곰페르츠
1. 생애 His Life
벤저민 곰페르츠(Benjamin Gompertz)는 1779년 3월 5일 런던에서 네덜란드계 유대인 상인 가문에 태어났다. 정규 교육에서 배제된 독학 학자였던 그는 18세에 스피털필즈 수학자 협회(왕립천문학회의 전신) 회원으로 선출되었다. 1810년 주식시장에 들어갔고, 1819년 왕립학회 펠로, 1824년 새로 설립된 얼라이언스 해상보험회사의 수석 책임자가 되었다. 또한 얼라이언스 영국·외국 생명·화재보험회사의 초대 보험계리사(actuary)가 되었다. 1865년 런던수학회 창립 회원이 되었으며, 같은 해 7월 14일 학회 발표 논문을 준비하던 중 사망했다. 천문기기 이론과 가역 진자에도 중요한 기여를 했다.
2. 보험계리학에 대한 기여 Actuarial Contributions
곰페르츠의 보험계리 업적은 근본적이다. 회원 선출 직후 그는 생명보험회사들이 자신들에게 유리한, 부정확한 생명표를 쓰고 있다고 비판했다. 약 20년 뒤에야 한 위원회가 17개 회사의 자료를 모아 더 현실적인 사망법칙을 도출하기 시작했다(→ Early Mortality Tables).
사망법칙에 대한 첫 시도는 1820년 논문에 나타났다. 몇 년 뒤 곰페르츠는 1825년 논문에서 뉴턴의 미분(유율법)을 사용하여, 사망률을 나이에 따라 증가하는 지수함수로 근사할 것을 제안했다. 그는 이렇게 썼다. “죽음은 일반적으로 공존하는 두 원인의 결과일 수 있다. 하나는 사전 소인이 없는 우연이고, 다른 하나는 악화, 즉 파괴에 저항하는 능력의 감소다.” 후자(악화)를 미소 시간마다 죽음을 피하려는 연속적 시도로 해석하면, 자연스럽게 그 유명한 곰페르츠 사망법칙에 이른다. 메이크햄(Makeham)의 수정은 첫 번째 원인(우연)을 포함하도록 형식화하여 곰페르츠 법칙의 의의를 키웠다.
이 법칙과 실험 자료의 일치는 대략 10~55세 연령대에서만 만족스러웠다. 1860년 논문에서 곰페르츠는 법칙을 출생부터 노년까지 적용하도록 수정했다(명시적 식은 표제어 Mortality Laws 참조). 말년에 그는 보험회사 간 경쟁을 규율하는 방법도 제안했다.
원문은 명시적 식을 Mortality Laws 표제어로 미루지만, 학습을 위해 핵심 식을 옮긴다. 곰페르츠는 사망력(force of mortality)이 나이에 따라 지수적으로 증가한다고 보았다.
메이크햄은 여기에 나이와 무관한 상수항 A(사고·우연에 의한 사망)를 더했다 — 이것이 곰페르츠–메이크햄 법칙이다.
즉, 곰페르츠가 말한 두 원인 — 우연(A)과 노화에 따른 악화(Bcx) — 가 식에 그대로 대응한다.
사망력이 μx = Bcx이면, 생존확률은 사망력을 적분하여 다음과 같이 유도된다. (입문 단계에서는 “지수적으로 커지는 사망력 → 이런 형태의 생존함수”라는 관계만 알아도 충분하다.)
곰페르츠 법칙 μx = B cx에서 c = 1.0718이라 하자. 사망력이 한 살마다 약 몇 % 늘고, 10년이면 몇 배가 되는가?
한 살 증가 시 사망력은 c배 = 1.0718배, 즉 약 7.2% 증가한다.
10년이면 c10 = 1.071810 ≈ 2배가 된다. 곧 “사망 위험이 약 10년마다 두 배”라는, 인간 사망률의 잘 알려진 경험적 패턴과 일치한다.
드무아브르 법칙은 사망력이 1/(ω−x)로 천천히 커진다고 보아 계산은 쉽지만 현실과 차이가 크다. 곰페르츠 법칙은 사망력이 지수적으로 급증한다고 보아, 성인기 인간 사망률을 훨씬 잘 설명한다. 그래서 오늘날 사망률 모형·연금 평가의 기본 출발점이 된다.
