생존분석 (Survival Analysis)

1. 개요 — 생존분석이란 Introduction

생존분석(survival analysis)은 어떤 기점(예: 연구 시작)부터 관심 사건(예: 환자의 사망, 부품의 고장)이 일어날 때까지의 경과시간을 분석하는 모형과 방법을 다루는 현대 통계학의 큰 분야다. 특히 이 생존시간(수명, 대기시간)이 위험인자(risk factor) — 예후인자, 공변량(covariate), 설명변수라고도 한다 — 에 어떻게 영향을 받는지가 핵심 관심사다. 생존분석은 생의학뿐 아니라 공학, 그리고 보험계리학에서도 널리 응용된다.

생존시간 자료의 전형적 특징은 완전히 관측되지 않는 일이 많다는 것이다. 환자가 사망하기 전에 연구가 끝나거나, 연구 시작 전에 이미 부품이 고장 났거나, 관심 원인이 아닌 다른 원인으로 고장 나는 경우 등이다. 생존분석의 방법들은 이런 자료의 불완전성을 체계적으로 반영할 수 있다. 원문은 1표본 문제의 핵심 결과들과 비모수적 방법을 중심으로 개관하며, 다표본 검정이나 모수적 모형(지수·와이블·감마·로그정규 등)의 최대우도 분석은 전문서에 미룬다.

2. 임의 우측중도절단 Random right censoring

관심 수명을 Y라 하자. 사망이 그보다 먼저 일어난 사건(탈락, 추적 상실 등)에 가려지면, 우리는 "수명이 어떤 값을 넘는다"는 사실만 알게 된다. 이를 중도절단시간(censoring time) C를 도입해 기술한다. 실제 관측되는 것은

이다. 여기서 I(A)는 사건 A의 지시함수다. 즉 δ = 1이면 수명이 그대로 관측된 것(비절단), δ = 0이면 절단된 것이다. Y와 C의 분포함수를 각각 F, G라 할 때, 임의 우측중도절단 모형은 Y와 C가 독립이라고 가정한다. 그러면 T의 분포 H는

를 만족하고, δ는 P(δ=1)=∫(1−G(s−))dF(s)인 베르누이 확률변수가 된다.

3. 카플란–마이어 추정량 The Kaplan–Meier estimator

카플란과 마이어(1958)는 우측중도절단 아래에서 F의 추정량을 비모수 최대우도로 유도했다(지금은 다른 유도법도 여럿 있다). 특유의 곱 구조 때문에 곱극한(product-limit) 추정량이라고도 부른다. (T₁,δ₁),…,(Tₙ,δₙ)이 i.i.d. 표본일 때, F(t)의 카플란–마이어 추정량 Fₙ(t)는

로 정의된다. 모든 Tᵢ가 서로 다르면 mᵢ=1, Mᵢ=n−rank(Tᵢ)+1이 되어 순서통계량 T₍₁₎≤…≤T₍ₙ₎으로

처럼 쓸 수 있다. 절단이 전혀 없으면(모든 δᵢ=1) Fₙ은 통상의 경험분포함수로 환원된다. 마지막 관측 T₍ₙ₎이 절단이면 Fₙ(t)는 1에 못 미친 채 t≥T₍ₙ₎에서 상수가 되며, 그 구간에서의 재정의 방법이 여럿 제안되어 있다. 또한 Fₙ은 편의(bias)가 있으나 −F(t)(1−H(t))ⁿ ≤ EFₙ(t)−F(t) ≤ 0이 성립하여, H(t)<1이면 편의는 지수적으로 빠르게 0으로 수렴한다.

예제 1 카플란–마이어 추정 직접 해보기

5명의 관측: 2(사망), 3(절단), 5(사망), 7(사망), 8(절단). t=7에서의 생존확률 추정값 1−F₅(7)은?

