생명보험의 옵션과 보증

1. 개요: 생명보험에서의 옵션이란 Introduction

생명보험의 맥락에서 옵션(option)이란 보험계약 속에 내재된(embedded) 하나의 보증(guarantee)을 가리킨다. 크게 두 종류가 있다. 첫째는 금융옵션(financial option)으로, 급부금액이 변동하는 계약에서 최소 지급액을 보장한다. 둘째는 사망옵션(mortality option)으로, 계약자가 정해진 조건으로 추가 보장을 구입할 수 있도록 보증한다.

금융보험옵션의 중요한 예는 주가연계보험(equity-linked insurance)에서 나타난다. 이 상품은 (실제 또는 가상의) 주식 포트폴리오의 시장가치에 따라 변하는 급부를 제공한다. 계약자의 사망 · 해약 · 만기 시 지급되는 기초 보증급부(underlying guaranteed benefit)가 있을 때 금융옵션이 발생한다. 주가연계보험은 시장마다 다양한 형태로 판매되므로, 영국·호주의 변액유니트(unit-linked) 계약, 미국의 변액연금(variable annuity)과 주가지수연결연금(equity indexed annuity), 캐나다의 분리펀드(segregated fund)를 포함한다.

또 다른 금융옵션의 예는 전통형 유배당(with-profit, participating) 보험의 고정 보증급부, 그리고 만기금을 보증된 이율로 연금으로 전환할 권리를 주는 보증연금옵션(guaranteed annuity option, GAO)이다. 만기 시 시장 이율이 더 유리하면 이 옵션은 행사되지 않을 것이다 — 즉 이는 명백히 선택권(옵션)의 성격을 갖는다. 이 모든 금융보증은 금융경제학의 옵션과 매우 비슷하다.

사망옵션은 갱신·연장·전환 보증의 형태를 띠다. 이는 계약 시점에 정해진 사망률 기준 또는 행사 시점의 표준보험료로, 추가 건강증명 없이 계약자가 추가 보험을 가입할 수 있게 한다. 예를 들어 정기보험 계약자가 계약 종료 시 건강 상태와 무관하게 그때의 일반 보험료로 정기보험이나 종신보험을 다시 구입할 권리를 가질 수 있다.

2. 분산가능 위험과 비분산 위험 Diversifiable and Nondiversifiable Risk

전통적 만 비배당 보험은 고정 보험료를 받고 고정 급부를 제공한다. 보험사는 보험료를 알려진 이율로 투자할 수 있으므로 이율 변동을 따로 고려할 필요가 없다. 남는 확률적 요소는 계약자의 사망뿐인데, 독립적인 계약이 충분히 많으면 사망 경험의 변동은 분산(diversification)을 통해 상쇄된다. 이 때문에 전통형 보증은 비교적 쉽게 관리된다.

예를 들어 보험사가 독립적인 피보험자에게 1년만기 정기보험 10,000건을 판매하고, 각 계약의 보험금액은 100, 사고(청구) 확률이 5%라고 하자. 총 기대지급액은 50,000이고, 총 지급액의 표준편차는 약 2179이다.

총 손실이 60,000을 넘을 확률은 사실상 무시할 만하다. 중심극한정리에 의해 총 청구액이 기대값 근방에 몰려 있기 때문이다.

반면 금융보증이 따라붙은 주가연계보험은 위험의 성격이 전혀 다르다. 같은 10,000건을 팔았고, 급부가 주가지수에 연동되어 지수가 출발값보다 높으면 지급이 없고, 낮으면 100을 지급한다고 하자. 청구 확률은 동일하게 0.05다. 기대지급액은 똑같이 50,000이지만, 표준편차는 약 217,900으로 배 이상 커진다.

