표제어 · 생명보험수학

생명보험수학

Life Insurance Mathematics · 원저자: Ragnar Norberg · 출처: Encyclopedia of Actuarial Science (Wiley, 2004)

읽는 법. 본문은 원문 표제어의 내용을 그대로 옮긴 것입니다. 회색 해설 · 예제 상자는 학부 입문 학습을 도기 위해 새로 추가한 부분이며 원문에는 없습니다. 모르는 용어는 글 끝 부록을 참고하세요.

1. 이 글의 범위 The Scope of This Survey

보험계리학(actuarial science)은 자신이 사용하는 모형이나 방법이 아니라 그 응용의 방향으로 정의되는 분야다. 즉 여러 학문에서 도구를 빌려 쓰지만, 그 가운데 독립적인 과학적 탐구 영역으로 인정받을 만큼 충분히 뚜렷한 문제와 방법을 갖춘 한 갈래가 있는데, 그것이 바로 생명보험수학(life insurance mathematics)이다. 이는 생명·연금보험에 따르는 위험과 그 위험을 관리하는 방법을 연구하는 응용수학의 한 분야다.

이 엄밀한 정의 아래에서, 이 글은 생명보험수학의 모형과 방법을 오늘날의 모습 그대로 — 현대 수학·통계학·계산기술에 기반하여 — 서술한다. 2천 년에 걸친 역사, 과학적 계산이 보급되기 전에 필요했던 방대한 기법들, 또는 엄격히 규제된 산업에서 다양한 상품을 실제로 구현하며 생기는 무수한 세부사항은 다루지 않는다.

해설 이 글의 관점: ‘지급의 흐름’과 ‘마르코프 사슬’

Norberg의 이 글은 전통적인 ‘생명표 + 계산기수’식 서술이 아니라, 보험계약을 시간에 따라 흐르는 지급(payment stream)과 보험계약의 상태가 변하는 다중상태 마르코프 과정으로 보는 현대적·확률과정적 관점을 취한다. 이 틀에서는 생명연금·정기보험·양로보험·장해연금·다인생보험이 모두 하나의 통일된 식으로 표현되며, 핵심 도구는 적분식이 아니라 틸레(Thiele)의 미분방정식이다.

2. 지급과 이자의 기본 개념 Basic Notions of Payments and Interest

금융서비스의 일반적 맥락에서, 회사와 고객 사이의 금융계약을 생각하자. 계약의 조건은 일련의 지급(payment) 흐름을 만들어낸다 — 회사가 고객에게 주는 급부(benefit)에서 고객이 회사에 내는 기여금(보험료, contribution)을 뺀 것이다. 이를 지급함수(payment function)로 나타낸다. B(t)는 ‘계약 시작 시점부터 시각 t까지 지급된 총액’이다.

시간은 계약 개시 시점부터 잰다. 이 함수는 우연속(right-continuous)이며 좌극한이 존재한다고 본다. 0이 아닌 점프 ΔB(t) = B(t) − B(t−)는 시각 t의 일시금(lump sum) 지급을 뜻한다. 또한 시각 t에서 단위시간당 비율 b(t)로 연속적으로 지급되는 부분도 있을 수 있다. 따라서 작은 시간 구간 [t, t+dt) 동안 지급되는 총액은 다음과 같다.

지급은 즉시 어떤 계좌에 투자된다(기여금은 예치, 급부는 인출). 이 계좌는 시각 t에서 이율 r(t)로 이자가 붙는다. 시각 t에서의 계좌 잔액을 소급준비금(retrospective reserve) U(t)라 하며, 이는 과거와 현재의 모든 지급을 이자와 함께 적립한 합이다.

이 식을 미분하면 다음 동학(dynamics)을 얻는다. 잔액은 현재 준비금에 붙는 이자만큼 늘고, 계좌로 들어온 순지급만큼 변한다.

한편 시각 t에서의 (엄밀히) 할인된 미래 순부채를 V(t)로 정의한다. 이것이 전향준비금(prospective reserve)의 바탕이다.

그 동학은 다음과 같다. 부채는 이자만큼 늘고, 순상환(redemption)만큼 줄어든다.

해설 소급(過去) vs 전향(未來) — 같은 동전의 양면

U(t)는 ‘지금까지 쌓인 돈’(과거를 이자로 굴린 잔액), V(t)는 ‘앞으로 갚아야 할 빚의 현재가치’(미래를 할인한 부채)다. 둘 다 같은 미분구조 dX = X·r·dt ± dB 를 따른다는 점이 이 글의 출발점이다. 확정적(이자·지급이 알려진) 세계에서는 적절한 준비금이 V̄(t) = V(t)로 곧바로 정해진다.

