표제어 · 생명보험·생존분석

탈퇴분석 (감소분석)

Decrement Analysis · 원저자: John Pollard · 출처: Encyclopedia of Actuarial Science (Wiley, 2004)

읽는 법. 본문은 원문 표제어의 내용을 그대로 옮긴 것입니다. 회색 해설 · 예제 상자는 학부 입문 학습을 돕기 위해 새로 추가한 부분이며 원문에는 없습니다. 모르는 용어는 글 끝 부록을 참고하세요.

1. 개요: 탈퇴표란 무엇인가 Decrement Tables

생명표(life table)는 탈퇴표(decrement table)의 한 예다. 생명표는 탈퇴 양식(mode of decrement)이 오직 하나 — 사망 — 뿐인 단일탈퇴표이다. 탈퇴분석(감소분석)은 이처럼 어떤 집단이 시간이 지남에 따라 하나 또는 여러 가지 원인으로 줄어드는 과정을 확률적·통계적으로 모형화하고 그 비율을 추정하는 분야다.

해설 “탈퇴”는 집단에서 빠져나가는 모든 사건

생명표에서는 사람이 집단에서 빠져나가는 이유가 오직 사망뿐이지만, 현실의 계리 문제에서는 사람이 여러 경로로 빠져나간다. 예를 들어 연금 가입자는 사망·퇴직·질병퇴직·정년퇴직 등으로 집단에서 빠져나간다. 이러한 “집단 감소 사건”을 통틀어 탈퇴(decrement)라 한다.

2. 단일탈퇴 모형: 생존함수와 탈퇴력 Single-decrement Model

확률적 맥락에서 연령 0세인 사람의 사망까지의 시간(사망 시점)을 확률변수 X라 하면, 연령 x까지의 생존은 생존함수 S(x)=P(X>x)=1-F(x)로 쓰고, 생명표에서는 _xp₀=l_x/l₀로 표현한다. 이때 사망력(위험률, hazard) μ_x는 생존자 중에서 아주 짧은 순간에 탈퇴가 일어나는 순간적 비율로, 다음과 같이 정의된다.

여기서 생존확률과 탈퇴확률은 사망력의 적분으로 표현된다. 연령 x에서 x+t까지 생존할 확률 _tp_x와 그 사이에 탈퇴할 확률 _tq_x는 서로 여집이다.

연령 x에서 x+1까지의 1년 구간을 볼 때, p_x=₁p_x는 1년 생존확률, q_x=1-p_x는 1년 탈퇴(사망)확률이다. 사망확률 q_x가 미지일 때, N명의 독립적인 생명에서 관찰되는 사망자 수는 이항(N, q_x) 분포를 따르므로, 최대우도추정치는 D/N(D는 관찰된 사망자 수)로 주어진다. 이것이 사망의 이항모형(binomial model)이다.

해설 μ_x, p_x, q_x의 관계를 한눈에

μ_x는 “찰나갈폭 사망의 세기”, p_x·q_x는 “1년이라는 유한 구간에서의 생존·탈퇴 비율”이다. 세기를 시간에 대해 쌓아서(적분) 지수함수로 바꾸면 생존확률이 되고, 1에서 빼면 탈퇴확률이 된다. 수식적으로 _tp_x=exp(-∫μ) 이고 이것이 모든 관계의 출발점이다.

3. 노출과 전통적 q_x 추정 Exposure & the Traditional Estimate

실제 사망 조사에서 대상자 중 일부는 연령 x와 x+1 사이에서 1년보다 짧게 관찰된다. x에서 a만큼 지난 시점(x+a)부터 b만큼 지난 시점(x+b)까지 관찰된 생명(0≤a<b≤1)을 생각하자. 이 사람이 관찰 중 사망할 확률은 _b-aq_x+a이고, 사망 여부 지시변수 d를 쓰면 각 생명의 우도는 (_b-aq_x+a)^d(1-_b-aq_x+a)^1-d의 곱이 된다. 중도에 관찰이 끊긴 생명은 중도절단(censoring)된 것이다.

최대우도추정치를 얻으려면 1년 구간 내 사망 패턴에 관한 가정이 필요하다. 자주 쓰이는 가정은 ① 사망의 균등분포(UDD): _tq_x=t·q_x, ② 발두치(Balducci) 가정: _1-tq_x+t=(1-t)q_x, ③ 일정사망력(constant force) 가정: _tq_x=1-e^-μt 이다. UDD는 연령 내 사망력이 증가함을, 발두치는 그 반대를 함축한다.