이 위험의 본질은, 5%의 확률로 10,000건 전부가 동시에 청구가 되고 95%의 확률로 단 한 건도 청구되지 않는다는 점이다. 즉 95% 확률로 지급액은 0이고, 5% 확률로 1백만이 된다. 이 경우 기대값은 유용한 척도가 못 된다. 계약을 더 많이 팔아도 전체 위험이 줄지 않는다 — 분산의 이익이 없으므로 이를 비분산 위험(nondiversifiable risk), 또는 체계적·시스템 위험이라 한다.

급부가 사망·생존에 좌우될 때는 청구 빈도 위험이 분산가능하지만, 청구 금액이 주가지수 같은 공통의 외생 과정에 연결되면 청구 규모 위험은 분산되지 않는다. 비분산 위험은 전통 보험의 결정론적 기법과는 다른, 부채의 확률적 성격을 직접 다루는 기법을 요구한다.

3. 생명보험 금융옵션의 종류 Types of Financial Options in Life Insurance

계리사가 가장 많이 관여하는 상품은 영국의 변액유니트보험, 미국의 변액연금, 캐나다의 분리펀드보험 등으로 불리는 주가연계 상품이다. 이들은 모두 같은 기본 형태다. 사업비를 공제한 보험료는 주식 또는 주식·채권 혼합 펀드에 투자되고, 그 수익은 만기 또는 그 이전의 사망·해약 시 지급된다. 옵션 성격은 이 지급액이 최소보증으로 받쳐질 때 생긴다.

주요 보증 형태

• 보증된 최소 만기급부(GMMB) — 만기 시 펀드 가치가 낮아도 보장된 최소금을 지급. 영국에서 1970년대에 흔했으나 위험 재평가와 규제자본 요구 강화 이후 인기가 식었다. 캐나다·미국(VAGLB)에서는 확산 중이다.
• 보증된 최소 사망급부(GMDB) — 사망 시 최소 급부를 보장. 주가연계보험의 보편적 특징이다.
• 보증된 최소 적립급부(GMAB) — 일정 간격으로 사망·만기 보증을 현재 펀드 가치까지 끌어올리는(ratchet) 형태.
• 보증연금옵션(GAO) — 유니트연계·유배당 양로보험의 만기금을 보증된 연금전환율로 연금화할 수 있는 권리. 변액연금의 최소소득보증(GMIB)은 유사하나 보통 연금율이 아닌 고정액을 보증한다.
• 주가지수연결연금(EIA) — 지수 상승률의 일정 비율(참여율)만큼 이자를 적립. 참여율 80%라면 지수가 10% 오를 때 계약자 이자는 8%. 원금을 고정이율(흔히 연 3%)으로 적립한 금액을 최소 보장한다. 만기가 약 7년으로 짧다.

4. 평가와 위험관리: 두 가지 접근 Valuation and Risk Management

금융옵션의 평가와 위험관리에는 두 가지 접근법이 있다.

• 계리적(실세계·확률적 시뮨레이션) 접근 — 확률적 시뮬레이션으로 부채 분포를 투영하고, 그 분포에 적절한 위험척도를 적용해 자본 요구를 정한다.
• 금융공학(옵션가격결정·동적헤지) 접근 — 보증을 금융의 콜/풋 옵션과 동일하게 보고, 주식과 채권으로 이루어진 복제(헤지) 포트폴리오를 구성해 만기 부채를 정확히 맞춘다. 이 포트폴리오는 계약 기간 내내 동적으로 재조정되어야 하므로 동적헤지(dynamic hedging) 접근이라고도 한다.

5. 계리적 접근 The Actuarial Approach

주가 과정에 대한 적절한 모형을 쓰고 확률적 시뮬레이션으로 보증 부채를 모형화한다. 이 접근은 영국 만기보증 작업반(Maturity Guarantees Working Party)의 보고서에서 선구적으로 제시되었다.

예를 들어 생존급부 보증이 있는 일시납 변액연금을 생각하자. 보험료 P는 주가지수를 추종하는 펀드에 투자된다. 계약 기간은 n년이다. 해약 시 펀드는 보증 없이 반환되지만, 만기까지 생존하면 최소한 초기 보험료 P(이자 없이)를 보증한다. 연 m(연속복리)의 펀드운용보수가 차감된다.