3. 금융계약의 가치평가 Valuation of Financial Contracts

임의의 시각 t에서 회사는 미래 의무를 적절히 감당할 전향준비금 V̄(t)를 마련해야 한다. 미래 지급과 이율이 시각 t에 이미 알려져 있다면(예: 고정금리 경제의 정액적립 저축계좌), 위 V(t)도 알려져 있으므로 적절한 준비금은 V̄(t) = V(t)이다. 또 계약이 경제적으로 성립하려면 어느 쪽도 상대의 손실로 이득을 보면 안 되므로, 개시 시점에 기여금의 가치 = 급부의 가치여야 한다. 이것이 등가원칙(principle of equivalence)의 출발점이다.

미래 지급·이율이 불확실해 V(t)를 시각 t에 알 수 없다면, 준비금 설정에는 단순 회계 이상의 원칙이 필요하다. 명확한 한 경우는 지급이 어떤 자산(증권)의 함수(파생)일 때다. 이때 가치평가는 현대 금융수학(financial mathematics)이 제공한다. 거래비용 없이 자유롭게 매매되는 유한개의 기초자산이 있고, 보유 주식 수로 투자 포트폴리오가 정해진다고 하자. 초기 설정 후 추가 자본의 투입·인출 없이 매매만으로 재조정되는 포트폴리오를 자기금융(self-financing)이라 한다. 초기 투자가 음수인데 이후 어느 시점의 가치가 확률 1로 음이 아니면 차익거래(arbitrage)다. 잘 작동하는 시장의 근본 요건은 차익거래 기회가 없다는 것이다.

기초증권 가격에 전적으로 의존하는 청구권을 금융파생상품이라 하고, 자기금융 포트폴리오로 완벽히 복제할 수 있으면 달성가능(attainable)하다고 한다. 무차익거래 체제에서 달성가능한 파생지급 흐름 B의 시각 t 가격은 다음 형태다. 여기서 Ẽ는 기초자산 가격과정에서 유도된 동등 마팅게일 측도(equivalent martingale measure) 하의 기대값이고, G_t는 시각 t까지 관측된 모든 시장사건이다.

모든 파생상품이 달성가능하면 시장은 완전(complete)하다. 완전하지 않으면 모든 파생상품에 유일한 가격이 존재하지 않지만, 무차익거래 요건을 따르는 어떤 가격책정 원리든 위 형태를 가져야 한다.

4. 등가원칙에 의한 생명보험계약의 가치평가 Valuation by the Principle of Equivalence

생명보험계약의 특징은 첫째, 지급이 개별 생애사건(시장사건과 대체로 무관)에 좌우된다는 점, 둘째, 계약이 장기이며 보험자를 구속한다는 점이다. 따라서 이런 계약에는 유동적 시장이 없어, 위 금융 원리만으로는 평가할 수 없다. 가격책정과 위험관리가 생명보험수학의 핵심 과제다.

전통적 생명보험의 패러다임은 등가원칙인데, 이는 ‘미래 이율과 인구학적 조건이 알려져 있다’는 가정 아래 대규모 포트폴리오의 위험분산 개념에 기반한다. 현재 유효한 m개의 계약 포트폴리오를 생각하자. 계약 i의 할인된 미래 순부채를 Vⁱ(t), 생애사 정보 H_t가 주어졌을 때 그 조건부 기대를 ξ_i, 조건부 분산을 σ_i², 그 합을 s_m²이라 하자. 어느 한 항도 합을 지배하지 않도록 균형 있게 s_m² → ∞이면, 중심극한정리에 의해 표준화한 총할인부채가 표준정규분포로 수렴한다.

회사가 각 계약에 Vⁱ(t) = ξ_i + ε·σ_i² (ε > 0) 형태의 개별준비금을 쌓으면, 총준비금이 총할인부채를 덮을 (조건부) 확률이 1로 간다. ε < 0이면 그 확률이 0으로 간다. 기준값 ε = 0이 보험계리의 등가원칙을 정의하며, 개별계약에 대해(윗첨자 i 생략) 다음과 같다. 즉 전향준비금은 ‘미래 순부채의 조건부 기대값’이다.

