렉시스 도표

1. 개요와 좌표 설정 Introduction

렉시스 도표(Lexis diagram)는 1875년 이를 처음 제시한 통계학자 빌헬름 렉시스의 이름을 딴 것으로[2], 한 개인이 연령과 달력 시간(calendar time)을 따라 살아가는 경로를 편리하게 나타내는 방법이다. 이 도표는 기간(period)과 코호트(cohort) 사이의 관계를 명확히 해 주며, 이런 명료화는 보험계리 업무에서 종종 중요하다.

원문 그림 1의 예에서는 x축이 기준일(reference date) 이전의 경과 연수(예: 조사 시행일, 또는 일정 기간 수집한 자료에 근거한 사망조사의 종료일)를 나타낸다. 다른 경우(그림 2 등)에는 x축이 그냥 달력 시간을 나타낸다. y축은 기준일(즉 x = 0일 때)에서 개인의 연령을 보여 준다. 예컨대 그림 1의 점 ‘C’는 지금 40세인 사람이 15년 전에는 25세였음을 나타낸다. 이 선들을 시간을 따라 좇아가면, 도표에 담긴 정보를 코호트·기간·코호트–기간의 세 가지로 해석해 구분할 수 있다.

사실 렉시스[2]는 원래 x축에 출생 연도, y축에 연령을 두는 약간 다른 방식으로 도표를 제시했지만, 원래 방식과 현대적 관례는 분명히 동일한 정보를 전달한다.

2. 세 가지 해석 — 코호트·기간·코호트–기간 Cohort / Period / Cohort–Period

코호트 해석이 가장 직관적이다. 원문 그림 1의 평행사변형 FBCG는 ‘기준일로부터 25~30년 전에 15세에 도달한 생명들’을 가리키며, 이들을 10년 동안 추적한다. 주의할 점은, 이 영역 안의 사람들의 연령은 기준일 기준 40~45세로 5년 폭에 걸쳐 있지만, 이들을 추적하는 달력 시간의 폭은 30년 전(F점)부터 15년 전(C점)까지 15년에 걸쳐 있다는 것이다.

이와 대조적으로 기간 해석은 주어진 시점들에서의 인구 경험을 본다. 원문 그림 1의 직사각형 ABHG는 ‘기준일로부터 20~25년 전에 15~25세였던 모든 생명’을 가리킨다. 이 경험에는 분명히 서로 다른 코호트의 개인들이 섞여 있다(ABHG에는 기준일 기준 35~40세, 40~45세, 45~50세인 세 코호트의 요소가 포함된다). 이런 의미에서 기간 기준으로 계산한 지표는 합성 코호트(synthetic cohort)의 경험을 반영한다. 이는 출생 시 기대여명 e₀가 “지금 태어난 아이가 장차 각 연령에 이를 때 현재 그 연령대 사람들의 사망률을 그대로 겪는다고 가정했을 때”의 기대수명을 나타내는 것과 같은 이치다. 바꿔 말해, 코호트를 나타내는 양 같지만 실은 기간 계산에 근거한 지표(예: 합계출산율이나 ₄₅q₁₅)는 매우 신중하게 해석해야 한다.

한편 때로는 율(rate)의 장기(secular, 즉 달력) 추세도 중요하다. 이럴 때는 코호트–기간 율(cohort–period rate)이 특히 유용하다. 원문 그림 1에서 이는 앞서 말한 코호트 노출과 기간 노출이 교차하는 영역(빗금친 DBEG)으로 표현된다.

3. m형·q형 사망지표의 유도 Deriving m- and q-type Measures

증가나 사망 외의 탈퇴가 없는 폐쇄인구(closed population)를 가정하면, 힌데(Hinde)[1]를 따라 렉시스 도표로 두 종류의 사망지표—이른바 ‘중심(central)’ 사망률 m형과 ‘초기(initial)’ 사망률 q형(엄밀히는 둘 다 진짜 ‘율’은 아니다)—의 차이를 명확히 할 수 있다. 원문 그림 2에서 기간 t~t+1 동안 연령 x~x+1인 사람들의 사망은 정사각형 ABCD 안에서 일어난다. 반면 ‘만 나이(last birthday)’ x세인 사람들의 사망은 평행사변형 EFGH 안에서 일어난다.

