소득보상보험의 수치해법 (Disability Insurance, Numerical Methods)
1. 개요 — 두 갈래의 계산법 Overview
이 표제어는 앞의 소득보상보험(Disability Insurance)에서 세운 마르코프 다중상태 모형을 실제로 계산하는 수치적 방법을 다룬다. 간결함을 위해 일시납 보험료(single premium)로 이어지는 보험계리적 가치(actuarial value)에 집중한다. 크게 두 가지 접근이 있다.
- 발생–연금 모형 (inception-annuity model) — “장해가 발생(inception)할 확률 × 발생 시점부터의 장해연금 가치”를 합산한다. 발생률과, 발생 후 지속(거치기간·회복 등)을 따로 모형화한다.
- 장해상태 확률 모형 (probability of being disabled) — 매 시점 장해 상태에 있을 확률을 직접 써서 연금가치를 합산한다.
2. 발생–연금 모형 Inception-annuity Models
발생–연금 모형의 일시납 보험료(연 단위 지급, 만기 n)는 개념적으로 다음 형태를 띤다. 각 시점 h에서 활성으로 생존하다가 장해가 발생(발생률 wx+h)하면, 그때부터 장해연금의 가치 äi를 받는다.
여기서 v는 할인계수, hpx는 x세가 h년 생존할 확률, wx+h는 (x+h)세에서 다음 1년 사이 장해가 될 확률, äi는 장해 발생 후 지급되는 연금의 가치(발생시점 선택, inception-select)다. 미국·독일·유럽 실무에서는 정책조건(거치기간, 사망·회복 처리)에 따라 이 식을 여러 형태로 단순화·근사한다.
원문은 미국·독일·유럽에서 쓰는 구체적 단일보험료 공식(거치기간 s개월, 균등분포 가정, ‘1−½qaa’ 보정항 등)을 식 (5)·(8) 등으로 제시한다. 이들은 거치기간 중 사망 처리, 발생시점 선택성(square-bracket 표기), 보통 생명표(p) 사용 여부 등에서 차이가 난다. 식이 길고 표기가 복잡하므로, 입문 단계에서는 “발생률 × 발생 후 연금가치를 시점마다 합산한다”는 구조만 이해하면 충분하다.
3. 장해상태 확률 모형 Probability of Being Disabled
이산시간 맥락에서, 단위 연액의 장해연금(계약 만기 n까지 매 계약기념일 지급)의 보험계리적 가치는 각 시점에 장해 상태에 있을 확률로 직접 합산하여 다음과 같이 주어진다.
여기서 hpaix는 “현재 활성(active)인 x세 피보험자가 (x+h)세에 장해(disabled) 상태일 확률”이다. 연속시간으로 가면 합은 적분으로 바뀐다. 발생–연금 모형이 ‘발생률과 발생 후 연금’을 분리하는 데 비해, 이 접근은 장해상태 확률 하나로 곧바로 가치를 구한다.
만기 n=3, 연이율 i=5%(v=1/1.05≈0.9524). 활성인 x세가 1·2·3년 뒤 장해 상태일 확률이 각각 0.020, 0.030, 0.035라 하자. 단위 장해연금의 보험계리적 가치는?
a = v·0.020 + v²·0.030 + v³·0.035
= 0.9524×0.020 + 0.9070×0.030 + 0.8638×0.035
= 0.01905 + 0.02721 + 0.03023 ≈ 0.0765 (단위 연액당). 여기에 보장 급부액을 곱하면 일시납 순보험료가 된다.
두 접근은 같은 다중상태 모형을 다르게 계산할 뿐이다. 발생–연금은 발생률·지속(회복·거치) 자료가 따로 있을 때 자연스럽고, 장해상태 확률은 “지금 장해일 확률” 자료가 있으면 간단하다. 실무에서는 자료 형태·정책조건·근사 편의에 따라 골라 쓴다.
참고 및 관련 표제어
부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)
- 일시납 보험료 (single premium) — 계약 시 한 번에 내는 순보험료(=미래 급부의 기대현가).
- 보험계리적 가치 (actuarial value) — 생존·장해 확률과 이자할인을 함께 반영한 미래 현금흐름의 기대현가.
- 발생률 (inception rate) wx — 활성 상태에서 그 기간에 장해가 새로 발생할 확률.
- 발생시점 선택성 (inception-select) — 장해 발생 직후일수록 회복·사망 패턴이 달라, 발생 후 경과기간에 따라 확률을 달리 보는 것.
- 거치(면책)기간 (deferred period) — 장해 발생 후 급부 지급이 시작되기까지의 기간.
- hpx / hpaix — h년 생존확률 / 활성인 x세가 h년 뒤 장해 상태일 확률.
- äi (장해연금 가치) — 장해 상태에서 지급되는 기시급 연금의 보험계리적 가치.
- 할인계수 v — 미래 1원의 현재가치, v = 1/(1+i).
한국보험시장 현황 Korea Market Practice
본문이 소개한 다상태모형의 수치해법(이행강도 추정 → 콜모고로프 방정식의 이산화 → 수치적분)은 한국에서 소득보상보험 자체보다 다른 상품군에서 더 활발히 쓰이고 있다. 대표적인 적용처가 장기간병(LTC)·치매보험이다. 건강 → 경증 → 중증(요양등급) → 사망으로 이어지는 상태 전이를 마르코프 연쇄로 모형화하고, 국민건강보험공단·노인장기요양보험의 공공 코호트 데이터에서 연령별 이행률을 추정한 뒤, 월 단위 이산 전이행렬로 급부 현가를 계산하는 방식이 실무 표준이다.
계산 체계도 본문의 수치해법 정신과 같다. 연속시간 이행강도를 직접 적분하는 대신, 국내 계리 시스템(Prophet, AXIS 등 현금흐름 모델링 플랫폼)은 월 스텝의 이산 전이확률로 변환해 다중탈퇴잔존표를 만들고, 그 위에서 보험료·준비금을 산출한다. IFRS17이 요구하는 미래현금흐름 추정 역시 월별 프로젝션이 기본 단위이므로, "연속 모형의 이산화"라는 본문 주제는 한국의 모든 장기보험 평가 실무에 내장되어 있다고 해도 과언이 아니다.
국내 실무에서 다상태모형은 다중탈퇴(사망·해지·장해·만기) 구조로 단순화해 쓰는 경우가 많다. 이때 탈퇴 원인 간 독립성 가정, 연 단위 탈퇴율의 월 분해(균등분포 vs 상수강도) 같은 본문의 수치 이슈가 그대로 등장한다. 특히 2024년 무·저해지 상품 해지율 가정 가이드라인 이후, 해지라는 '상태 전이'의 추정과 검증이 감독 이슈로 격상되었다 — 전이확률 하나가 보험료 경쟁력과 IFRS17 부채, K-ICS 해지리스크를 동시에 움직이기 때문이다. 유병자 인수 모형(건강상태별 사망·발생 상대위험도)도 상태 기반 접근의 응용 사례다.
요컨대 한국 시장에서 이 표제어의 가치는 "소득보상보험 계산법"이라기보다 상태 전이 모형의 범용 수치 기술에 있다. 간병·치매·유병자·해지 — 한국 보험산업의 최근 화두가 모두 이 틀 위에서 계산되고 있다.