특히 주어진 급부에 대해, 보험료는 개시 시점의 등가식 ΔB(0) + V̄(0) = 0 을 만족하도록 설계해야 한다. 이것이 순보험료(net premium) 원칙이다.

해설 왜 ‘기대값으로 준비금을 잡아도 되는가’

개별 계약은 사느냐 죽느냐로 결과가 크게 흔들리지만, 독립적인 계약을 충분히 많이 모으면 평균은 거의 확정적이 된다(대수의 법칙·중심극한정리). 그래서 ‘각 계약에 그 기대값(ε=0)만큼만 준비금을 쌓아도’ 포트폴리오 전체로는 부채를 덮을 확률이 1에 가까워진다. 이 ‘분산 가능한(diversifiable)’ 위험관이 등가원칙의 정당화다. (분산되지 않는 위험은 8절에서 다룬다.)

예제 1년 정기보험의 순보험료

나이 x인 사람에게 ‘1년 안에 사망하면 연말에 1원’을 주는 보험의 순일시보험료는? (사망확률 q_x, 할인계수 v)

급부의 기대현가 = (지급액 1) × (사망확률 q_x) × (할인 v) = v·q_x. 등가원칙상 순보험료는 이 값과 같아야 하므로 P = v·q_x. 이것이 A¹_x:1|이다. 일반 보험·연금도 이렇게 ‘각 미래지급 × 발생확률 × 할인’을 모두 더한 기대현가로 가격을 정하고, 보험료를 거기에 맞춘다.

5. 생명·연금보험 상품 Life and Pension Insurance Products

개시 시점 0, 만기 n년의 생명보험증권을 생각하자. 증권이 취할 수 있는 상태의 유한집합을 Z = {0, 1, …, J}로 두고(0이 초기상태), 시각 t의 상태를 Z(t)로 나타낸다. 증권의 불확실한 경로는 확률과정 Z로 모형화한다(우연속, 점프 유한개, Z(0)=0). 이 과정에 지시과정 I_g(t) = 1[Z(t)=g] 와 계수과정 N_gh(t) = (0,t] 동안 상태 g→h 전이 횟수 를 결부시킨다.

보험증권이 만드는 지급 B는 전형적으로 다음 형태다. 여기서 B_g는 상태 g에 머무는 동안 지급(일반 생명연금), b_gh는 g→h 전이 시 일시금(일반 사망보험), 점프 ΔB_g(t)는 상태 g에서의 만기 생존급부(일반 양로급부)다. 양수는 급부, 음수는 보험료다.

그림 1(생존·사망만 다루는 단생 증권)의 기본 급부 예: 사망 즉시 1을 주는 n년 정기보험 b₀₁(t)=1[0<t<n]; 만기생존 1을 주는 n년 생존보험 ΔB₀(n)=1; 연 1원 후급 n년 생명연금 ΔB₀(t)=1 (t=1,…,n); 연속 1원/년 생명연금 b₀(t)=1[0<t<n]; m년 거치 (n−m)년 연속연금 b₀(t)=1[m<t<n]. 따라서 보험금 b, 연속 보험료율 c의 n년 정기보험은 0≤t<n에서 dB(t) = b·dN₀₁(t) − c·I₀(t)dt 로 쓴다.

그림 2(건강·장해·사망의 3상태)는 피보험자의 건강상태에 따라 지급이 달라지는 단생 증권을 그린다. 예컨대 보험금 b의 n년 양로보험(정기+생존 결합)으로, 활동(건강) 중에만 보험료 c를 연속 납입하되 장해 시 보험료 면제하는 계약은 dB(t)=b(dN₀₂+dN₁₂) − c·I₀dt 등으로 표현된다. 그림 3은 x, y, z 세 생명을 다루는 다인생 증권으로, ‘최종생존자 사망 시 지급’ 같은 급부도 같은 틀로 적는다.

해설 하나의 식 (13)이 모든 상품을 담는다

정기보험·생존보험·연금·양로보험·장해연금·다인생보험이 모두 식 (13)의 두 조각 — 상태에 머무는 동안의 지급(I_gdB_g) 과 전이 시의 일시금(b_ghdN_gh) — 으로 표현된다. 상품을 바꾼다는 것은 상태도(state diagram)와 지급함수만 바꾸는 것이고, 뒤따르는 준비금·미분방정식 이론은 그대로다. 이것이 현대적 접근의 위력이다.

6. 증권 이력의 마르코프 사슬 모형 The Markov Chain Model

생명보험수학에서 확률과정의 돌파구는 Hoem(1969)이 과정 Z를 연속시간 마르코프 사슬로 모형화하면서 열렸다. 마르코프 성질이란, 현재 상태를 알면 과정의 미래가 과거와 독립이라는 것이다.