S_t를 시점 t의 주가지수라 하면, 만기까지 계약이 유지될 때 펀드 가치는 다음과 같다.

만기 시 펀드 가치는 P(S_n/S₀)e^−mn이므로, 보험사의 만기 부채 L은 다음과 같다.

주가 과정 모형이 주어지면 L의 값을 시뮬레이션하는 것은 비교적 간단하다. N개의 값을 시뮬레이션해 작은 것부터 순서대로 정렬하고, L^(j)를 j번째로 작은 값이라 하자. 사망률 변동 위험은 주가 위험에 비해 매우 작으므로 사망은 통상 결정론적으로 다루어, 생존확률 _np_x를 곱한다. 무위험 이자율 r로 할인하면 할인된 보증 부채 H^(j)는 다음과 같다.

비분산 위험 때문에 평균은 유용한 척도가 아니다. 대신 최악의 경우를 포착하는 꼬리 척도를 본다. 예를 들어 최악 5%를 제외한 모든 경우를 충당할 자본을 보유한다고 하면, 시뮬레이션 부채의 95백분위수를 쓴다. 이를 분위수 위험척도 또는 VaR(Value-at-Risk)라 한다.

또 다른 방법은 최악 5% 결과의 평균을 쓰는 것이다. 이를 조건부꼬리기대값(Conditional Tail Expectation, CTE) 또는 TailVaR이라 한다.

CTE는 표본오차에 대해 분위수보다 더 견고하고, 코헌트(coherent) 위험척도라는 장점이 있다.

6. 주가 과정 모형 Models for the Equity Process

적절한 주가 모형을 정하는 것은 매우 어렵다. 보증은 주가 경험이 극단적으로 불리할 때만 도입되므로 분포의 극단적 꼬리가 중요한데, 이 꼬리를 잘 모형화할 만한 데이터를 충분히 얻기 어렵다. 자주 쓰이는 모형으로는 (이 목적을 위해 처음 개발된) 윌키 모형(Wilkie model)과, 각 기간의 수익률이 독립·동일한 대수정규 분포를 따르는 대수정규 모형이 있다. 대수정규 모형은 기하브라운 운동의 이산시간 버전이지만, 꼬리가 중요한 장기 문제에서는 흔히 부적절하다.

장기 주가 데이터 분석은 하트를 더 두프게 갖고(fat-tailed) 자기상관이 있으며 변동성이 확률적으로 변하는 모형이 필요함을 시사한다. 대표적으로 국면전환(regime switching) 모형과 ARCH·GARCH 계열의 자기회귀조건부이분산 모형이 있다.

7. 동적 헤지 Dynamic Hedging

금융경제학의 가장 단순한 옵션은 유럽형 콜옵션과 풋옵션이다. 콜옵션은 정해진 만기일에 행사가(strike price) K로 기초자산을 살 권리, 풋옵션은 팔 권리를 준다(의무가 아닌 권리).

행사가 K, 기간 n년의 풋옵션을 생각하자. 만기 주가 S_n이 K보다 크면 옵션은 무가치로 소멸하고, S_n ≤ K면 행사하여 보유자는 K − S_n을 얻는다. 즉 만기 시 옵션의 포개(payoff)는

이다. 이제 보험사가 만기 최소보증액 G를 주는 일시납 유니트연계 계약을 발행했다고 하자. 펀드 가치가 F_n > G이면 보증은 가치가 없고, F_n ≤ G면 보험사가 차액 G − F_n을 메워야 한다. 즉 만기 포개는

로, 주가연계 보증은 풋옵션과 정확히 같은 계약이 된다.

