사망법칙

1. 사망법칙이란 무엇인가 What is a Law of Mortality?

드무아브르(De Moivre, 1725) 이래로 사람들은 사망의 법칙(law of mortality), 즉 사망 관련 양을 나이에 의존하는 수학식으로 표현하려고 시도해 왔다. 그중 가장 유명한 것이 곰페르츠(Gompertz, 1825)의 법칙이다. 존 그론트(John Graunt) 이후 사람들은 관측으로 생명표를 만들었는데, 이 생명표들은 인간 전 생애에 걸친 사망을 나타냈으며, 자연철학에서 그러했듯 생명표가 정의하는 함수가 간단한 법칙으로 기술될 수 있는지 묻는 것은 자연스러운 일이었다.

법칙으로 기술할 함수의 선택은 저자마다 달랐다. 어떤 이는 사력 μ_x를, 어떤 이는 사망률 q_x를, 또 어떤 이는 중앙사망률 m_x를 (또는 그 밖의 양을) 가장 적합하다고 보았다(국제 보험계리 기호 참고). 현대 용어로는 자료의 확률모형이 주어졌을 때 추정하기에 가장 자연스러운 모수를 모형화한다고 말할 것이다. 다만 어린 나이에서는 q_x와 m_x가 모두 1차 근사로 μ_x+½와 같으므로, 그 식을 μ_x로 보든 q_x·m_x로 보든 큰 차이가 없다(고령에서는 차이가 생긴다).

사망법칙은 경험적 관측을 요약하려는 시도이므로 사망자료를 분석하는 통계 기법과 긴밀히 연결되어 있으며, 오늘날에는 통계모형에 나타나는 양에 대한 모수적 형태(parametric form)로 기술된다. 어떤 경우에는 생리학적 근거를 가지며 노화 과정(ageing process) 자체를 모형화하려고도 한다.

2. 현대 사망 패턴의 세 시기 Three Periods of a Typical Mortality Pattern

전형적인 현대의 사망 패턴은 세 시기로 나눌 수 있다.

• 제1기 — 유아사망(infant mortality): 생애 초기 몇 년 동안 사망률이 급격히 감소한다.
• 제2기 — 사고 혹(accident hump): 자동차·오토바이 사고 등으로 인한 사망이 (대략 20세 부근에) 솟아오른다.
• 제3기 — 노쇠사망(senescent mortality): 나이에 따라 사망률이 거의 기하급수적으로 증가한다(80세 이후 증가율은 둔화).

곰페르츠의 중요한 결론은 사력이 나이에 따라 기하급수적으로 증가한다는 것이었다. 이 단순한 법칙은 서로 다른 인구·서로 다른 시대에서 놀랄 만큼 잘 들어맞는 모형임이 드러났고, 이후의 많은 법칙들은 매우 어린 나이나 아주 늙은 나이에서의 알려진 이탈을 반영하기 위해 곰페르츠 법칙을 수정한 것이다.

3. 초기의 법칙들: 드무아브르·배비지 Early Laws: De Moivre, Babbage

드무아브르(1725)는 1-모수 공식을 썼다. 이는 생존확률 _xp₀이 나이에 대해 선형으로 감소한다고 본 것이며, 드무아브르는 한계연령 ω로 86세를 사용했다.

람베르트(Lambert, 1776)는 4-모수 공식을 제안했다. 배비지(Babbage, 1823)는 _xp₀이 (드무아브르의 선형 대신) 2차식이라고 가정한 2-모수 공식을 썼다.

4. 곰페르츠와 메이크햄 Gompertz and Makeham

(제1) 곰페르츠(1825)는 2-모수 공식을 썼다. 사력이 나이에 따라 기하급수적으로 증가한다는 것이 핵심이다.

(제1) 메이크햄(Makeham, 1867)은 3-모수 공식으로, 나이와 무관한 항 A(사고 등 비노쇠성 사망)를 더해 곰페르츠를 확장했다.

제2 메이크햄(1890)은 선형항 Hx를 더 넣은 4-모수 공식이다. 이 식은 영국의 보험가입자 표 A1949–52를 보정하는 데 쓰였다.

저자 미상의 이중기하(Double Geometric) 공식은 두 개의 기하항을 더한 5-모수 공식이다.

