연속이고 밀도 f를 가지면, F가 IFR(DFR)인 것은 고장률 λ(t) = f(t)/F̄(t)가 t ≥ 0에서 증가(감소)하는 것과 동치다. 일반 분포에서는 고장률의 단조성을 직접 확인하기 어렵지만, 밀도나 분포에 대한 충분조건이 있다. 예컨대 [0, ∞)에서 밀도 f를 갖는 F는 log f(x)가 오목(concave)이면 IFR, 볼록(convex)이면 DFR이다. 또한 F가 IFR(DFR)인 것은 log F̄(x)가 오목(볼록)인 것과 동치다. 이에 따라 절단정규분포(truncated normal distribution)는 log f(x)가 오목이므로 IFR이다.

4. 합성곱과 혼합에서의 고장률 Failure Rates of Convolutions and Mixtures

보험에서는 손해·위험을 모형화할 때 분포의 합성곱(convolution)과 혼합(mixture)을 자주 쓰므로, 이들의 고장률 성질이 중요하다. IFR은 합성곱에서 보존된다: F_i가 IFR이면 (i=1,…,n) 합성곱 F₁∗⋯∗F_n도 IFR이다. 따라서 서로 다른 지수분포들의 합성곱

는 IFR이다(α_i > 0, α_i≠α_j). 반면 DFR은 합성곱에서 보존되지 않는다. 예컨대 감마분포 G(0.6, β)는 DFR이지만 G(0.6,β)∗G(0.6,β)∗G(1.2,β)는 IFR이다.

혼합의 경우, 각 α∈A에 대해 F_α가 DFR이고 G가 A 위의 분포이면, 혼합분포 F(x) = ∫ F_α(x) dG(α)는 DFR이다. 따라서 지수분포들의 유한 혼합

은 DFR이다(p_i ≥ 0, Σp_i=1). 그러나 IFR은 혼합에서 닫혀 있지 않다. 식 (8)과 (10)은 형태가 비슷해 보이지만 전혀 다르다 — 앞은 합성곱, 뒤는 혼합이다. 추가로 DFR은 기하 합성(geometric compounding)에서 닫혀 있다: F가 DFR이면 복합기하분포 (1−ρ)Σ_n≥0ρⁿF⁽ⁿ⁾(x)도 DFR이다(0 < ρ < 1).

5. 위험률 순서와 위험 비교 Hazard Rate Order

고장률은 위험의 확률적 순서(stochastic ordering)에도 쓰인다. 비음수 확률변수 X, Y의 고장률을 각각 λ_X, λ_Y라 하자. 모든 t ≥ 0에서 λ_X(t) ≥ λ_Y(t)이면 X가 Y보다 위험률 순서(hazard rate order)에서 작다고 하고 X ≤_hr Y로 쓴다.

식 (5)로부터 X ≤_hr Y이면 F̄(x) ≤ Ḡ(x)가 성립하며, 이는 위험 Y가 위험 X보다 더 위험함을 뜻한다. 또한 X ≤_hr Y인 것은 F̄(t)/Ḡ(t)가 t ≥ 0에서 감소하는 것과 동치다.

6. 위험이론과 두꺼운 꼬리 분포 Risk Theory and Heavy Tails

고장률은 위험이론과 두꺼운 꼬리(heavy-tailed) 분포의 꼬리확률 연구에도 유용하다. 예를 들어 보험금 크기가 단조 고장률을 가지면, 고전적 위험모형의 파산확률(ruin probability)에 대한 룬드버그 부등식(Lundberg inequality) 또는 꼬리확률을 다룰 수 있다.

보험·금융에서 자주 등장하는 또 다른 중요한 분포는 적분꼬리분포(integrated tail distribution) 또는 평형분포(equilibrium distribution)다. 평균 μ를 갖는 [0, ∞) 위의 분포 F의 적분꼬리분포 F_I와 그 고장률 λ_I는 다음과 같으며, λ_I는 평균잔여수명(mean residual lifetime)의 역수다.

여기서 평균잔여수명 e(t)는 나이 t인 개체가 앞으로 더 살 기대시간이다.

극단사건(extremal events) 연구에서는 적분꼬리분포의 준지수성(subexponential property)을 논해야 할 때가 많다. [0, ∞) 위의 분포 F가 다음을 만족하면 준지수분포(subexponential)라 하고 F ∈ 𝒮로 쓴다(F⁽²⁾는 2중 합성곱).