따라서 단순 전이확률 p_gh(t,u) = P[Z(u)=h | Z(t)=g] 이 유한차원 분포를 통해 과정 Z의 전체 확률법칙을 결정한다.

나아가 각 상태쌍 g≠h와 각 시각 t에서 다음 극한이 존재한다고 가정한다. 이를 g→h 전이강도(intensity)라 하며, ‘단위시간당 순간 조건부 전이확률’로 해석된다. 강도는 일차원이고 해석이 쉬워, 확률모형의 기본 구성요소다.

강도가 과정의 확률법칙을 지배함은 다음으로 알 수 있다. 초기상태 0에서 출발해 차례로 전이·체류하는 하나의 경로의 확률은 체류확률과 무한소 전이확률의 곱, 즉 오직 강도들의 함수가 된다. 전이확률은 콜모고로프(Kolmogorov) 미분방정식의 해로 얻어진다(전방방정식, 고정 g, s에 대해 t의 함수로):

여기서 μ_j(t) = Σ_h≠j μ_jh(t)는 상태 j에서 나가는 총전이강도다. 체류확률(상태를 떠나지 않을 확률)에 대한 미분방정식도 쉽게 세워 풀 수 있고, 단생 모형(그림 1)에서 생존확률은 다음과 같이 ‘사력(force of mortality)’의 적분으로 표현된다.

해설 사력 μ, 생존확률 _tp_x, 강도의 관계

단생 생존·사망 모형에서 ‘건강→사망’ 전이강도가 바로 고전적 사력 μ_x+t이다. 생존확률은 ‘그 동안 죽지 않을 확률’이므로 사력을 적분해 음의 지수를 취한 _tp_x = exp(−∫μ)가 된다. 마르코프 틀에서는 이 한 식이 다중상태 체류확률로 자연히 일반화된다. 강도 μ는 ‘아주 짧은 순간 전이할 확률 ÷ 시간’이라는 직관으로 이해하면 된다.

7. 표준 보험상품의 보험계리 분석 Actuarial Analysis of Standard Products

현존 생명보험수학의 대부분은 함수 B_g, b_gh가 오직 피보험자의 생애이력에만 의존하는 상황을 다룬다. 이런 상품을 표준(standard)이라 부른다. 또한 이율과 전이강도는 결정적(시점 0에 알려짐)이라 가정한다. 이때 지급이 ‘기억 없는(memoryless)’ 마르코프 가정 아래 있으므로, 준비금은 시각 t와 현재 상태 Z(t)에만 의존한다. 따라서 상태별 준비금 V_j(t)만 구하면 된다.

식 (13)을 대입하고 E[I_g(τ)|Z(t)=j] = p_jg(t,τ) 관계를 쓰면, 상태별 준비금의 적분 표현을 얻는다.

틸레의 미분방정식 (Thiele's Differential Equation)

확률과정 이론에 따르면 ‘과거가 주어졌을 때 미래 함수의 조건부 기대값’은 어떤 미분방정식의 해다. 상태별 준비금 V_j는 다음 1계 상미분방정식(ODE)을 만족한다. 이것이 1875년 틸레(Thiele)가 발견한 미분방정식의 일반형이다.

이 식은 ‘계수 r, μ_jk, b_j, b_jk가 연속이고 연금 일시금이 없는’ 모든 시각에서 성립한다. 말기조건은 준비금의 정의로부터 따라온다.

(연금 일시금이 있는 시각에는 V_j(t−) = ΔB_j(t) + V_j(t).) 이 방정식은 해를 말기조건에서 거꾸로 계산하는 후방(backward) 미분방정식이다. 우변은 준비금을 ‘빚’으로 볼 때, (1) 이자만큼 늘고, (2) 현재 상태의 연금형 상환만큼 줄며, (3) 다른 상태로의 전이 시 일시금만큼 준다는 것을 보여준다. 셋째 항의 다음 양은 ‘위험보험금(sum at risk)’이라 한다 — 전이 시 피보험자 계좌에 더해지는 금액(즉시 일시금 + 준비금 조정)이다.

이 위험보험금에 전이강도 μ_jk(t)를 곱하면 ‘기대지급률’이 된다. 또 틸레 식을 보험료 b_j에 대해 풀면, 보험료가 ‘준비금 유지를 위한 저축보험료 (d/dt)V_j − r·V_j’와 ‘전이위험을 덮는 위험보험료 Σμ_jk(b_jk+V_k−V_j)’로 분해됨을 보인다.