5. 전 생애를 아우르려는 다항·복합 법칙 Whole-of-Life Composite Laws

제1 곰페르츠 법칙은 생애 전체를 충분히 기술하지 못했으므로, 전 생애를 한 식으로 담으려는 복잡한 공식들이 제안되었다. 제2 곰페르츠(1860)는 10-모수 공식, 제3 곰페르츠(1862)는 그 변형이었다. 모저(Moser, 1839)는 5-모수 공식, 리트로(Littrow, 1832)는 배비지를 확장한 고차 다항식을 썼다. ln l(x)의 미분이 사력 μ_x에 해당한다는 점이 이런 공식들의 바탕이다.

틸레(Thiele, 1871)는 7-모수 공식을 제안했는데, 각 항이 인간 사망의 알아볼 수 있는 특징 하나씩을 나타낸다. 첫 항은 출생 직후 가파르게 감소하는 유아사망, 둘째 항은 사고 혹, 셋째 항은 고령에 알맞은 곰페르츠 법칙이다.

바이불(Weibull, 1951)은 2-모수 공식을 제안했다. 사력이 나이의 거듭제곱으로 증가하는 형태다.

6. 페르크스의 로지스틱 법칙(고령) Perks' Logistic Law (Old Ages)

페르크스(Perks, 1932)는 4-모수 공식을 제안했으며 이를 로지스틱 곡선(logistic curve)이라 부른다.

분모 효과는 곰페르츠 항의 지수적 증가를 평탄하게(flatten) 만드는 것으로, 80세 이상에서 뚜렷이 관찰되는 잘 확립된 사망 특징이다. PER1은 한 인구의 각 구성원이 메이크햄 법칙 μ_x=A+Bc^x를 따르되, 개인별로 고정된 B가 인구 전체로는 감마분포를 따른다고 할 때 얻어진다. PER1은 영국의 연금수급자표 a(55) 보정에 쓰였다. 페르크스는 5-모수 공식(PER2)도 제안했다.

7. 사망률 자체를 모형화하는 법칙: 베어드·바넷 Modelling q_x Directly: Beard, Barnett

일부 법칙은 사력 대신 사망률 q_x를 직접 모형화한다. 베어드(Beard, 1971)는 5-모수 공식을 제안했고, 바넷(Barnett, 1974)은 보조함수 f(x)를 통해 q_x를 표현하는 4-모수 공식을 제안했다.

이 공식은 영국에서 1967–1970년 보험가입자 경험을 보정하는 데 쓰였고, 이 표는 A1967–70으로 알려져 있다. 윌키(Wilkie, 1976)는 유의한 만큼 모수를 포함하는 한 계열(family)을 제안했다.

8. 헬리그먼–폴라드 법칙 Heligman–Pollard Laws

헬리그먼–폴라드(Heligman–Pollard, 1980)는 전 생애를 아우르는 여러 공식을 제안했다. HP1·HP2는 8-모수 공식으로, 첫 두 항이 고령에서 매우 작아 사실상 서로 같다. 세 항은 각각 유아사망(특히 생후 첫 해), 사고 혹(20세 부근), 노쇠사망을 기술하며, 이는 100여 년 전 틸레의 법칙과 같은 구조다.

HP3은 9-모수 공식으로, 셋째 항을 페르크스형 로지스틱 항(GH^x/(1+KGH^x))으로 바꿔 고령의 평탄화를 담는다. HP3을 영국 생명표 ELT15M(1990–1992)에 적합시키면 매우 잘 들어맞으며, K≈1.42로 q_x의 점근값(1/K)≈0.7을 준다.

9. 일반 계열: FMW (Forfar–McCutcheon–Wilkie) A General Family: GM and LGM

포파(Forfar)·매커천(McCutcheon)·윌키(Wilkie, 1988)는 유의한 만큼의 모수(r+s개)를 포함하는 일반 계열 FMW1·FMW2를 제안했다. 다항부 + 지수부로 이루어진 GM_r,s 함수가 그 핵심이다.

FMW2는 이 GM 함수를 로지스틱 변환한 LGM_r,s로 q_x를 모형화한다.

μ_x에 대한 GM 공식은 (제1) 곰페르츠와 제1·제2 메이크햄을 특수경우로 포함한다. 이 수학식 접근은 영국에서 생명보험회사 표준표의 80계열·92계열을 보정하는 데 쓰였다. 예컨대 92계열(보험회사 사망 1991–1994)의 보험가입자(2년 선택기간)와 연금수급자에는 μ_x=GM(2,3) 공식이 μ_x에 적합되었다.

