생명표 자료의 결합

1. 개요 Overview

여러 자료집합에 담긴 정보를 결합하는 일은 메타분석(meta-analysis)이라 불리는 점점 커지는 분야의 핵심 주제다. 메타분석 기법은 유사한 연구들의 요약통계를 결합해 어떤 효과가 여러 연구에 걸쳐 지속되는지를 판단하는 데 초점을 둔다. 그런데 자료들이 근본 관심사는 비슷하지만 표·요약통계의 형식이 다른 상황이 흔히 생긴다. 이때 결합을 위해 표들의 칸을 ‘맞춰 정렬’하는 일은 까다롭다. 생명표 형식 때문에 어떤 칸은 한 자료집합에서 아예 도수(count)가 없기도 하다. 더 극단적으로는 결합 대상에 히스토그램, 적합곡선의 그림, 전문가 의견까지 섞이기도 한다.

이런 정보를 결합하려면 임시방편이 아니라 받아들일 만한 원칙에 기반한 방법론이 필요하다. 이 글은 자료 생명표를 결합하려는 계리사·분석가가 통계모형을 세우고 그 적합모형으로부터 결합 생명표를 구성할 의향이 있다는 전제 위에 서 있다. 오늘날 결합 생명표는 단순히 한 회사의 두 지역 경험 블록을 합치는 데서 그치지 않고, 관련 업무블록·역학연구·횡단면 조사·장기추적·업계 전반 요약·정부의 일반인구 자료 등 다양한 출처를 결합해 만들어진다.

2. 표기와 가정 Preliminaries

생명표 자료 결합의 가정과 단계를 다루기 위해 다음 표기를 쓴다.

• i = 연령에 대한 색인 (i=1,…,I). 연령 단위는 꼭 같은 길이일 필요는 없다.
• j = 결과(outcome)에 대한 색인 (j=1,…,J). 가장 단순하게는 생존/사망이지만, 심장사건 발병·은퇴 같은 다른 상태로의 감소(decrement)·원인별 사망(예: 암)으로 확장할 수 있다.
• k = 서로 다른 생명표에 대한 색인 (k=1,…,K). k는 단순 번호일 수도 있고, 성별·흡연상태 등을 담는 복합색인 k=(k₁,k₂,k₃)일 수도 있다.
• n_ijk = 색인 (i,j,k)로 정의되는 칸의 도수(count). 각 생명표가 고정 기수(radix)로 표준화돼 있으면, n_ijk로 쓰기 전에 부록의 방법으로 조정해야 한다.
• m_ijk = n_ijk의 기대값(이론적 인원수).
• X_i = 연령군 i의 위험요인·감소·특성을 기술하는 알려진 상수 행렬, β_j = X_i를 원인 j의 감소위험에 연결하는 미지 모수 벡터.

한 색인에 대해 합할 때는 그 자리에 ‘+’를 쓴다. 예를 들어 n_i+k는 생명표 k의 연령군 i에 속한 총 인원수다(생존자·사망자·기타 감소자를 모두 더한 값).

가정 1. 분석에서 주변합 n_i+k는 고정된 것으로 본다. (생명표는 보통 l(x+1)이 l(x)의 생존자가 되도록 제시되지만, 여기서는 그렇게 가정하지 않고 연령별 실제·근사 노출(exposure)을 쓸 수 있다.) 어떤 주변합을 고정하느냐가 적합할 통계모형의 종류를 좌우한다. 여기서 주 목적은 여러 생명표 자료를 결합해 각 연령군의 감소확률을 추정하는 것이므로, 가정 1 아래에서 칸 확률을 다음과 같이 정의한다.

표기를 굳히기 위해, 결과가 생존(j=1)/사망(j=2)이고 연령이 i=1,2,3,4인 두 생명표(k=1,2) 예를 둔다. 결합 전에는 표준화된 표가 아닌 원자료 도수(raw data counts)를 써야 한다. 표준화 표는 계산함수(commutation)·계리함수 계산엔 편하지만, 각 연령군 도수가 실제 경험의 불확실성 수준을 반영하지 못해 결합 시 오해를 부른다(예: 1000명 결과를 95000명으로 부풀려 적으면 정확도를 왜곡). 표준화 표를 ‘비표준화’하는 방법은 부록에 있다.

3. 생명표를 직접 결합하기 Combining Life Tables Directly

가장 직관적인 방법은, 각 기간(행)에 대해 생존 인원 l_x+1과 사망 인원 d_x의 칸 도수를 그냥 더하는 것이다. 그런 다음 새 합계로 각 행의 사망확률을 계산하고, 고정 기수로 표준화한 표준 방법으로 새 생명표를 만든다. 한 표를 다른 표보다 더 비중 있게 두려면, 더 중요한 표의 ‘관측 수’를 상대적으로 늘려 각 열을 조정한 뒤 더하면 된다.

이 직접결합은 구현이 쉽지만 자료에 대한 가정을 요구한다. 가장 단순한 모형은, k로 색인된 표들에 대해 칸 확률 π_ijk가 모든 i,j에서 같다는 것이다 — 즉 연령군별·유형별 감소확률이 표마다 동일하다.