사망 시점에서만 곱의 인자가 생긴다. t=2: 위험집합 M=5, 인자 4/5. t=5: 남은 위험집합 M=3(2와 3에서 두 명 이탈), 인자 2/3. t=7: M=2, 인자 1/2.

절단된 3과 8은 곱에 인자를 만들지 않지만, 위험집합의 크기를 줄이는 방식으로 추정에 반영된다. 이것이 곱극한 구조의 핵심이다.

4. 카플란–마이어 추정량의 점근적 성질 Asymptotic properties

브레슬로와 크롤리(1974)는 과정 n^1/2(Fₙ(t)−F(t)) (0≤t≤T₀, T₀<T_H)의 약수렴을 처음 다루었다. (분포함수 L에 대해 T_L = inf{t: L(t)=1}은 지지집합의 오른쪽 끝점.) 결과는 n→∞에서

이며, W는 평균 0, 공분산함수

를 갖는 가우스 과정이다. 이 결과에서 나오는 주요 귀결들:

• 점별 정규근사. 각 t<T_H에서 n^1/2(Fₙ(t)−F(t)) → N(0, σ²(t)), σ²(t)=Σ_tt. 점근분산의 추정에는 그린우드 공식이 쓰인다:
  
  이로써 고정 시점 t에서 F(t)의 대표본 신뢰구간을 만들 수 있다.
• 신뢰띠(confidence band). 약수렴으로부터 sup|n^1/2(Fₙ−F)| → sup|W|가 따라 나오고, P(sup|W(t)|≤c_α)=1−α인 c_α를 잡으면 Fₙ(t)±c_α n^−1/2 형태의 100(1−α)% 신뢰띠를 얻는다.
• 브라운 다리 표현. 극한과정 W는 [0,1] 위의 브라운 다리 B°로 다음과 같이 표현된다:
  
  
  절단이 없으면 K(t)=F(t), W(t)=B°(F(t))로 단순해진다.
• 마팅게일 접근. Y의 누적위험함수를
  
  라 하면, 관측자료로 만든 보정과정이 마팅게일이 되고 카플란–마이어 과정은 그 마팅게일에 대한 확률적분으로 표현된다. 덕분에 강력한 마팅게일 극한정리들을 적용할 수 있다 — 계수과정(counting process) 이론에 기초한 현대적 접근이다.
• 거의확실 점근표현. 카플란–마이어 추정량을 i.i.d. 확률변수들의 평균 + O(n⁻¹log n) 차수의 나머지항으로 나타내는 표현이 있어 매우 유용하다.

5. 카플란–마이어 추정량의 범함수 Functionals

분포함수 F 자체만이 아니라 F의 잘 알려진 범함수들의 추정도 연구되어 왔다.

(1) 분위수. 0<p<1에 대해 p분위수를 ξ_p=F⁻¹(p)=inf{t: F(t)≥p}라 하면, 자연스러운 추정량은 카플란–마이어 추정량의 p분위수 ξ_pn=Fₙ⁻¹(p)다. 분위수 추정량의 대표본 성질 다수는 바하두르(Bahadur) 표현

에서 유도된다. F의 2계 도함수 조건 아래 나머지항 Rₙ(p)의 거의확실 차수 O(n^−3/4(log n)^3/4)이 얻어졌고, 더 약한 조건에서는 R_n=o_P(n^−1/2)이 증명되었다. 분위수 과정 n^1/2(ξ_pn−ξ_p)의 약수렴 극한은 −W(ξ_p)/f(ξ_p)이며, 밀도 f의 추정을 피하는 신뢰구간 구성법도 제안되어 있다.

(2) 적분형 범함수. 일반 함수 φ에 대한 ∫φ(t)dFₙ(t) 꼴의 적분(예: 평균수명)의 일치성·점근정규성이 연구되어 있다.