10. 최고령에서의 사망과 미래 사망 Mortality at the Highest Ages and Future Mortality

30~80세에서는 사망률의 연간 증가율이 거의 일정(대략 연 10~11.5%)하지만, 80세 이상에서는 증가율이 뚜렷이 둔화된다. HP3의 GH^x 항은 (A=0인) 페르크스 항과 비슷하며, ELT15M에 적합하면 q_x의 점근값 (1/K)≈0.7을 준다. 110세에서 q_x≈0.55로 점근값에 거의(완전히는 아니지만) 도달한다.

곰페르츠(1825) 이래 거의 모든 사망법칙에는 지수항이 어떤 형태로든 나타났는데, HP3의 모수 H(약 1.10)에 주목하면 편리하다. 이는 인체의 자연 노화와 그럴듯하게 관련되며, 현대 의학이 H를 바꾸지는 못한 듯하다. 오히려 H는 시간에 따라 증가하는 것으로 보인다(영국 1841년 표 1.099 → 1991년 표 1.113).

인간의 사망은 사망법칙을 추구해 온 몇 세기 동안, 특히 20세기에 극적으로 변했다. 사망이 낮아지고 장수가 늘면서 연금과 종신연금이 더 비싸지므로, 계리사들은 연금계약의 가격산정·준비금 적립을 위해 이런 미래 추세를 투영(projection)하려 해 왔다. 어느 시기에 어떤 사망법칙이 들어맞았고 그 모수가 어떻게 변했는지를 연구하는 것이 유용한 정보를 준다. 영국에서는 1920년대 이래 연금수급자 사망 투영을 해 왔으며, 축이 나이와 역년(calendar year)인 이중입력표를 바탕으로 한다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 사망법칙 (law of mortality) — 사력·사망률 등 사망 관련 양을 나이의 수학식으로 표현한 모수적 형태.
• 사력 μ_x (force of mortality) — 나이 x까지 생존한 자가 다음 순간 사망할 단위시간당 조건부 강도.
• 사망률 q_x / 중앙사망률 m_x — q_x는 나이 x에서 1년 내 사망 확률, m_x는 노출 대비 사망 비율. 젊은 나이에서 μ_x+½와 근사.
• 생존확률 _xp₀ — 출생 후 나이 x까지 생존할 확률; exp(−∫₀ˣ μ_tdt).
• 드무아브르 법칙 — 사망이 균등(μ_x=1/(ω−x)); 가장 단순한 1-모수 법칙.
• 곰페르츠 법칙 μ_x=Bc^x — 사력이 나이에 따라 기하급수적으로 증가.
• 메이크햄 법칙 μ_x=A+Bc^x — 곰페르츠에 나이 무관 상수항(우발적 사망) A를 추가.
• 로지스틱(페르크스) 법칙 — 분모항으로 고령의 지수적 증가를 평탄화한 법칙; 프레일티로 설명.
• 헬리그먼–폴라드 법칙 — 유아사망·사고 혹·노쇠를 세 항으로 담는 8~9모수 전 생애 법칙.
• 보정 (graduation) — 들쭉날쭉한 관측 사망률을 매끄러운 곡선(법칙·스플라인)으로 다듬는 작업.
• 투영 (mortality projection) — 법칙의 모수 변화를 외삽해 미래 사망률을 예측하는 것; 연금 가격산정에 필수.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

사망법칙(Gompertz·Makeham 등)은 연령에 따라 가팔라지는 사망률을 수식으로 표현한다. 국내 보험계리는 이러한 사망법칙의 틀 위에서 경험생명표를 작성·갱신하며, 가장 최근의 제10회 경험생명표(2024.4 적용)는 평균수명 상승(남 약 86.3세, 여 약 90.7세)을 반영했다.

특히 고연령·초고령 구간의 사망률 추정과 장래 사망률 개선 반영이 중요해지면서, 모수적 사망법칙과 사망률개선(mortality improvement) 모형이 종신연금·종신보험의 가격·준비금에 직접 영향을 준다. 본문의 사망법칙이 국내 장수위험 평가의 토대가 되는 셈이다.