블랙쉬즘을 숌칬 등은 일정 가정 하에서 유럽형 풋(또는 콜) 옵션과 동일한 포개를 갖는 포트폴리오를 구성할 수 있음을 보였다. 이를 복제(헤지) 포트폴리오라 한다. 풋옵션의 경우 기초 주식의 공매(숙포지션)와 순수할인채권 매입(롱포지션)으로 구성된다. 차익거래 불성립 원리에 따라 복제 포트폴리오는 옵션과 같은 가치를 가져야 한다. 따라서 블랙쉬즘 공식은 가격뿐 아니라 위험관리 전략(복제 포트폴리오 보유)까지 제공한다. 다만 이 포트폴리오는 시간에 따라 변하므로 주식과 채권의 비율을 연속적으로 재조정해약 한다. 원칙적으로 이 재조정은 자기금융(self-financing)이다.

앞절의 만기보증을 생각하자. 일시납 P가 펀드에 납입되고, 계약 유지 시 펀드는 F_t = P(S_t/S₀)e^−mt의 과정을 따른다. 보증은 행사가 P, 만기 n인 F_t에 대한 풋옵션이다. 주가 S_t가 기하브라운 운동을 따른다고 가정하면, 발행 시점 옵션 가격은 다음 블랙쉬즘형 공식으로 주어진다.

여기서 Φ는 표준정규 분포함수, σ는 주가의 변동성(log S_t/S_t−1의 표준편차), r은 연속복리 무위험 이자율, m은 연속복리 펀드운용보수다. 그리고

이다. 계약 기간 중 임의 시점 t (0 ≤ t < n)에서 복제 포트폴리오는 만기 n인 무표채권에 대한 롱포지션과 기초주식에 대한 숙포지션으로 구성된다.

옵션은 계약이 유지될 때만 행사될 수 있으므로, 생존에 조건부된 옵션의 비용은 생존확률 _np_x를 곱한 값이다.

사망 시 지급되는 보증은 만기가 확률적인(random) 유럽형 옵션이다. 충분한 계약 수로 사망 위험이 분산되면, BSP(t)를 시점 0에서 본 만기 t의 유럽형 풋옵션 가치라 하고 T를 장래생존기간 확률변수라 하면, 사망 시 만기되는 옵션 가치는 사망률을 결정론적으로 다룩으로써 다음과 같이 적분된다.

8. 혼합 접근 A Hybrid Approach

보험사가 동적헤지를 꺼리는 이유는 블랙–쉬즘–머튼 가정이 비현실적이기 때문이다. 특히 세 가지가 문제된다.

• 가정 1: 주가가 기하브라운 운동을 따른다. 실제 주가는 독립 대수정규 모형이 잡아내지 못하는 변동성과 자기상관을 보인다.
• 가정 2: 복제 포트폴리오를 연속적으로 재조정할 수 있다. 연속 재조정은 자기금융을 위해 원칙적으로 필요하지만 현실적으로 불가능하다.
• 가정 3: 거래비용이 없다. 채권은 거의 비용 없이 거래되지만 주식 거래에는 비용이 들어 비현실적이다.

가정 1·2의 실패는 복제 포트폴리오가 만기 부채를 정확히 맞추지 못하고 자기금융이 아닐 수 있음을, 가정 3의 실패는 추가 비용이 생김을 뜻한다. 따라서 복제 포트폴리오는 보증을 완전히 헤지하지는 못하더라도 부채를 상당 면역화한다. 혼합 접근은 이때 초기 옵션가격 외에 추가로 필요한 비용을 계리적 방법(시뮬레이션)으로 투영·분석한다. 예를 들어 매월 헤지를 재조정한다고 가정하고 매월 재조정 비용(거래비용 + 추적오차 비용)과 만기 부족·초과를 시뮬레이션해 무위험 이자율로 할인한 뒤, 계리적 위험척도로 자본 요구를 산출한다.