단생 모형의 예

그림 1의 단생 모형에서, 보험금 b, 정액 보험료율 c, 상수 이율 r의 양로보험에 대한 V₀의 틸레 방정식은 다음이며, 말기조건은 V₀(n−)=b이다. 이것이 1875년의 틸레 방정식이다.

예제 틸레 방정식의 항 읽기

위 양로보험 식 (d/dt)V₀ = r·V₀ + c − μ(t)(b − V₀) 에서 각 항은 무슨 뜻인가?

+r·V₀: 쌓인 준비금에 붙는 이자(부채가 그만큼 늘어남). +c: 보험료가 들어와 부채가 줄도록 작용(부호 규약상 보험료는 음의 급부). −μ(b−V₀): 순간 사망확률 μdt로 ‘위험보험금 b−V₀’(보험금에서 이미 쌓인 준비금을 뺀 부분)을 지급해야 하는 부담. 만약 사망 시 준비금까지 돌려준다면 위험보험금이 b−0.5V₀ 등으로 바뀌어도 식은 똑같이 쉽게 풀린다.

이 미분방정식이 유용한 이유: (1) 준비금을 실제로 계산하는 가장 쉬운(흔히 유일한) 방법이 이 ODE를 수치적으로(차분법 등) 푸는 것이다 — 모든 상태별 준비금을 한 번의 계산으로 얻는다. (2) 더 복잡한 상품을 다룰 때 없어서는 안 될 구성 도구다. (3) 사업비를 급부로 취급해 등가원칙으로 처리하는 것도 우변에 항을 더하면 되어 쉽다(준비금 비례 투자비용은 사실상 이율 r을 낮추는 효과).

고차 적률과 지급흐름의 위험

비중심 조건부 적률 V_j^(q)(t) = E[V(t)^q|Z(t)=j] 도 일반적으로 명시적 적분식은 없지만, 준비금과 비슷한 후방 미분방정식의 해로 구할 수 있다. 고차 적률은 포트폴리오 위험을 밝혀준다. 중심극한정리(식 9)를 이용하면, 할인된 미결 순부채 분포의 상위 ε-분위에 대략 해당하는 지급여력마진(solvency margin)은 Σξ_i + c_1−εs_m 로 주어진다. 셋 이상의 적률을 쓰면 더 정교한 추정이 가능하다.

8. 경로의존 지급과 준마르코프 모형 Path-dependence & Semi-Markov

지급이나 전이강도가 과거 생애이력에 의존하면 이론이 복잡해진다. 대표 예는 현재 상태에 들어온 뒤 경과한 체류시간 S(t)(상태 기간)에 의존하는 경우다. 이때 강도·지급은 μ_jk(s,t), b_j(s,t) 형태가 되고, 상태별 준비금도 V_j(s,t) 형태가 된다. 적분식이 다중적분이 되어 어렵지만 미분방정식 접근은 언제나 통한다. 틸레 식은 다음 1계 편미분방정식으로 일반화된다.

예: 그림 2의 장해모형에서 ‘대기기간 q를 지난 뒤에만’ 연 1원 지급하는 n년 장해연금은 b₁(s,t)=1[q<s<t<n]. 강도가 상태기간에 의존하는 모형을 준마르코프(semi-Markov) 모형이라 한다. 장해의 종류·중증도에 따라 회복·생존 전망이 달라지는 경우가 그 관련 사례다.

9. 표준상품의 비분산위험 관리 Managing Nondiversifiable Risk

생명보험은 보통 장기계약이라, 기간 동안 이율·사망률·경제·인구학적 조건이 크게 변할 수 있다. 표준계약의 경직된 조건상 보험자는 유효 계약을 해지하거나 급부를 줄이거나 보험료를 올릴 수 없다. 따라서 표준상품에는 포트폴리오를 키워도 분산되지 않는 위험(nondiversifiable risk)이 따른다. 이 확장된 상황에서는 등가식이 ‘기간 전체의 경제·인구학적 전개 G_n에 조건부’ 형태가 되는데, 시각 t엔 G_t만 알므로 그대로는 실행 불가능하다.