(3) 위험률 함수. 위험률(고장률)

의 추정은 커널 추정량으로 이루어지며, 본질적으로 다음 세 형태다: K_h를 카플란–마이어 추정량 Fₙ 또는 넬슨–올렌(Nelson–Aalen) 누적위험 추정량 Λₙ과 결합한 ∫K_h(t−y)dFₙ(y)/(1−Fₙ(t)), ∫K_h(t−y)dFₙ(y)/(1−Fₙ(y)), ∫K_h(t−y)dΛₙ(y). 여기서 K_h(·)=K(·/hₙ)/hₙ, K는 알려진 확률밀도, {hₙ}은 띠너비(bandwidth) 수열이다. 세 추정량은 점근적으로 동등하며, 편의·분산과 점근정규성이 증명되어 있다.

(4) 평균·중위 잔여수명. 고정 시점 t>0에서 잔여수명 분포 F(y|t)=P(Y−t≤y|Y>t)의 평균 µ(t)=E(Y−t|Y>t)와 중위수 Q(t)는 응용 분야에서 중요하다. µ(t)와 위험률의 관계는

λ(t)가 시점 t에서의 즉시 고장 위험을 포착한다면, µ(t)는 연령 t에서의 남은 수명 분포 전체를 요약한다. 우측중도절단 아래에서 µ(t), Q(t)의 추정이 여러 문헌에서 연구되었고, "노년의 시작점" t 자체를 자료에서 추정해 대입하는 연구도 있다.

6. 절단 Truncation

우측절단(right truncation) 자료는 반평면 Y≤T̃ 위에서만 관측되는 쌍 (Y, T̃)이다(T̃는 절단변수). 전형적 예가 AIDS 같은 질병의 잠복기 — HIV 감염부터 AIDS 진단까지의 시간 — 다(진단된 사례만 자료에 들어온다). 이 경우 F의 곱극한 추정량은 린든–벨(Lynden–Bell) 추정량이며 점근론과 거의확실 표현이 연구되어 있다.

자주 나타나는 또 다른 불완전성은 좌측절단과 우측중도절단의 결합(LTRC 모형)이다. 관심변수 Y, 임의 우측절단변수 C, 임의 좌측절단변수 T̃가 있고 Y와 (C,T̃)는 독립이라 가정한다. T̃≤T일 때만 (T̃, T, δ)가 관측되고(T=min(Y,C), δ=I(Y≤C)), T̃>T이면 아무것도 관측되지 않는다. 이 경우의 곱극한 추정량은 차이–주얼–왕(Tsai–Jewell–Wang)의 것으로, 좌측절단이 없으면(T̃=0) 카플란–마이어로, 우측중도절단이 없으면(C=+∞) 린든–벨로 환원된다. 좌측절단(±우측중도절단) 아래 위험률의 커널 추정도 연구되어 있다.

7. 중도절단 자료의 회귀모형 Regression models

수명 Yᵢ(또는 절단시간 Cᵢ)와 함께 다른 특성 Zᵢ(공변량: 약물 용량, 혈압 등)가 관측되는 경우가 많다. 회귀모형은 공변량이 수명 분포에 미치는 영향을 다룬다. 문제는 조건부 분포함수

또는 그 범함수 — 평균회귀함수 m(z)=E(Y|Z=z), 회귀분위수 F_z⁻¹(p) — 의 추정이다. 가장 널리 연구된 것은 콕스(Cox)의 비례위험모형(부분우도로 모수 추정)이고, 완전자료 최소제곱법을 절단자료로 확장한 접근, 단조 추정방정식에 기초한 추정량, 비모수 회귀기법을 이용한 최소제곱 추정량 등 대안들도 많다. 자료 변환 후 국소선형회귀를 적용하는 방법, 조건부 분포함수의 커널 추정 등 완전 비모수적 방법도 활발히 연구되었다.

