보정·평활 (그래듀에이션)

1. 보정·평활이란 무엇인가 Introduction

보험계리에서 보정·평활(graduation)이란, 추정된 수치들의 집합을 보험 목적에 적합한 패턴에 부합하도록 조정하는 것을 말한다. 가장 전형적인 맥락은, 연금·보험의 보험료와 준비금을 계산하기 위해 추정 사망률을 조정하는 일이다. 생명표의 원시(crude) 사망률 추정치는 나이가 바뀜에 따라 들쭉날쭉한 패턴을 보일 수 있는데, 직관과 사업적 고려는 사망률이 점진적이고 체계적으로 변하기를 요구한다. 보정·평활은 그런 바람직한 패턴을 띠면서도 원시 추정치가 담은 정보를 적절히 반영하는 ‘보정된(graduated)’ 계열을 만드는 것을 목표로 한다.

2. 동기 예시 — 사망률의 ‘움푹 들어감’ A Motivating Example

예를 들어 현재 18세 남성에게, 그가 생존해 있는 한 향후 9년 동안 매년 말 10 000을 지급할 기금 F를 6% 이자로 마련한다고 하자. 기대지급액에 맞춘 기금액은 다음과 같다.

여기서 _kp₁₈은 18세 남성이 18+k세까지 생존할 확률이며, 이 값들을 어떻게 고를지는 보험계리적 판단의 문제다.

한 가지 방법은 적절하다고 판단되는 기존 생명표를 채택하는 것이고, 또 하나는 적합한 모집단의 사망 자료로 표를 새로 구성하는 것이다. 원문 표의 원시율 q_x는 18세에서 0.0133(=133)으로 낮게 시작해 23세에서 170으로 오르고, 27·28세에서 165로 떨어졌다가 다시 174로 오른다. 25~30세 사이에서 관찰 사망률이 움푹 들어가는 현상(the dip)은 드물지 않으며, 이는 사업용 생명표 구성에 특별한 문제를 일으킨다.

원시율을 그대로 넣으면 기금액은 67 541이 된다. 그런데 원시율을 쓰면 나이가 더 많은 남성에게 필요한 기금이 더 적어지는 모순이 생길 수 있다 — 사망률이 들쭉날쭉하기 때문이다. 보정된 사망률(18세 142에서 시작해 단조 증가)을 넣으면 기금액은 67 528로, 나이가 들수록 필요한 기금이 단조 증가한다. 상업적 맥락에서는 이런 단조성이 정당화하기 쉽다.

3. 보정의 적용 범위 Scope of Graduation

기준변수(criterion variable) x의 상태마다 결과변수(outcome variable) u_x의 추정치가 대응하는 표를 떠올려 보자. 기본 가정은 “기준이 상태에서 상태로 변할 때 결과변수가 점진적·체계적으로 변해야 한다”는 것이다. 이 가정이 정당화되지 않으면 보정 작업은 의미가 없다.

또 다른 가정은 추정치가 확정적이지 않다는 것이다. 추정치는 표본오차·측정오차를 동반하므로, 보정값 v_x는 원시 추정치의 불확실성 범위 안에 놓여야 한다. 결과변수로는 사망력, 장해율, 탈퇴율, 손해율 등이 올 수 있고, 기준변수는 다차원(예: 나이와 장해 정도)일 수 있다(이 글은 1차원만 다룬다). 보정의 사고방식·기법은 인구학과 ‘불량설정(ill-posed) 문제’ 문헌에서도 발견된다.

4. 보정 접근법 개관 Overview of Approaches

크게 두 범주로 나눈다. (1) 함수로 정의된 곡선을 적합하는 접근과 (2) 그 밖의 기준을 쓰는 접근이다. 곡선 적합형은 모수로 인덱싱된 함수족을 고르고, 통계적 추정법으로 원시 추정치에 가장 잘 맞는 구성원을 찾는다. 이렇게 적합한 값이 보정값이다. 이 방법은 자료에 없는 x 값에 대해서도 적합값을 줄 수 있다. 다른 기준을 쓰는 접근은 준모수·비모수적이며(작도법, 임시방편적 방법 등), 보통 자료에 존재하는 x에 대해서만 보정값을 준다.

5. 곡선 적합에 기반한 접근 Approaches Based on Fitting Curves

이 접근은 함수 형태의 선택과 적합 기준의 선택으로 정해진다. 생명표에 흔히 쓰는 함수 형태는 사망법칙과 관련된 것으로, 곰페르츠(Gompertz), 와이불(Weibull), 메이크햄(Makeham), 스플라인(splines) 등이 있다. 인기 있는 적합 기준은 일반화선형모형(GLM)과 최대우도법이다. 우도법은 원시 자료 수집의 표본추출 방식과 x에 따른 추정치의 점진적 변화에 관한 가정을 한다.

6. 그 밖의 기준을 쓰는 접근 Approaches Using Other Criteria

가중이동평균법 Weighted Moving Average

원시값들의 대칭 가중이동평균으로 보정값을 만든다.