이 가정은 검정하기는 쉬우나 흔히 성립하지 않는다. 대안으로 오즈비(odds ratio)에 관한 가정이 있다. 두 표 k, k′을 도수 합산으로 결합할 수 있으려면 다음 오즈비가 1이어야 한다.

이 가정은 일반 자료표에서 식 (2)보다 충족하기 쉬워 덜 제약적이지만, 우리처럼 Σ_jπ_ijk=1인 경우 두 가정은 동치다. 식 (2)·(3)은 생명표의 부분집합에서만 성립할 수도 있어, 일부 표 묶음만 결합 가능할 수 있다. 식 (3)(또는 (2))이 성립하지 않으면 일반적으로 칸 도수를 단순 합산해 결합할 수 없다.

여기서 두 질문이 생긴다. 첫째, 식 (3)이 성립하는지 어떻게 검정하는가(통계적 가설)? 둘째, 성립하지 않으면 정보 결합을 위해 무엇을 할 수 있는가? 두 질문 모두 더 정교한 통계모형을 세워 답할 수 있다.

4. 통계모형: 로그선형 모형 The Statistical Model

통계모형은 여러 생명표의 정보를 함께 쓰게 해 정확도를 높여 준다. 모형은 생명표 항에 대한 가정을 제약(restriction) 형태로 표현한다. 예컨대 직접결합은 식 (2) 또는 (3)이 성립한다고 가정했고, 이는 π_ijk 값을 제한한다. 여기서는 제약을 m에 대한 다음 모형으로 표현한다.

여기서 β는 미지 모수 벡터, X는 알려진 상수 행렬이다. e^Xβ는 Xβ의 각 성분에 지수를 취해 같은 길이의 벡터에 담는 것을 뜻한다. 이는 Bishop·Fienberg·Holland의 전통적 로그선형 모형(log-linear model) 형식이다. 양변에 로그를 취하면 다음과 같다.

즉 미지 모수 β는 기대도수 로그의 선형결합이다. X를 완전계수(full rank)로 택하면 β의 각 성분을 명시적으로 표현할 수 있다.

이 모형을 결합에 어떻게 적용하는지 보기 위해 한 연령군 i를 생각하자. 결과가 생존/사망(j=1,2)인 두 생명표(k=1,2)를 결합한다면, 도수는 사망결과 × 생명표의 2×2 표로 표현된다. 적절히 고른 4×4 대조행렬 X에서 그 역행렬 X⁻¹을 보면, β의 네 번째 성분은 식 (3)의 오즈비 θ의 로그가 된다.

따라서 β₄=0이면 이 연령군에서는 두 표를 단순 합산으로 결합할 수 있다. 일반적으로 가설 H₀: β₄=0의 통계검정이 곧 “이 두 표를 더해서 결합해도 되는가”의 평가가 된다. 모든 연령군 i에 대해 결합하려면 각 i의 β₄가 모두 0이어야 한다.

5. 모형 적합과 예제 Fitting the Model

예제 자료(연령 0)에서 H₀: β₄=0을 검정한다. 완전포화(saturated) 모형이므로 추정값은 β̂₄ = log(470) − log(30) − log(620) + log(80) = 0.704이고, 최대우도법으로 구한 표준오차는 0.223이다. 로그선형 방법론을 적용하면 자유도 1에서 카이제곱 통계량 9.99, p-값 0.0016을 얻는다. 따라서 이 연령군에서는 β₄=0을 기각하며, 두 표를 단순 합산으로 결합하는 것은 부적절하다는 뜻이다.

직접결합이 부적절하다고 결론 났으므로, 더 복잡한 모형으로 결합한다. 16개 자료점을 16×1 벡터 n에 저장하고, 16×16 설계행렬을 만든다. 행은 절편, 생명표 효과, 연령효과(직교다항식으로 선형·2차·3차), 상태(생존/사망) 효과, 그리고 이들의 모든 상호작용으로 구성된다. 자료가 모든 칸에 있으면 모든 자유도가 추정 가능하며 β̂ = X⁻¹log(n)이다.

완전포화 모형은 8개 비율(각 칸의 생존 비율)을 정확히 재현한다. 더 축소된(reduced) 모형(상태, 상태×연령-선형, 상태×연령-2차의 3자유도)을 적합할 수도 있다. 이 축소모형은 비율을 정확히 맞추진 않지만 꽤 잘 예측한다. 핵심은, 축소모형에 ‘생명표(life table)’ 모수가 들어 있지 않다는 점이다 — 즉 이 적합은 사실상 두 생명표 정보를 결합한 것이다. 적합이 충분하면 그것이 곧 결합 생명표다.

6. 그 밖의 모형 Other Models

직접결합은 식 (2)(또는 (3))을 가정해야 하며 이것이 가장 단순한 모형이다. 성립하지 않으면 더 복잡한 모형이 필요하다. 위에서는 로그선형 모형 (4)를 최대우도로 적합했지만, 가중최소제곱(weighted least squares)이나 정보이론(information theoretic) 접근으로 모수를 추정할 수도 있다. 이는 본질적으로 같은 표확률 모형이되 적합 방식만 다른 것이다. 이 밖에 다른 확률모형을 쓰는 길도 크게 세 갈래가 있다.