전통적 관리법은, 가능한 모든 경제·인구학적 시나리오에서 평균적으로 급부를 덮도록 보험료를 충분히 높게 매기는 것이다. 그렇게 신중히 계산한 보험료가 만드는 체계적 잉여(surplus)는 피보험자의 몫이며, 이력 G_t가 전개됨에 따라 사후에 환원된다. 이런 계약을 이익배당부(participating)·유배당(with-profit) 계약이라 한다. 환원금(배당, dividend/bonus)은 지급함수 D로 나타내며, 만기 n에 전체 이력이 알려질 때 등가가 회복되도록 조정한다.

신중한 보험료 계획의 흔한 방법은, 최악 시나리오를 나타내는 산식기초(technical basis) 이율 r^*·강도 μ_jk^*로 보험료·준비금을 계산하는 것이다. 산식기초 준비금을 V_j^*로 쓰면, 시각 t까지의 잉여 S(t)는 ‘실제 소급준비금에서 계약상 전향준비금을 뺀 초과분’으로 정의된다.

이를 미분하면 잉여의 동학을 얻는다. 첫째 항은 현재 잉여에 붙는 이자, 마지막 dM은 순수 무작위 편차, 둘째 dC가 잉여에 대한 체계적 기여(contribution)다.

기여는 각 상태에서 ‘이율·전이강도에 대한 신중한 가정’으로부터 생기는 이득으로 분해된다.

가장 단순한(가장 덜 신중한) 방식은 잉여가 생기는 즉시 환원하는 기여분배(contribution plan) D=C이다. 배당계획 D의 설계는 최적 확률제어(optimal stochastic control) 문제로 볼 수 있다. 음의 배당이 허용되지 않으므로, 이율을 산식보다 낮게 보장한 부분은 일종의 이자보증(interest guarantee) 가치를 가지며, 그 시장가격은 동등 마팅게일 측도 하의 기대값으로 계산된다. 시점 0에 그만큼의 추가보험료(down premium)를 받으면 유배당 구조를 깨지 않고 기여분배의 하방위험을 제거할 수 있다.

해설 분산 가능 위험 vs 분산 불가능 위험

사망 ‘여부’ 같은 개별 위험은 계약을 많이 모으면 평균으로 사라진다(분산 가능). 그러나 ‘미래 이율 수준’이나 ‘전체 사망률 추세’ 같은 공통 위험은 모든 계약에 동시에 작용하므로 아무리 모아도 사라지지 않는다(분산 불가능). 유배당·이자보증·뒤의 변액(unit-linked) 상품은 모두 이 ‘공통 위험’을 누가 어떻게 떠안고 나눌지를 설계하는 장치다.

10. 변액(투자연계) 보험 Unit-linked Insurance

유배당계약의 배당 D가 급부를 비분산위험 요인 G_t의 전개에 ‘사후에’ 맞추는 방식이라면, 아예 계약 조항 자체에 ‘급부가 이율·사망률 등 경제·인구학적 전개에도 의존한다’고 명시할 수도 있다. 그 한 방법이 변액보험(unit-linked contract)으로, 급부를 보험자 투자포트폴리오의 성과에 연동한다. 이율 r(t)만 유일한 불확실 요인이라 하면, 지급함수를 다음처럼 두어 이율위험을 제거할 수 있다. 여기서 B⁰은 생애이력에만 의존하는 기준지급함수다.

즉 보험료·급부가 모두 투자단위 가치로 지수조정된다. 이를 등가식에 넣고 생애사건과 시장사건의 독립을 가정하면, 등가요건이 미래 이율을 포함하지 않는 형태가 되어 시점 0에 기준보험료 수준을 정함으로써 충족된다.

실무의 변액상품은 이런 완전한 형태가 아니다. 보통 보험금(예: 정기보험·생존보험의 보험가입금액)만 지수조정되고 보험료는 아니며, ‘보험금이 일정 명목액 이하로 내려가지 않는다’는 최저보증(guarantee)이 붙는다. 생애이력을 평균하면 지급이 순수 금융파생상품이 되어 금융 가치평가 원리로 가격을 매긴다. 무작위 생애사건을 모형에 남기면 불완전시장의 가격책정 문제가 되며, 이는 위험최소화(risk minimization) 이론으로 정식화·해결되었다.