일정사망력 가정에서 _b-aq_x+a≈1-(1-q_x)^b-a≈(b-a)q_x 이므로, 기대 사망자 수는 생존자의 (b-a)q_x와 사망자의 (1-a)q_x의 합으로 쓰이고, 이는 각 생명에 대해 {(1-a)-(1-b)}q_x 형태로 재배열된다. 이 괄호 안의 양을 모든 생명에 대해 더한 것을 초기노출(initial exposed to risk) E_x라 하며, 이때 사망자는 x+1까지 완전 노출(전체 1)을 부여받는다. 적률법·초기노출을 사용한 전통적 계리 추정치는 관찰된 사망자 수 θ_x를 E_x로 나눈 값이다.

예제 초기노출과 중앙노출 계산

어느 사람이 연령 x에서 0.3년이 지난 시점(a=0.3)에 조사에 들어와, x에서 0.8년이 지난 시점(b=0.8)에 사망 이외의 이유로 탈퇴했다. 이 사람의 초기노출과 중앙노출은?

중앙노출(실제 관찰 시간)은 b-a=0.8-0.3=0.5년이다. 초기노출은 (1-a)-(1-b)=(1-0.3)-(1-0.8)=0.7-0.2=0.5년이다(사망이 아닌 탈퇴이므로 둘은 같다). 만약 이 사람이 b=0.8에서 사망했다면, 초기노출은 (1-0.3)=0.7년으로 x+1까지 완전 노출을 받는다.

4. 중앙탈퇴률 m_x과 포아송 모형 Central Rate & Poisson Model

사망률 q_x가 작은 구간에서는 사망자 수를 포아송 분포로 잘 근사할 수 있다. 사망력(위험률)이 해당 연령 구간에서 일정하다고 가정하고, 생명들이 관찰된 총 시간을 중앙노출(central exposed to risk) E_x^c로 셈하면(사망자는 사망 시점까지만 노출), 사망력의 최대우도추정치는 다음과 같다.

사망력은 일반적으로 연령 내에서 일정하지 않으므로, 이 추정치는 중간점 x+1/2에서의 사망력 추정치로 해석된다. 생명표의 중앙사망률 m_x는 0<r<1 범위의 μ_x+r의 가중평균이므로, 이 추정치는 흔히 m_x의 추정치로도 해석된다.

사망이 평균적으로 x+1/2에서 일어난다는 가정 하에서 초기노출과 중앙노출은 다음 관계를 갖는다.

포아송 추정량은 인구가 센서스(census)로 주어질 때 특히 유용하다. 시점 t에서 연령 x last birthday의 인구를 P_x(t)라 하면, 예를 들어 3년간(t=0에서 t=3)의 중앙노출은 P_x(t)의 적분이며 센서스 수치로 근사한다. 이 센서스 방법은 간편함 때문에 호주·영국 등 많은 나라의 국민생명표 작성의 기초가 된다.

해설 이항모형 vs 포아송모형

이항모형은 q_x를 직접 추정하며 초기노출을 쓰고(사망자에게 연말까지 노출 부여), 표본분산은 q_x(1-q_x)/E_x≈q_x/E_x이다. 포아송모형은 μ(=m_x)를 추정하며 중앙노출을 쓰고(사망자도 사망 시점까지만), 표준오차는 √θ_x/E_x^c로 고령을 제외하면 이항모형과 수치적으로 매우 가깝다.

5. 다중탈퇴 모형과 종속(조상)탈퇴률 Multiple-decrement Model

생명표는 탈퇴 양식이 하나—사망—뿐이지만, 둘 이상의 탈퇴 양식이 있는 경우가 있다. 두 개 이상의 탈퇴 양식을 다루는 경쟁위험(competing risks)에 관한 최초의 상세 연구는 1874년 영국 계리사 메이컴(Makeham)이 수행했으며, 그는 사망력 개념을 둘 이상의 탈퇴로 확장했다. 다중탈퇴표(multiple-decrement table)는 단일탈퇴 생명표의 자연스러운 확장으로, 연금기금 복무표(service table)와 사인별 사망 분석 등에 널리 쓰인다.

국제적으로 합의된 표기는 없지만, 영국에서 통용되는 표기를 쓴다. 두 탈퇴 양식 α, β를 갖는 이중탈퇴표 ‘a’에서 연령 x의 생존자 수는 (al)_x, 연령 x에서 원인 α에 의한 탈퇴자는 (ad)_x^(α)로 쓴다. 전체 양식에 대한 사망력—탈퇴력—은 생명표에서 μ_x가 l_x에 갖는 관계와 동일하게 (al)_x에 대해 정의된다.