• 대안적 칸확률 형태. 지수형 (4) 대신 로지스틱(logistic) 모형(확률이 0~1 사이로 자동 보장), 단순한 선형 모형(0~1 경계가 자동 보장되지 않아 어려움 발생), 동시변수가 많을 때 유연한 소속등급(GoM, grade of membership) 모형 등.
• 베이즈 접근. 생명표·칸확률에 사전분포(prior)를 두고, ‘적합모형’을 칸확률의 사후분포(posterior)로 본다. 결합 대상 표들은 사전분포(또는 그 초사전분포)의 서로 다른 실현으로 보며, 사후분포를 구해 정보를 결합한다. 근래 사후분포 계산·예측이 크게 발전해 활발한 연구영역이다.
• 연속 생존모형. 사망과정이 ‘사망까지 시간’이라는 연속 확률변수를 낳음을 인식하고, 이산 생명표 자료로 밀도함수를 적합한다. 결합 생명표는 결합밀도로부터 재구성된다. Cox 회귀·프레일티(frailty) 모형 등 방대한 생존모형 문헌을 활용할 수 있고, 기록구간이 어긋나도 최대엔트로피 방법으로 밀도를 정할 수 있다.

7. 부록: 표준화 생명표의 조정 Adjusting Standardized Life Tables

전통적 계리 생명표는 여러 보험사 경험을 일정 기간 모은 것이라 사망확률이 높은 정확도로 추정된다. 그러나 고정 기수(예: l₀=100,000)로 표준화하면 추정 감소확률의 불확실성이 가려진다. 자료를 결합할 때는 관측치의 불확실성을 형식적으로 보존하는 것이 중요하다. 이를 위해 각 연령군 인원수를 따로 살피고, 연령군 i의 생존자 수가 연령군 i+1 진입자 수와 같다고 강제하지 않는다. 목적은 각 연령군의 표 도수를 ‘원자료 등가(raw data equivalent)’ 도수로 바꾸는 것이다.

표가 고정 기수 l₀로 표준화돼 있고, 생명표 k의 연령군 i에서 다음 연령군으로의 표시 생존확률을 P_ik라 하자. 참 생존확률이 그 사이에 있다고 합리적으로 확신할 수 있는 두 수 a<P_ik<b를 잡아 다음을 계산한다.

r_0ik를 r_1ik, r_2ik 중 작은 값으로 두면, 표준화 도수 n_ijk의 원자료 등가는 [r_0ik·n_ijk/n_i+k]로 (정수로 내림해) 구한다. 히스토그램·그래프에서 얻은 자료나, 전문가가 제시한 감소율 π_ijk에서도 같은 식으로 원자료 등가를 얻어 다른 출처와 결합할 수 있다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 생명표 결합 (combining life tables) — 서로 다른 출처·기간·부분집단의 사망자료를 합쳐 하나의 생명표를 추정하는 일.
• 메타분석 (meta-analysis) — 여러 연구의 요약통계를 결합해 효과의 일관성을 평가하는 통계 분야.
• 도수 n_ijk · 기대도수 m_ijk — 연령(i)·결과(j)·표(k) 칸의 실제 인원수와 그 기대값.
• 노출 (exposure) — 위험에 노출된 인원·기간; 생명표 결합에서 분모로 쓰임.
• 로그선형 모형 (log-linear model) — log(m)=Xβ 형태로 칸 기대도수를 모형화하는 범주형 자료 모형.
• 오즈비 (odds ratio) — 두 표의 결합 가능성을 판정하는 양; θ=1이면 단순 합산 결합 가능.
• 최대우도 · 푸아송/이항 우도 — 칸 도수를 푸아송(또는 이항)으로 보고 모수를 추정하는 표준 방법.
• 완전포화 / 축소 모형 — 자료를 정확히 재현하는 모형 vs 자유도를 줄인 절약 모형.
• 표준화 기수 (radix) · 원자료 등가 — l₀로 맞춘 표 vs 실효표본 크기를 살린 도수.
• 보정·평활 (graduation) — 거친 관측 사망률을 매끄러운 곡선으로 다듬는 절차(결합 후 활용).

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

생명표 자료의 결합은 여러 회사·기간·자료원의 경험을 통합해 신뢰도 높은 위험률을 얻는 작업이다. 국내 경험생명표는 업계 전체 계약자 경험을 모아 산출하므로, 본문의 '자료 결합으로 표본을 키워 추정 안정성을 높인다'는 원리가 그대로 적용된다.

회사별 인수기준·상품믹스 차이를 보정해 결합해야 편향을 피할 수 있다는 본문의 지적도 중요하다. 국내에서도 자사 경험과 업계 경험을 신뢰도 가중으로 결합해 자사 위험률을 설정하며, 표본이 작은 담보일수록 업계 결합자료의 비중이 커진다.