11. 확정급여와 확정기여 · 유동화 DB / DC and Securitization

유배당과 변액은 ‘급부를 비분산위험 요인의 장기 전개에 맞추는’ 두 방식일 뿐이다(전자는 조정규칙을 계약에 안 넣고, 후자는 넣는다). 널리 쓰이는 또 다른 두 전형은 확정급여(defined benefits, DB)와 확정기여(defined contributions, DC)다. DB는 급부만 (명목 또는 지수·급여 단위로) 정하는데, 흔히 보험료도 급여에 연동된다. 미래 급부를 정확히 예측·복제할 수 없는 한 DB는 보험자에게 큰 비분산위험을 남긴다. 그래서 DB는 보험료만 정하는 정반대의 DC로 점차 대체되고 있다. DC는 유배당과 공통점이 많지만 최저보증이 없어 보험자에게 더 유연하다.

유동화(securitization)는 거래 불가능한 청구권을 달성가능하게 만드는 매매가능 증권을 창출하는 장치다. 손해보험에서는 1990년대에 거대재해위험을 금융시장으로 옮기는 보험파생상품으로 도입되었다. 생명보험에서도 ‘사망경험에 연동된 이표채’ 등을 통한 비분산위험 유동화가 구상될 수 있으며, 성공한다면 생명보험위험을 금융 가치평가 원리로 관리하는 새 길이 열린다.

12. 통계적 추론 Statistical Inference

점과정(point process) 모형의 추론 이론은 잘 발달해 있다. 강도가 μ_gh(t; θ) 형태(θ는 유한차원 모수)인 모수적 경우만 보면, 개별 증권의 우도함수(likelihood)는 관측된 이력(I_g, N_gh)을 경로확률 식에 넣어 얻는다.

여기서 적분 범위는 관측기간이고, 시간모수 t는 보통 피보험자의 나이다. m개의 독립 위험으로 된 포트폴리오의 총우도는 개별우도의 곱이며, I_g·N_gh를 그 합으로 바꾼 같은 형태다. 최대우도추정량 θ̂은 우도방정식 ∂(ln L)/∂θ = 0 의 해로 얻으며, 정칙조건 하에 점근적으로 정규분포(평균 θ, 분산이 정보행렬의 역행렬)를 따른다. 이는 검정·신뢰구간 구성의 기초다.

특별히 보험계리적인 기법은, 강도가 구간별 상수 μ_gh(t) = μ_gh;j (t∈[j−1, j))라고 잠정 가정하는 것이다. 그러면 최대우도추정량이 이른바 발생-노출률(occurrence-exposure rate)이 된다 — 분자는 ‘해당 구간의 g→h 전이 횟수’, 분모는 ‘상태 g에서의 체류시간(노출)’이다.

이 발생-노출률은 강도의 경험적 대응량이다. 다음 단계로 (대개 비선형) 회귀로 모수함수를 발생-노출률에 적합시키는데, 보험계리 용어로 이를 해석적 보정(analytic graduation)이라 한다.

예제 발생-노출률로 사망강도 추정

한 해 동안 60세 구간에서 관측된 ‘노출(생존-연수)’이 합계 1,000년이고 사망이 12건이었다. 이 구간의 사망강도 추정치는?

발생-노출률 = 전이(사망) 수 ÷ 노출 = 12 ÷ 1000 = 0.012 (연간). 즉 μ̂ ≈ 0.012. 이는 구간 내 강도가 상수라는 가정 하의 최대우도추정량이며, 여러 연령구간의 μ̂을 부드러운 곡선(예: 사망법칙)으로 적합시키는 것이 ‘해석적 보정’이다.

13. 준비금 개념에 관한 비고 A Remark on Notions of Reserves

소급준비금과 전향준비금은 Norberg(1991)에서 ‘시각 t에 이용가능한 정보 H_t가 주어졌을 때 U(t)와 V(t)의 조건부 기대값’으로 정의되었다. 전향준비금의 정의는 논쟁이 없었으나, 소급준비금에는 다른 개념이 있다. 결정적 이자 가정 하에 등가원칙 (7)은 E[U(t)] = E[V(t)] 로 다시 쓸 수 있다. 단생 모형에서는 E[U(t)] = p₀₀(0,t)V₀(t) 가 되어, 다음을 얻는다.

‘생존자 1인당 적립액’으로 풀이되는 이 표현이 전통적으로 소급준비금이라 불렸다. 더 정확한 이름은 ‘전향준비금의 소급 공식’일 것이다. 다상태 일반 증권에서는 E[U(t)] = Σ_g p_0g(0,t)V_g(t) 라는 하나의 제약만 주므로, 이 식만으로는 상태별 소급준비금이 일의적으로 정해지지 않는다.