연령 x에서 x+t까지 생존하는 비율(생존확률) _t(ap)_x=(al)_x+t/(al)_x는 생명표과 마찬가지로 전체 탈퇴력의 적분으로 표현된다.

연령 x의 생명이 x+1 이전에 양식 j로 빠져나갈 비율을 종속탈퇴률(dependent rate, 조상탈퇴률 crude rate) (aq)_x^(j)라 하며, 이는 다른 탈퇴가 함께 작용하는 맥락에서 일어난다는 뜻에서 “종속”이라 부른다.

각 양식의 탈퇴자와 탈퇴력은 다음처럼 더해진다(탈퇴력은 항상 더해지지만, 다음 절에서 보듯 종속탈퇴률은 단순히 더해지지 않는다).

해설 기호 읽는 법: (al)_x^(τ), d_x^(j)

상첨자 (τ)는 “전체(total)”을, (j)는 “j번째 탈퇴 양식”을 뜻한다. l_x^(τ)는 모든 원인을 고려한 생존자 수(= (al)_x), d_x^(j)는 양식 j로 빠져나간 사람 수(= (ad)_x^(j))이다. 전체 탈퇴자는 d_x^(τ)=Σ_j d_x^(j), 생존자는 l_x+1^(τ)=l_x^(τ)-d_x^(τ)로 이어진다.

6. 독립(순)탈퇴표와 메이컴 가정 Associated Single-decrement Tables

두 원인(예: 말라리아 β와 그 밖의 모든 원인 α)에 노출된 집단에서, 한 원인을 완전히 제거했을 때 생존에 미치는 효과를 알고 싶을 수 있다. 이를 위해 두 가상 집단—하나는 그 원인만 있는 집단, 다른 하나는 그 원인만 없고 나머지는 모두 있는 집단—을 상정한다. 이를 통해 원인별로 별도의 단일탈퇴 생명표(α 표, β 표)를 구성할 수 있다. 이때 각 표의 탈퇴확률 q_x^(α)=1-p_x^(α), q_x^(β)=1-p_x^(β)를 독립탈퇴률(independent rate, 순탈퇴률 net rate)라 한다. 각각 다른 탈퇴가 없는 상태에서의 탈퇴를 가리키기 때문이다.

전통적 다중탈퇴표 접근의 핵심 가정은 메이컴 가정: 각 원인의 독립사망력이 그 원인의 종속(crude)사망력과 같다, 즉 μ_x+t^(j)=(aμ)_x+t^(j)라는 것이다. 이 가정 하에서 전체 생존확률은 독립 생존확률들의 곱이 된다(비확률적 다중탈퇴 분석의 핵심 식).

7. 종속탈퇴률과 독립탈퇴률의 환산 Dependent–Independent Conversion

연령 x의 생명이 x+1 이전에 양식 α로 빠져나가려면, x에서 x+t까지 생존한 뒤 t와 t+dt 사이에 α로 빠져나가야 한다. 따라서 종속탈퇴률은 앞의 식처럼 적분 형태로 쓰인다. 실용 공식을 얻으려면 1년 구간 내 가정이 필요하다. 대표적으로 탈퇴의 균등분포(UDD)를 각 양식에 가정하면, 두 원인의 예에서 종속탈퇴률과 독립탈퇴률은 다음처럼 연결된다(하나를 다른 양식의 절반만큼 줄인다).

반대로 종속탈퇴률에서 독립탈퇴률을 얻는 것은 더 복잡해서 연립방정식을 풀어야 한다(두 원인이면 2차방정식, 셋 이상이면 반복법). 또 다른 접근은 구간별 일정사망력(piecewise constant force) 가정으로, 각 1년 구간 내에서 μ_x+t^(α)=A·(aμ)_x+t로 두면 p_x^(α)=[(ap)_x]^A이고, 독립탈퇴률을 종속탈퇴률에서 직접 얻는 공식이 되는데 (여기서 A=(aq)_x^(α)/(aq)_x) 다음과 같다.

상탈퇴를 제외한 특정 탈퇴가 특정 연령에 집중되거나(예: 복무표의 고정정년퇴직) 탈퇴률이 높은 경우를 제외하면, 어떤 가정을 쓰든 계산된 값의 차이는 상대적으로 작다.

예제 독립탈퇴률→종속탈퇴률 (UDD)

어느 연령에서 사망의 독립탈퇴률 q_x^(d)=0.02, 퇴직의 독립탈퇴률 q_x^(w)=0.10이다. UDD 가정에서 사망의 종속탈퇴률 (aq)_x^(d)는?