참고문헌 및 관련 표제어
주요 저작: Gompertz, B. (1820, 1825, 1860, 1862) Philosophical Transactions of the Royal Society; Makeham, W.M. (1860) On the law of mortality…, JIA 8; Olshansky & Carnes (1997) Ever since Gompertz, Demography. (원문 [1]–[9] 참조)
부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)
- 사망력 (force of mortality) μx — 나이 x에서의 순간 사망률(연속형 위험률). 클수록 그 순간 죽을 위험이 큼.
- 곰페르츠 법칙 (Gompertz’s law) — 사망력이 나이에 따라 지수적으로 증가한다고 보는 사망 모형(μx = Bcx).
- 곰페르츠–메이크햄 법칙 (Gompertz–Makeham) — 곰페르츠 식에 나이와 무관한 사고·우연 항 A를 더한 모형(μx = A + Bcx).
- 생존확률 tpx — x세인 사람이 t년 더 생존할 확률.
- 사망법칙 (mortality law) — 사망률이 나이에 따라 변하는 모습을 수식으로 나타낸 모형(드무아브르·곰페르츠·메이크햄·와이블 등).
- 보정·평활 (graduation) — 들쭉날쭉한 관측 사망률을 매끄러운 곡선으로 다듬는 작업(곰페르츠 곡선이 자주 쓰임).
- 보험계리사 (actuary) — 보험·연금의 위험과 가치를 계산·평가하는 전문가. 곰페르츠는 얼라이언스사의 초대 actuary였다.
한국보험시장 현황 Korea Market Practice
한국 보험실무에서 곰페르츠가 남긴 유산은 두 갈래로 살아 있다. 하나는 경험생명표다. 보험개발원이 보험업법에 따라 약 5년 주기로 작성하는 경험생명표는 2024년 4월부터 제10회가 적용되고 있는데, 평균수명이 남자 86.3세·여자 90.7세로 직전 회차 대비 각각 2.8세·2.2세 늘었다. 표 자체는 곰페르츠 법칙 같은 모수식이 아니라 실제 보험가입자 경험 데이터를 기반으로 작성하지만, 관측치가 희박한 초고령 구간의 사망률 외삽과 평활(graduation)에는 지금도 곰페르츠·매컴류의 모수 모형이 보정 도구로 쓰인다. "사망률이 나이에 따라 기하급수적으로 증가한다"는 그의 통찰은 200년이 지난 한국의 생명표 작성 실무에서도 기본 가정으로 유효한 셈이다.
다른 하나는 제도적 유산이다. 본문에서 곰페르츠가 얼라이언스사의 초대 계리사(actuary)였다는 점을 소개했는데, 한국에서도 보험회사는 보험업법에 따라 선임계리사를 두어 보험료 산출과 책임준비금의 적정성을 검증하게 되어 있다. 사망률 가정의 적정성을 독립적으로 확인하는 직무가 법으로 제도화된 것으로, 곰페르츠 시대에 시작된 계리사 직무의 현대적 형태라 할 수 있다.
2023년부터 시행된 IFRS17에서는 사망률을 보수적 안전할증이 아닌 최선추정(best estimate)으로 두고, 장래 사망률 개선 추세를 별도 가정으로 반영한다. 고령 구간의 개선 추세를 어떻게 외삽하느냐가 종신연금·종신보험 부채 평가를 좌우하는데, 이때 곰페르츠형 모형과 Lee-Carter류 개선율 모형이 함께 검토된다. 신지급여력제도 K-ICS는 사망위험(사망률 상승 충격)과 장수위험(사망률 하락 충격)을 별도 리스크로 측정하므로, 같은 사망률 곡선이라도 사망보험과 연금에 미치는 자본 영향이 반대 방향으로 나타난다.
상품 측면에서는 제10회 경험생명표 적용으로 종신·정기보험료는 인하, 연금보험의 기대 수령액은 감소(동일 보험료 기준)하는 방향의 조정이 있었다. 사망률 개선이 보험 종목별 유불리를 가르는 이 구조 자체가, 곰페르츠 법칙이 말하는 "연령에 따른 사망률 구조"가 가격에 직결됨을 보여주는 한국적 사례다.