해설 전향 = 미래의 기대, 소급 = 과거의 적립

전향준비금은 ‘앞으로 줄 것의 기대현가’(미래지향), 소급준비금은 ‘지금까지 받은 것을 굴려 쌓은 잔액’(과거지향)이다. 결정적 이자·등가원칙 하에서 둘은 ‘생존자 1인당’으로 환산하면 일치한다(V₀ = E[U]/_tp_x). 그래서 소급준비금은 사실상 ‘전향준비금을 과거 자료로 다시 쓴 공식’으로 볼 수 있다.

참고 및 관련 표제어

관련 표제어. 연금(Annuities) · 소득보상보험·장해보험(Disability Insurance) · 하텐도르프 정리(Hattendorff's Theorem) · 생명보험(Life Insurance) · 리드스톤 정리(Lidstone's Theorem) · 생명보험의 옵션과 보증(Options and Guarantees in Life Insurance) · 연금수리(Pensions; Pension Fund Mathematics) · 잉여금(Surplus in Life and Pension Insurance) · 생명보험의 기초율(Technical Bases in Life Insurance) · 변액보험(Unit-linked Business) · 생명보험 부채평가(Valuation of Life Insurance Liabilities)

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

지급함수 (payment function) B(t) — 계약 시작부터 시각 t까지의 누적 순지급(급부 − 보험료). 연속지급률 b와 일시금 점프 ΔB로 이루어진다.
소급준비금 (retrospective reserve) U(t) — 과거·현재의 모든 지급을 이자로 적립한 계좌 잔액. ‘지금까지 쌓인 돈’.
전향준비금 (prospective reserve) V(t) — 미래 순부채의 할인 기대값. ‘앞으로 갚을 빚의 현재가치’. V_j는 상태별 준비금.
등가원칙 (principle of equivalence) — 개시 시 보험료의 가치 = 급부의 가치로 두는 순보험료 원칙(ΔB(0)+V(0)=0).
전이강도 (transition intensity) μ_gh — 상태 g에서 h로 ‘단위시간당 순간 전이확률’. 단생 사망강도(사력) μ_x+t의 일반화.
마르코프 사슬 (Markov chain) — 현재 상태만 알면 미래가 과거와 독립인 확률과정. 증권 이력 Z(t)의 모형(Hoem 1969).
전이확률 p_gh(t,u) — 시각 t에 g였던 증권이 시각 u에 h일 확률. 콜모고로프 미분방정식의 해.
틸레의 미분방정식 (Thiele's ODE) — 상태별 준비금이 따르는 후방 1계 ODE(1875). 이자 증가, 연금 상환, 전이 시 위험보험금으로 분해된다.
위험보험금 (sum at risk) R_jk — 전이 시 계좌에 더해지는 ‘즉시 일시금 + 준비금 조정’ = b_jk+V_k−V_j.
발생-노출률 (occurrence-exposure rate) — (전이 수)÷(상태 체류시간). 구간별 상수강도 가정 하의 최대우도추정량.
유배당·변액·DB/DC — 분산 불가능 위험(이율·사망추세)을 급부 조정으로 나누는 여러 설계. 유배당은 사후 배당, 변액은 투자연동, DB/DC는 급부/기여 중 무엇을 고정하느냐의 차이.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

생명보험수학의 핵심인 수지상등 원칙(보험료 현가 = 급부 현가)은 국내 보험료 산출의 기본 원리다. 생명표(위험률)·예정이율·예정사업비로 영업보험료를 산출하고, 장래법·과거법으로 책임준비금을 계산하는 본문의 체계가 국내 실무에 그대로 적용된다.

다만 IFRS17 도입으로 평가 패러다임이 바뀌었다. 단일 예정이율 대신 할인곡선, 보수적 기초율 대신 현행추정(최선추정)+위험조정(RA), 미래이익은 보험계약마진(CSM)으로 인식한다. 생명보험수학의 현가·준비금 원리는 유지되되, 가정과 측정방식이 시장정합적으로 진화했다.

실무 수지상등에서 IFRS17로

보험료·준비금의 토대인 수지상등은 그대로지만, IFRS17은 할인곡선·최선추정·CSM으로 측정틀을 바꿨다.

[한국보험시장 현황]은 한국 보험시장 실무 관점(2026.6 기준)에서 추가 작성한 것임. · 원문: Encyclopedia of Actuarial Science (Wiley, 2004), "Life Insurance Mathematics", Ragnar Norberg. · 본 해설서의 [해설]·[예제]·[부록]은 학부 입문 학습용으로 추가·구성한 것임.