사망이 다른 탈퇴(퇴직)와 함께 경쟁하므로, 사망하려면 그전에 퇴직으로 빠져나가지 않아야 한다. UDD 공식 (aq)_x^(d)=q_x^(d)(1-½ q_x^(w))=0.02×(1-0.05)=0.02×0.95=0.019. 경쟁 때문에 종속탈퇴률(0.019)이 독립탈퇴률(0.02)보다 약간 작다.

8. 복무표·연금표의 탈퇴 구성과 추정 Service Tables & Estimation

다중탈퇴표의 대표적 응용은 연금기금의 복무표다. 조직의 재직 직원 수가 사망, 퇴직(사직), 질병(장해)퇴직, 정년퇴직으로 줄어든다. 이러한 각 탈퇴의 독립탈퇴률을 추정한 뒤, 앞의 환산 공식으로 종속탈퇴률과 표의 (al)_x·(ad)_x^(j) 열을 순차 생성한다.

다중탈퇴률의 추정. 다중탈퇴표 맥락에서 독립 q형 탈퇴률은 앞의 이항·전통적 계리 방법으로 쉽게 추정된다. 관심 양식으로 빠져나가는 생명은 연말까지 완전 노출을 주고, 다른 양식으로 빠져나가는 생명은 빠진 시점까지만 노출을 준다. 종속탈퇴률은 관심 양식의 탈퇴자에게 연말 노출, 그 외 양식은 빠진 시점까지 노출을 주어 직접 추정한다. 포아송 모형에서는 모든 양식에 대해 빠진 시점까지만 노출을 준다.

다중탈퇴표는 사실상 마르쿠프 다상태 모형(Markov multi-state model)의 특수한 경우로 해석될 수 있으며, 이는 질병-사망 분석 등에 적용된다. 데이터를 보정(graduation)할 때는 독립탈퇴률로 작업하는 것이 바람직하다. 한 양식의 종속탈퇴률을 보정하면 다른 양식의 독립탈퇴률에 예상치 못한 영향을 주어 표가 부정확해질 수 있기 때문이다.

9. 경쟁위험과 탈퇴 간 의존성 Competing Risks & Dependence

이중탈퇴 상황의 생명은 두 경쟁위험에 동시에 노출된 것으로 볼 수 있다. 원인 α에 의한 사망 시점을 X, 원인 β에 의한 사망 시점을 Y라 하면, 실제 사망은 둘 중 더 이른 시점 Z=min(X,Y)에서 일어난다. 생명표 생존함수와의 유추로 이변량 생존함수 S(x,y)=P(X>x, Y>y)를 정의하면, 그 주변분포 S_α(x)=S(x,0), S_β(y)=S(0,y)는 각 원인이 단독으로 작용할 때의 사망 시점 분포(순분포, net distributions)로 해석된다.

두 원인이 함께 작용할 때, 관찰 가능한 것은 Z=min(X,Y)뿐이며 이의 생존함수는 S_Z(z)=S(z,z)이다. 이때 전체 생존함수는 두 원인에 따른 두 함수의 곱으로 쓸 수 있는데, 다만 이 G_α, G_β는 각각 다른 원인이 존재하는 상태에서의 조상(crude)사망력으로 정해진다(순사망력이 아니다).

원인 α와 β가 독립일 때는 S(x,y)=S_α(x)S_β(y), S_Z(z)=S_α(z)S_β(z), 그리고 조상사망력이 순사망력과 같아진다(λ_α). 독립 시의 곱 공식은 앞의 비확률적 다중탈퇴 분석의 메이컴 곱 공식과 본질적으로 동일하다.

해설 의존성은 얼마나 중요한가? — 암 제거의 예

“암을 완전히 없애면 기대수명이 얼마나 늘어날까?”는 고전적 질문이다. 암이 심혈관질환과 강하게 상관관계일 때, 암을 제거해도 살아남은 사람이 곧 심혈관질환으로 죽을 수 있어 수명 증가는 작을 수 있다. Pollard의 모의실험에서 서로 의존적인 두 원인을 전통적 다중탈퇴표로 분석하자, 한 원인 제거 시 수명이 실제 6.0년이어야 할 것을 8.3년으로 과대추정했다. 다만 탈퇴가 아주 의존적이 아니라면 전통적 접근의 결과는 대체로 충분하다.