m형(중심노출) central exposed-to-risk

중심(m형) 지표의 분모는 중심노출(central exposed-to-risk)로 주어진다. 이동이 없는 폐쇄인구에서, 그리고 ‘각 연령 1년 안에서 사망이 균등 분포’하고 ‘시간에 따라 사력이 변하지 않는다’는 가정 아래, 정사각형 ABCD(연령 x~x+1, 기간 t~t+1)에 분류된 사망에 대응하는 노출은 이 영역 안에서 인구가 살아낸 시간의 총량이다. 이는 인구가 시간에 따라 선형으로 변한다는 가정하에, 시점 t+0.5에서 연령 x~x+1인 인구(원문 그림 2의 선 FH)로 근사할 수 있다.

q형(초기노출) initial exposed-to-risk

마찬가지로 사망확률(q형)은 다음과 같이 유도된다. 시점 t를 중심으로 한 1년 동안 연령 x에 도달하는 인구는 선 EH 위에 있다. 위에서 말했듯 이 기간에 연령 x에 도달한 사람들의 사망 수는 평행사변형 EFGH로 주어진다. 따라서 사망확률은 사망 수를 초기노출(initial exposed-to-risk), 즉 선 EH 위의 사람 수로 나눈 값이다.

4. m과 q의 근사 관계 The m–q Relation

이 정식화로부터, 다시 힌데를 따라 q형과 m형 사망지표 사이의 근사 관계를 유도할 수 있다. ‘각 연령 1년 안 사망의 균등성’과 ‘시간에 따른 사망률 불변’을 가정하고, 영역 ABCD와 EFGH의 넓이가 같다는 사실을 쓰면, 두 영역의 사망 수(θ_x)는 같다고 볼 수 있다. 그러면 삼각형 EFH의 사망 수는 EFGH 전체 사망 수의 절반, 즉 ½θ_x이다.

중심노출은 중점 인구(선 FH)로 근사되고 초기노출은 선 EH의 인구와 같으므로, FH는 ‘연령 x에 도달한 초기 EH 인구의 생존자’에 해당한다. 따라서 q형의 분모 = m형의 분모 + ½θ_x가 된다. 한편 m_x = θ_x / (FH 인구)이므로 정리하면 분모는 θ_x/m_x이고, 초기(q형) 율의 분모는 θ_x/m_x + ½θ_x가 되어, m과 q 사이의 관용적 관계식이 나온다.

마지막으로, 진입·탈퇴(예: 전입이나 해약) 같은 다른 이동이 인구에 존재한다면, 노출의 추정에는 그 이동들의 성격과 시점에 관한 추가 가정이 필요하다는 점을 분명히 해 둔다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 렉시스 도표 (Lexis diagram) — 가로축 달력 시간·세로축 연령에 개인의 생명선을 그려, 코호트·기간 관계를 시각화한 도표.
• 생명선 (lifeline) — 한 개인의 (시간, 나이) 경로. 시간과 나이가 같이 늘어 기울기 1(45°)의 직선이 된다.
• 코호트 (cohort) — 같은 시기에 같은 사건(흔히 출생)을 공유한 집단. 렉시스 도표에선 대각선 띠로 표현된다.
• 기간 / 합성 코호트 (period / synthetic cohort) — 특정 시점의 모든 연령을 한꺼번에 본 단면. 여러 코호트가 섞인 ‘가상의 코호트’.
• 코호트–기간 율 (cohort–period rate) — 코호트 노출과 기간 노출이 교차하는 영역의 율. 장기 추세 분석에 유용.
• 중심노출 / m형 (central exposed-to-risk) — 한 해 동안 살아낸 사람-시간 총량을 분모로 하는 중심사망률 m_x의 기준.
• 초기노출 / q형 (initial exposed-to-risk) — 연령에 막 도달한 초기 인원을 분모로 하는 사망확률 q_x의 기준.
• 폐쇄인구 (closed population) — 사망 외에는 진입·탈퇴가 없다고 가정한 인구. 노출 계산을 단순화한다.
• 기대여명 e₀ (life expectancy) — 보통 기간(단면) 사망률에 근거해 계산되는, 출생 시 기대수명.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

렉시스 도표는 연령(세로)과 달력시간(가로)을 함께 표시해 개인의 생애선과 사건을 나타내는 도구로, 국내 경험분석·위험률 산출에서 노출과 사건을 연령·기간·코호트로 정확히 배분하는 데 쓰인다. 본문처럼 한 사람의 관측이 연령칸과 연도칸을 대각선으로 가로지른다.

경험생명표·발생률 산출에서 특정 연령·연도의 노출(중앙노출)을 정확히 계산하려면 렉시스 도표적 사고가 필요하다. 공공 의료데이터로 입원율·발생률을 추정할 때도 추적기간을 연령·기간으로 분해하는 데 활용된다.