9. 두 접근의 비교 Comparing the Two Approaches

두 접근의 철학이 너무 달라 단순 비교는 어렵다. 계리적 접근에서는 큰 금액이 무위험 채권에 투자되는데, 높은 확률로 그 돈의 거의 대부분이 쓰이지 않고 계약 종료 시 회사로 환수된다. 동적헤지 접근에서는 보증이 무가치로 끝나면 헤지 포트폴리오 비용을 회수할 수 없다 — 만기 시 계약자 펀드가 보증보다 높으면 헤지 포트폴리오 가치는 0으로 수렴한다.

일반적으로 계리적 접근의 초기 자본 요구가 옵션 비용보다 크다. 그러나 나중에 자본을 회수할 확률이 높아 평균적으로는 계리적 접근이 더 쌀 수도 있다(자본비용을 어떻게 반영하느냐에 크게 좌우됨). 낮은 위험할인율에서는 자본 보유 부담이 크게 벌되지 않아 계리적 접근이 유리하고, 높은 할인율에서는 헤지 비용이 낮은 동적헤지가 더 매력적이다. 많은 실험은 옵션(헤지) 접근이 매우 불리한 결과에 대해 더 잘 면역화한다고 보여준다. 즉 계리적 접근은 최선의 시나리오에서는 더 좋아 보이지만 최악 시나리오에서는 훨씬 나빴다. 어느 쪽이 나은지는 계약의 위험성과 보험사의 위험 태도에 달려 있다.

10. 사망옵션 Mortality Options

대표적 사망옵션은 다음과 같다.

• 표준 보험료로 추가 보험을 구입할 수 있는 옵션
• 추가 건강증명 없이 보험을 전환(예: 정기→종신)할 수 있는 옵션(전환보험)
• 건강증명 없이 정기보험을 자동 갱신하는 옵션

실제로는 조합 상품이 흔하다. 영국의 RICTA 계약은 갱신·증액·전환 가능 정기보험(Renewable, Increasable, Convertible Term Assurance)을 제공한다. 이 사망옵션들은 행사 시 건강증명을 요구하지 않아 보험료가 건강 상태에 무관하도록 보증한다. 핵심은 갱신·전환하는 모든 계약자가 건강 여부와 무관하게 동일한 보험료 기준으로 이루어지는 것이다.

역선택(해로운 선택)

사망옵션에는 역선택(adverse selection)이라는 큰 문제가 있다. 이 옵션은 이미 표준료로 가입 가능한 사람에게는 가치가 적고, 건강 문제로 보험이 비싸거나 불가능한 사람에게 진짜 가치가 크다. 따라서 옵션을 행사하는 사람들은 행사하지 않는 사람보다 훨씬 건강이 나쁜 경향이 있다. 보험사가 전환 후 보험료를 올리면 상황은 더 악화된다. 더 나은 방법은 건강한 사람도 행사하고 싶도록 설계하는 것이다(예: 미국의 자동 갱신은 신규 가입보다 취득비 절감으로 매력적).

11. 사망옵션의 평가: 전통적 접근 Valuation — The Traditional Approach

한 방법은 적격한 모든 계약자가 적절한 시점에 전환한다고 가정하는 것이다. 전환하는 각 계약자에게 같은 나이의 신규 선택체와 동일한 수보험료를 부과하면, 비용은 선택 사망률 보험료와 더 적절한 종극 사망률 기준 보험료의 차이다. 예를 들어 신규 선택체 연령 x가 10년 정기보험(단위 보험금·연납)을 사고, 만기 시 표준료로 종신보험을 살 수 있다고 하자. 모든 적격 계약자가 옵션을 행사하면, 부과되어야 할 종신보험 수보험료는

이고, 실제 부과되는 보험료는 선택 기준의 P_[x]+10이다. 연령 x에서 추가 비용의 가치는 전환 후 낸 보험료와 진짜 수보험료 차이의 할인값이다.

이를 원래 10년 기간에 분할하면 추가 보험료는 다음과 같다.

이 방법의 주요 결함은 모든 계약자가 옵션을 행사하고 실제 사망률이 종극 사망률과 같다고 가정하는 점이다. 역선택이 있으면 진짜 비용을 과소평가한다. 또 이 방법은 옵션이 여러 시점에 걸쳐 행사되는 경우에는 적용하기 어렵다.