준지수성에 관한 충분조건이 알려져 있다. 특히 F가 정칙변동(regularly varying) 꼬리를 가지면 F와 F_I 모두 준지수분포다. 따라서 F가 파레토분포이면 적분꼬리분포 F_I도 준지수분포다. 일반적으로 적분꼬리분포의 준지수성 확인은 쉽지 않은데, 이때 클래스 𝒮^∗가 유용하다. F ∈ 𝒮^∗이면 F_I ∈ 𝒮가 성립한다. 예컨대 고장률 λ가 limsup_x→∞ xλ(x) < ∞을 만족하면 F_I ∈ 𝒮이며, 이를 통해 F가 로그정규분포일 때 F_I가 준지수분포임을 알 수 있다.

7. 이산 분포의 고장률 Discrete Failure Rate

이산 분포의 고장률도 보험에서 유용하다. N을 분포 {p_k = Pr{N=k}, k=0,1,2,…}를 갖는 비음수 정수값 확률변수라 하자. 이산 분포의 이산 고장률(discrete failure rate) h_n은 다음과 같이 정의된다.

여기서 N이 한 생명이 생존한 정수 햇수라면, 이산 고장률은 “n년을 살아남았다는 조건 아래 다음 해에 사망할 조건부 확률”이다. 꼬리확률 a_n=Pr{N > n}을 쓰면 h_n=p_n/(p_n+a_n), 그리고 a_n/a_n−1 = 1 − h_n이 성립한다.

연속의 경우와 마찬가지로 이산 분포에서도 노화 개념을 정의한다. a_n+1/a_n이 n에 대해 증가하면 이산 감소고장률(D-DFR), 이산 고장률 h_n이 n에 대해 감소하면 이산 강감소고장률(DS-DFR)이라 한다(DS-DFR ⊂ D-DFR). 유용한 결과로, 분포가 로그볼록(log-convex), 즉 p_n² ≤ p_np_n+2이면 DS-DFR이다. 대칭적으로 a_n+1/a_n이 증가하면 D-IFR, h_n이 증가하면 이산 강증가고장률(DS-IFR)이며, 분포가 로그오목(log-concave)이면 DS-IFR이다. 따라서 음이항분포는 0 < α ≤ 1이면 DS-DFR이고, 푸아송분포와 이항분포는 DS-IFR이다. 연속의 지수분포에 대응하여, 양의 상수 이산 고장률을 갖는 유일한 이산 분포는 기하분포다.

보험에서 중요한 이산 분포로 혼합푸아송분포(mixed Poisson distribution)가 있다. 혼합분포 B가 IFR(DFR)이면 혼합푸아송분포는 DS-IFR(DS-DFR)이 됨이 알려져 있다(예: B가 감마분포이면 혼합푸아송은 음이항분포). 또한 DS-IFR은 합성곱에서 닫혀 있고, DS-DFR은 혼합 및 이산 기하합성에서 닫혀 있다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 고장률·위험률 λ(t) (failure/hazard rate) — t까지 생존한 개체가 다음 순간 고장 날 단위시간당 조건부 확률 λ(t)=f(t)/F̄(t).
• 사력 (force of mortality) — 보험계리학에서 부르는 고장률의 다른 이름(μ_x).
• 생존함수 F̄(t)·S(t) — t 이후까지 살아남을 확률; 누적위험의 음의 지수로 표현.
• 누적위험함수 Λ(t) — 고장률을 0부터 t까지 적분한 값 Λ(t)=−log F̄(t).
• IFR / DFR — 고장률이 증가하면 증가고장률(마모형), 감소하면 감소고장률(유아사망형).
• 합성곱 / 혼합 (convolution / mixture) — 합성곱은 분포의 합(IFR 보존), 혼합은 분포의 가중평균(DFR 보존).
• 위험률 순서 ≤_hr (hazard rate order) — 모든 시점에서 고장률이 더 크면 확률적으로 더 위험한 위험.
• 평균잔여수명 (mean residual lifetime) — 나이 t인 개체가 앞으로 더 살 기대시간 e(t).
• 준지수분포 (subexponential, 𝒮) — 큰 값 한 건이 합을 지배하는 두꺼운 꼬리 분포(파레토·로그정규).
• 적분꼬리(평형)분포 F_I — 생존함수를 적분해 정규화한 분포; 파산이론·재생이론의 핵심.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

고장률(위험률, hazard)은 국내 보험상품 개발의 출발점이다. 사망·진단·입원·수술 등 각 담보의 발생률을 연령·성별로 추정한 것이 곧 위험률이며, 이를 토대로 보험료·준비금이 산출된다. 본문의 순간 위험률 개념이 국내 경험위험률(경험생명표·발생률) 산출과 정확히 대응한다.

국내에서는 보험개발원·업계 경험통계로 표준위험률을 산출하고, 각 사가 자사 경험·언더라이팅 수준에 맞게 조정한다. 위험률 산출에는 공공 의료·건강 통계(표본코호트·국민건강보험·건강검진 등)가 핵심 자료로 쓰이며, 발생률·입원율·수술률 등 본문의 위험률 개념이 실데이터로 추정된다.