여기서 n과 가중치 a_r의 선택에 따라 서로 다른 보정이 나온다. 이 방법들은 원시 추정치의 불규칙성을 ‘평활(smoothing)’하는 데 중점을 둔다. 일반적으로 사전에 바람직한 패턴을 재현하려 하지는 않지만, 가중치는 보정값이 국소적으로 3차 다항식 같은 매끈한 곡선에 가까워지도록 정하는 경우가 많다.

커널 방법 Kernel Methods

커널 방법은 이동평균법의 일반화로, 커널 평활로 가중치를 정해 보정값을 만든다.

휘태커(휘태커–헨더슨) 방법 Whittaker(–Henderson) Methods

휘태커는 베이즈(역확률) 논증과 유사한 방식으로, 보정값이 다음 목적함수를 최소화해야 한다고 주장했다. 이 목적함수는 원시값과 보정값의 불일치(적합도)와 보정값 거동의 거칠기(roughness)를 저울질한다.

여기서 ω는 자료표의 x 상태 수, w_x는 제곱편차 (v_x−u_x)²의 상대적 기여를 재는 가중치, Δ^zv_x는 v_x의 z차 전진차분, h는 불일치와 거칠기 사이의 균형을 표현하는 양의 상수다. 불일치 측도가 작을수록 보정값이 원시값에 가깝고, 거칠기 측도가 작을수록 보정값이 매끄럽다.

이 목적함수의 최소화는 어렵지 않다. w_x는 보통 그럴듯한 모형으로 계산한 u_x의 추정분산에 반비례하게 정하고, z는 2·3·4로 제한한다. h의 선택은 까다로워서, 실무에서는 여러 시험 보정을 만들어 본 뒤 전반적 ‘성공’ 평가에 근거해 최종 보정을 고르는 것이 가장 흔하다. 목적함수는 제곱항을 다른 거듭제곱으로 바꾸거나 거칠기 측도를 정교화하거나 다차원으로 확장하는 등 여러 방식으로 변형할 수 있다.

베이즈 방법 Bayesian Methods

완전 베이즈 접근도 잘 정리되어 있다. 휘태커의 원래 접근은 완전 베이즈 분석의 극한 사례로 유도할 수 있다. 완전 베이즈 정식화가 존재함에도, 실무에서 가장 자주 만나는 것은 여전히 휘태커 방식이다. 예컨대 미국에서는 최근 생명보험용 기초평가 사망표(미국계리학회 후원)에 휘태커 방식이 쓰였다.

7. 요약 Summary

보정·평활은 지금도 학자들 사이에서 연구와 논쟁을 자극한다. 최근의 혁신적 활용으로는 정보이론 방법, 교차검증 방법 등이 있다. 학문적 문헌이 실무에 얼마나 영향을 줄지는 지켜볼 일이지만, 휘태커의 접근은 시간의 검증을 견뎌 낸 것으로 보인다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 보정·평활 (graduation) — 들쭉날쭉한 원시 추정치를, 적합과 평활을 저울질하여 매끈하고 그럴듯한 계열로 다듬는 작업.
• 원시율·보정율 (crude / graduated rates) — 관찰에서 바로 나온 추정치(u_x)와 다듬은 후의 값(v_x).
• 적합도 vs 평활도 (fit vs smoothness) — 자료에 충실함과 매끄러움. 보정은 이 둘의 절충이다.
• 가중이동평균 (weighted moving average) — 이웃 원시값들의 가중평균으로 보정값을 만드는 비모수적 방법.
• 커널 방법 (kernel methods) — 커널 평활로 가중치를 정하는, 이동평균의 일반화.
• 휘태커–헨더슨 (Whittaker–Henderson) — 적합 항+평활 항(거칠기 벌점)의 합을 최소화하는 대표적 보정법.
• 전진차분 Δ^z (forward difference) — 인접 값의 차이를 z번 취한 것. 거칠기(굴곡)를 재는 척도.
• 평활모수 h (smoothing parameter) — 적합과 평활 사이의 균형을 조절하는 양의 상수.
• 곰페르츠·메이크햄 법칙 — 사망력을 Bc^x(곰페르츠), A+Bc^x(메이크햄)로 보는 모수적 사망법칙.
• GLM (일반화선형모형) — 사망률 등 비정규 결과를 적합하는 통계 모형. 모수적 보정의 적합 기준으로 쓰임.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

보정·평활(graduation)은 경험자료에서 얻은 들쭉날쭉한 위험률을 매끄러운 곡선으로 다듬는 작업으로, 국내 경험생명표·표준위험률 작성의 필수 단계다. 표본이 적은 고연령·특정담보에서 관측 위험률이 불안정하므로, 평활을 통해 연령에 따라 자연스럽게 변하는 위험률을 만든다.

본문이 강조한 '적합도와 평활성의 균형'은 국내 위험률 산출에서도 핵심이다. 과도한 평활은 실제 위험을 가리고, 과소 평활은 표본오차를 그대로 남긴다. 스플라인·모수모형(Gompertz–Makeham) 등이 활용된다.