12. 사망옵션의 평가: 다중상태 접근 The Multiple State Approach

전환이 한 시점이 아닌 어느 정도 긴 기간에 걸쳐 허용될 때는 더 정교한 다중상태 모형을 쓴다. 원래 계약에서 전환 계약으로의 상태 전이를 모형화한다. _tp^ij([x])를 연령 [x]에서 상태 i에 있던 생명이 t후 상태 j에 있을 확률이라 하자. 이자력은 δ다. 상태 0에 머물 확률은 (전환력 ρ, 탈퇴력 ν, 사망력 μ을 쓸 때) 다음과 같다.

전환된 계약의 사망급부(보험금 S, 사망력 η)의 계리적 가치는 상태 0에서 상태 2(전환 후)로 이동한 뒤 사망할 경로를 적분해 다음과 같다.

전환 후 내는 보험료(전환 시 연령별 보험료 T, 상태 2의 연금 ä²²)의 가치는 다음과 같다.

전환옵션의 총 비용은 DB − CP이고, 이를 원래 보험료 기간에 분할한 연간 추가 보험료는 다음과 같다.

이 방법은 전환력·사망력·탈퇴력 등 전이강도 정보를 요구하지만, 여러 시점 행사·역선택·탈퇴를 자연스럽게 반영할 수 있어 전통적 방법보다 유연하다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 내재옵션 (embedded option) — 보험계약 속에 동일한 경제적 성격로 숨어 있는 금융 옵션(최소보증 등).
• GMMB / GMDB / GMAB — 각각 최소 만기급부·최소 사망급부·최소 적립급부를 보증하는 주가연계보험의 보증 형태.
• 보증연금옵션 (GAO) — 만기금을 미리 정한 연금전환율로 연급화할 권리. 이자율·생존 함수로 했지되는 이자율 보증의 일종.
• 풋옵션 (put option) — 기초자산을 행사가에 팔 권리. 포개가 max(K−S_n,0)로, 주가연계 최소보증과 구조가 같다.
• 블랙–쉬즘 공식 (Black–Scholes) — 기하브라운·무차익 가정 아래 유럽형 옵션의 가격·복제포트폴리오를 주는 공식.
• 복제(헤지) 포트폴리오 (replicating portfolio) — 옵션과 동일한 포개를 갖도록 주식·채권으로 구성한 포트폴리오.
• 동적헤지 (dynamic hedging) — 계약 기간 내내 복제 포트폴리오를 재조정해 위험을 관리하는 금융공학 접근.
• 비분산 위험 (nondiversifiable risk) — 계약 수를 늘려도 줄지 않는 체계적·시장 공통 위험.
• VaR / CTE — 꼬리 위험척도. VaR은 지정 분위수, CTE는 그 너머 꼬리 평균(더 견고·코헌트).
• 역선택 (adverse selection) — 건강이 나쁜 사람이 사망옵션을 더 많이 행사해 비용을 높이는 현상.
• 국면전환 모형 (regime switching) — 변동성이 구간(국면)별로 바뀌는, 주가의 두꺼운 꼬리를 담는 모형.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

생명보험의 옵션·보증은 국내에서 변액보험의 최저보증(GMxB), 금리연동형의 최저보증이율, 연금전환·중도인출 옵션 등으로 나타난다. 본문처럼 이들은 가입자에게 유리한 선택권(옵션)이어서 시장상황이 나쁠수록 보험사 비용이 커진다.

IFRS17은 이러한 내재 옵션·보증을 시장정합 가정으로 평가하도록 요구하고, K-ICS는 관련 시장·금리위험에 요구자본을 부과한다. 옵션가격 모형과 경제적 시나리오 생성기(ESG)로 보증을 시가평가하고 필요 시 헤지하는 것이 국내 실무의 과제다.