10. 보정과 미래 사망 투영 Graduation & Projection

각 연령에서 따로 추정한 탈퇴률은 연령에 따라 부드럽게 변한다는 사전 정보를 담지 못한다. 이웃 연령의 자료를 활용해 관찰된 비율을 매끈하게 다듬어 더 나은 추정치를 얻는 기술을 보정(graduation)이라 한다. 그래프법, 합산법(가중이동평균), 3차 스플라인, 표준표 참조, 수학식 적합 등이 쓰이며, 표준표에는 사망법칙(mortality laws) 계열의 수학식 적합이 최근 가장 흔하다. 보정된 비율은 카이제곱(chi-square) 검정과 표준화 편차·부호 연속성 등의 통계 검정으로 자료 적합도를 확인해야 한다.

미래 사망 투영. 연금·연금보험 상품 가격 산정과 국가연금 비용 평가를 위해 미래 사망률을 투영한다. 가장 단순한 방법은 사망률 q_x,t=β_xγ_x^t 처럼 최근 경험을 외삽하는 것이며(γ_x는 연간 개선율), 최저사망수준 α_x를 더한 q_x,t=α_x+β_xγ_x^t 형태도 쓰인다. 사인별로 다중탈퇴 방법으로 따로 투영하면 전체 합산 투영이 가릴 수 있는 추세 변화를 드러낼 수 있다. 대표적으로 리-카터(Lee-Carter) 모형은 과거 중앙사망률을 ln(m_x,t)=a_x+b_xk_t+e_x,t 로 모델링해 특이값분해(SVD)로 적합한다.

참고 및 관련 표제어

관련 표제어. Disability Insurance(소득보상보험) · Graduation(보정) · Life Table(생명표) · Mortality Laws(사망법칙) · Survival Analysis(생존분석) · Competing Risks(경쟁위험)

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

탈퇴(감소, decrement) — 집단에서 구성원이 빠져나가는 사건(사망·퇴직·정년 등).
사망력·탈퇴력(force/hazard, μ_x) — 생존자 중에서 순간적으로 탈퇴가 일어나는 순간 비율. 적분하면 생존확률이 됨.
노출(exposed to risk, E_x) — 탈퇴 위험에 노출된 생명·시간의 양. 초기노출(사망자도 연말까지)와 중앙노출(사망 시점까지)으로 나뉜다.
중앙탈퇴률(central rate, m_x) — 1년 구간 사망력의 가중평균. 포아송 추정치 θ_x/E_x^c의 대상.
종속(조상)탈퇴률(dependent/crude rate, (aq)_x^(j)) — 다른 탈퇴가 함께 작용하는 실제 표에서의 양식 j 탈퇴 비율.
독립(순)탈퇴률(independent/net rate, q_x^(j)) — 다른 탈퇴가 없는 가상 세계에서의 양식 j 탈퇴 비율.
다중탈퇴표(multiple-decrement table) — 여러 탈퇴 양식을 갖는 표. 열: l_x^(τ)(전체 생존자), d_x^(j)(양식별 탈퇴자).
메이컴 가정(Makeham assumption) — 각 원인의 독립사망력=종속사망력. 이로부터 전체 생존확률이 독립 생존확률의 곱이 됨.
경쟁위험(competing risks) — 여러 탈퇴가 동시에 대상을 놓고 경쟁하는 상황. 관찰은 Z=min(X,Y)만 가능.
보정(graduation) — 관찰된 탈퇴률을 매끈하게 다듬어 기저 비율을 추정하는 기술.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

탈퇴분석(decrement analysis)은 생존자 집단이 사망·해지·장해 등 여러 원인으로 줄어드는 과정을 다중탈퇴표로 정리한다. 국내 생명·장기보험 계리는 사망률·해지율을 결합한 다중탈퇴표로 보험료·준비금·수익성을 산출하므로, 본문의 다중탈퇴 이론이 실무의 기본 틀이다.

단일탈퇴율(절대율)과 다중탈퇴 환경에서의 율을 변환하는 본문의 기법은, 사망·해지가 동시에 작동하는 국내 상품의 현금흐름 모형에 그대로 적용된다. 해지율 가정(가이드라인)과 경험생명표가 각각 탈퇴원인별 율을 제공한다.

실무 사망·해지의 결합

국내 상품모형은 사망률(경험생명표)과 해지율(가이드라인)을 결합한 다중탈퇴로 현금흐름을 만든다. 탈퇴분석이 그 수학적 토대다.

[한국보험시장 현황]은 한국 보험시장 실무 관점(2026.6 기준)에서 추가 작성한 것임. · 원문: Encyclopedia of Actuarial Science (Wiley, 2004), "Decrement Analysis", John Pollard. · 본 해설서의 [해설]·[예제]·[부록]은 학부 입문 학습용으로 추가·구성한 것임.