오일러–매클로린 전개와 울하우스 공식

1. 문제 설정: 연 1회 값에서 더 자주·연속 값을 얻기 The Problem

생명연금의 기대현재가치(EPV) 같은 보험계리 함수는, 그 현금흐름이 연 1회 지급된다고 가정하여 정수 연령과 정수 기간에 대해 표로 작성되는 것이 보통이다. 따라서 보험계리표는 흔히 정수 연령 x에 대해 다음과 같은 연 1회 선급 유기연금의 값을 제시한다.

이것은 지금 x세인 사람에게 연 1원을, n년 동안 또는 그 전에 사망할 때까지 매년 초에 선급으로 지급하는 연금의 EPV이다. 그러나 표는 보통 다음과 같은 연 m회 선급 연금의 값까지 제시하지는 않는다.

이는 같은 연금을 연 m회로 나누어 매기 초에 선급하는 경우의 EPV이다. 또한 연속 지급 연금의 EPV도 보통 표로 주어지지 않는다.

연금과 생명보험료는 흔히 연 1회보다 더 자주(매월이 흔함) 지급되므로 ä^(m)_x:n̄| 같은 값이 실무에서 자주 등장한다. 연속 지급 연금은 매우 자주(예: 매일·매주) 지급되는 연금의 근사로 가장 많이 쓰인다.

2. 사다리꼴 규칙과 그 오차 The Trapezium Rule

오일러–매클로린 공식은 적분을 사다리꼴 규칙(trapezium rule)으로, 즉 피적분함수를 구간마다 직선으로 잇는 조각별 선형근사의 적분으로 근사할 때 생기는 오차를 보정하는 급수 전개이다. 문제는 다음 적분을 구하는 것이라 하자.

적분 구간을 길이 h = (b−a)/N인 N개의 같은 폭으로 나누면, 사다리꼴 근사는 다음과 같다.

여기서 합은 양 끝점을 절반 가중치로 더하는 것과 같다(양 끝 항에 −½씩이 붙는 이유).

3. 오일러–매클로린 공식 The Euler–Maclaurin Formula

f(x)가 양의 정수 k에 대해 2k번 미분가능하다고 하자. 오일러–매클로린 공식은 (2k−1)차 도함수까지의 보정항을 다음과 같이 제공한다.

여기서 B_i는 i번째 베르누이 수(Bernoulli number)이고, 마지막 (오차) 항에서 ξ는 (a, b) 안의 어떤 값이다. 이 전개의 처음 몇 항을 명시적으로 쓰면 다음과 같다(B₂=1/6, B₄=−1/30).

4. 보험계리 함수에 적용 Application to Annuities

이제 f(t) = v^t·_tp_x 로 두고 h = 1을 택하면, 위 전개의 좌변은 바로 연속연금 ā_x:n̄|가 된다. 우변에서 1차 이상 도함수 항을 무시하면 자주 쓰이는 다음 근사를 얻는다.

이는 "연속연금 ≈ 연 1회 선급연금에서 약 ½년치를 뺀 값"이라는 직관과 일치한다. 1차 도함수 항까지 포함하면 보정 사다리꼴 규칙이 되며, 이때 필요한 도함수는 다음과 같다.

즉 v^t·_tp_x를 t로 미분하면, 이자력 δ와 사력 μ_x+t의 합이 음의 부호로 곱해져 나온다.

5. 울하우스 공식 Woolhouse's Formula

울하우스 공식은 오일러–매클로린 전개에서 h = 1인 경우와 h = 1/m인 경우를 각각 적용한 뒤, 두 표현의 우변을 같다고 놓아(두 적분이 같으므로) 얻는다. 이로부터 다음 합산 항등식이 나온다.

이제 f(t) = v^t·_tp_x 로 두면, 좌변은 ä^(m)_x:n̄| + (1/m)vⁿ·_np_x 가 되고, 우변의 합은 ä_x:n̄| + vⁿ·_np_x 가 된다. 1차 이상 고차 도함수 항을 버리고 정리하면, 그리고 식 (9)의 도함수를 대입하면 다음 울하우스 공식을 얻는다.

예제 월납(연 12회) 종신연금 근사

종신연금(만기 없음)에 대해 연 12회 선급연금 ä⁽¹²⁾_x를 울하우스 공식으로 근사하라.

종신이므로 n→∞에서 vⁿ·_np_x→0이 되어 만기항이 사라진다. m=12를 대입하면 (m−1)/(2m) = 11/24, (m²−1)/(12m²) = 143/1728 이다(아래 식의 마지막 계수는 종신·표준 표기에서 흔히 쓰는 형태로 정리한 것).

즉 연 1회 선급 종신연금값에서 11/24를 빼고, 이자력과 사력에 비례하는 작은 보정을 더 빼면 월납 연금의 EPV가 얻어진다. 마지막 도함수 보정을 무시하면 익숙한 ä⁽¹²⁾_x ≈ ä_x − 11/24 가 된다.

6. 일반화와 상호 관계 Generalizations

이로부터 다른 연금들 — 후급 연금, 종신연금 등 — 의 EPV에 대한 근사도 같은 방식으로 유도할 수 있다. 또한 거의 자명하게, 울하우스 공식에서 m→∞로 보내면 오일러–매클로린 전개(의 해당 경우)를 다시 얻을 수 있다. 두 결과는 본질적으로 같은 적분 근사 이론의 두 얼굴인 셈이다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 기대현재가치 (EPV) — 미래의 조건부 지급들을 생존확률과 할인으로 가중해 현재가치로 환산한 기댓값.
• ä_x:n̄| (연 1회 선급 유기연금) — n년간 또는 사망 전까지 매년 초 1원을 지급하는 연금의 EPV.
• ä^(m)_x:n̄| (연 m회 선급연금) — 같은 연금을 연 m회로 쪼개 매기 초 1/m원씩 지급할 때의 EPV.
• ā_x:n̄| (연속연금) — 생존하는 동안 연속적으로 연율 1원을 지급하는 연금의 EPV.
• 사다리꼴 규칙 (trapezium rule) — 함수를 양 끝값으로 잇는 직선으로 근사해 적분을 추정하는 방법.
• 오일러–매클로린 공식 (Euler–Maclaurin formula) — 합과 적분의 차이를 베르누이 수와 끝점 도함수로 보정하는 급수 전개.
• 베르누이 수 (Bernoulli number) B_2j — 오일러–매클로린 보정항의 계수. B₂=1/6, B₄=−1/30 등.
• 울하우스 공식 (Woolhouse's formula) — 연 1회 연금값에서 연 m회 연금값을 근사하는 공식.
• 이자력 δ — 연속복리의 순간이자율. δ = ln(1+i), v^t = e^−δt.
• 사력 μ_x+t — 연령 x+t에서의 순간사망률(force of mortality).

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

오일러–매클로린 전개와 울하우스 공식은 연속적분과 이산합 사이를 보정하는 기법으로, 국내 연금수리에서 연 단위 생명표로 월납·월지급 연금(m분의 1 연금)을 근사할 때 쓰인다. 본문의 ä^(m)_x ≈ ä_x − (m−1)/2m 같은 울하우스 보정이 대표적이다.

국내 연금·보험은 대부분 월납·월지급이므로, 연 단위 계산기수·생명표를 월 단위 가치로 환산하는 보정이 실무에서 필요하다. 현금흐름을 월 단위로 직접 모형화하는 IFRS17 환경에서도, 근사식은 검증·간이계산의 도구로 유용하다.