7.1 콕스의 비례위험 회귀모형 Proportional hazards

콕스(1972)의 모형은 수명 Y와 공변량 Z의 관계를 위험률 함수로 모형화한다(공변량은 편의상 1차원으로 두지만 일반화 가능):

여기서 λ₀(t)는 형태를 특정하지 않은 기준 위험률(z=0인 개체의 위험률), β는 미지의 회귀모수다. 관측자료 (Z₁,T₁,δ₁),…,(Zₙ,Tₙ,δₙ)에 대해 β의 최대부분우도 추정량은 부분우도함수

를 최대화하는 값이다. Lₙ(β)는 미분가능하므로 Uₙ(β)=(∂/∂β)log Lₙ(β)=0의 해로 구한다. 차티스(Tsiatis, 1981)는 (1) (Zᵢ,Yᵢ,Cᵢ) i.i.d.이고 Z가 주어졌을 때 Y와 C가 조건부 독립, (2) E((Ze^{βZ})²)의 국소 유계성, (3) P(T≥T₀)>0 (어떤 T₀<∞) 등의 조건 아래 강일치성과 점근정규성을 증명했다:

점근분산 1/I(β)는 정보함수 Iₙ(β)=−(∂/∂β)Uₙ(β)를 써서 n/Iₙ(β̂ₙ)으로 일치추정할 수 있다. 콕스 모형은 여러 방향으로 확장되었다 — 시간가변 공변량 Zᵢ(t)를 허용하는 부분우도, 모형 오설정의 영향, 비례위험 가정의 적합성 검정, 로버스트 추론, 분위수 추정 등. 비례위험의 대안(가속수명모형, 가법위험모형)과 다변량 생존자료로의 확장에 관한 문헌도 방대하다.

예제 2 위험비(hazard ratio)의 해석

흡연 여부 Z(흡연=1, 비흡연=0)에 대해 콕스 모형을 적합했더니 β̂ = 0.693이었다. 해석은?

흡연자의 위험률이 비흡연자의 2배임을 뜻하며, 이 비율이 모든 시점 t에서 일정하다는 것이 비례위험 가정이다. 기준 위험률 λ₀(t)의 모양은 전혀 특정하지 않으므로 콕스 모형은 반(半)모수적 모형이다. 보험 언더라이팅에서 위험등급별 할증을 정하는 사고방식과 정확히 같다.

7.2 베란의 비모수 회귀 Nonparametric regression

회귀함수에 아무 조건도 두지 않는 완전 비모수 분석도 가능하다. 베란(Beran, 1981)은 카플란–마이어 추정량을 회귀 맥락으로 확장하여, Z가 주어졌을 때 Y와 C가 조건부 독립이라는 가정(식별가능성 보장) 아래 F_z(t)의 추정량

을 제안했다. {w_ni(z)}는 공변량 Z₁,…,Zₙ에 의존하는 확률가중치(커널형, 최근접이웃형 등)다. 균등일치성(베란), 약수렴과 분위수 함수, 계수과정 접근, 고정설계에서의 거의확실 표현, 붓스트랩 등이 연구되었고, 좌측절단+우측중도절단 자료로의 확장도 있다.

8. 프레일티 모형 Frailty models

프레일티(frailty) 모형은 콕스 비례위험모형에 임의효과(random effect)를 넣은 확장으로, 수명들의 관측되지 않는 이질성을 다루기 위한 것이다. 프레일티는 기준 위험률에 곱해지는 관측 불가능한 임의 인자 V다:

V가 큰 개체는 위험률이 높아 "허약(frail)"하다고 부른다. 단순한 공식을 주는 대표적 예가 감마 프레일티 모형으로, V를 평균 1, 분산 θ인 감마(θ⁻¹, θ⁻¹) 분포로 둔다. 그러면 λ₀(t)는 "평균적" 개체의 위험률이 되고, θ는 이질성 모수 — θ→0이면 프레일티가 1에 퇴화하여 콕스 모형으로 돌아간다 — 가 된다. V의 분포로는 로그정규, 역가우스, 양의 안정분포(positive stable)도 제안되어 있다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 중도절단 (censoring) — 수명이 부분적으로만 관측되는 것. 우측절단은 "t보다 크다"만 아는 경우.
• 위험집합 (risk set) — 시점 t 직전까지 살아서 관찰 중인 개체들의 집합. 카플란–마이어의 Mᵢ.
• 곱극한 추정량 (product-limit estimator) — 사망 시점마다의 조건부 생존확률을 곱해 생존함수를 추정. 카플란–마이어 추정량의 별칭.
• 누적위험함수 Λ(t) — 위험률의 누적 ∫λ. 넬슨–올렌 추정량이 그 비모수 추정량.
• 약수렴 (weak convergence) — 확률과정 전체가 극한과정(여기서는 가우스 과정)으로 분포수렴하는 것.
• 브라운 다리 (Brownian bridge) — 양 끝이 0에 고정된 가우스 과정. 경험과정 이론의 표준 극한.
• 부분우도 (partial likelihood) — 기준 위험률 λ₀를 소거하고 β만 남긴 우도. 콕스(1975)의 고안.
• 바하두르 표현 (Bahadur representation) — 분위수 추정량을 분포함수 추정량의 선형항 + 나머지로 전개한 것.
• 커널 추정 (kernel estimation) — 매끄러운 가중함수 K와 띠너비 h로 국소 평균을 내는 비모수 평활법.
• 프레일티 (frailty) — 위험률에 곱해지는 관측 불가능한 개체별 임의효과. 숨은 이질성의 모형화.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

본문의 생존분석 이론이 한국 보험산업에서 가장 직접적으로 구현된 곳은 경험생명표 산출이다. 보험개발원은 생명보험사들의 계약·사고 경험 데이터를 모아 참조위험률을 산출하는데, 이때 해약·만기·관찰기간 종료로 사망을 끝까지 관측하지 못한 계약을 우측중도절단으로 처리하는 것이 핵심이다 — 본문 2장의 문제설정 그대로다. 절단된 계약을 단순히 제외하면 사망률이 편향되므로, 노출(exposure) 기반의 조사망률 산출과 평활(graduation)을 거쳐 생명표를 만든다. 2024년 4월부터 제10회 경험생명표가 적용되고 있으며, 회차가 거듭될수록 사망률 개선이 빠르게 반영되어 보장성·연금 상품의 가격에 양방향 영향을 준다.

카플란–마이어 추정량과 콕스 비례위험모형은 위험률의 세분화 국면에서 표준 도구가 되었다. 간편심사(유병자) 보험의 위험률 차등화, 진단 이후 생존율에 기반한 중대질병·간병 담보의 급부 설계, 건강검진·청구 데이터를 활용한 위험 세분화 등에 생존분석 기법이 쓰인다. 보험 밖으로는 은행·카드사의 신용리스크(부도 시점 모형), 의료·제약의 임상 분석 등에서 동일한 방법론이 사용되어, 본문이 보여 준 "보험수리와 생물통계의 공통 뿌리"가 한국에서도 산업 간 공용 언어가 되어 있다.

IFRS17·K-ICS 체계(2023)는 생존분석의 수요를 한층 키웠다. 최선추정부채(BEL)의 위험률·해지율 가정은 과거 경험의 생존모형 추정에서 출발하고, 가정의 적정성은 계리법인 외부검증을 받는다. 특히 해지율은 "계약의 생존시간" 문제로서 생존분석의 자연스러운 적용 대상인데, 무·저해지환급형 상품의 낙관적 해지 가정이 문제 되면서 감독당국이 해지율 산출 원칙(2024)을 제시한 이후, 경과기간·납입경과별 해지율 곡선의 추정과 검증이 계리 실무의 최전선이 되었다. 프레일티(이질성) 모형의 문제의식 — 같은 등급 안에도 위험이 섞여 있다 — 은 우량체 할인과 머신러닝 기반 언더라이팅 고도화 논의로 이어지고 있다.