프레일티 (취약성)

1. 프레일티 모형이란 What is a Frailty Model

프레일티 모형(frailty model)은 생존자료나 사건발생시간(time-to-event) 자료를 위한 임의효과 모형(random effects model)이다. 예를 들어 부부와 같은 연생보험(joint life insurance)을 평가하는 데 쓸 수 있다. 이 임의효과 모형은 남편과 아내의 수명에 대한 이변량 분포(bivariate distribution)를 유도하기 위한 설정이며, 의존성(dependence)은 공유된 관측 불가능한 위험요인(shared unobserved risk factors)에서 온다고 모형화한다.

보험계리 관점에서 프레일티 모형은 단체생명보험(group life insurance)과 자동차보험에도 흥미롭다. 이 경우 프레일티 모형은 시간에 걸쳐 누적되는 경험에 따라 위험을 갱신하는, 신뢰도이론(credibility theory)과 유사한 공식을 도출할 수 있는 확률모형을 만든다. 프레일티 모형은 정규분포 혼합모형(분산성분 모형, variance components model)에 대응하는 생존자료판 모형이다.

아마 가장 단순한 프레일티 모형은 파레토 모형일 것이다. 개체별 프레일티 Y가 주어졌을 때 사건의 위험(hazard)이 Y 자체(개체별 관측 불가능한 상수)라고 두면 유도된다. Y는 알 수 없으므로 확률변수로 보고 적분해 없앤다(integrate out). Y가 모수 (δ, θ)인 감마분포인 특수한 경우, 무조건부 위험(unconditional hazard)은 파레토 형태 δ/(θ+t)가 된다.

2. 곱셈형 위험과 프레일티의 정의 The Multiplicative Hazard

위 파레토 예에서 무조건부 위험은 시간이 지날수록 감소한다 — 조건부 위험은 상수인데도 그렇다. 이는 고위험자가 먼저 사망함에 따라 모집단 구성이 변하기 때문으로 해석된다. 더 일반적으로, 프레일티 모형은 곱셈형 위험(multiplicative hazard) Yλ(t)로 정의된다(t는 나이).

프레일티(frailty)라는 용어는 Vaupel 등[37]이 단변량 자료에 대해 처음 도입했으며, 수명이 여러 변동 원천에서 생성될 때의 결과를 설명하기 위함이었다. 단변량 경우, 프레일티 모형은 더 유연한 모수적 모형을 만드는 방법으로 해석할 수 있다(파레토 예에서 1-모수 상수위험 모형이 2-모수 모형으로 확장됨). 또한 중요한 공변량을 누락했을 때의 결과를 이해하는 데도 쓸 수 있다.

프레일티 모형은 다변량 자료(multivariate data)에서 훨씬 유용하다. 관측된 시간들 사이의 의존성을 기술하는 데 쓸 수 있기 때문이다. 개념적으로 프레일티 모형은 혼합모형과 유사하여, 어떤 확률변수(생존자료에서는 프레일티)에 조건부로는 관측치들이 독립이고, 무조건부로는(프레일티를 적분해 없애면) 의존적이 된다. 즉 프레일티가 시간들 사이의 의존성을 만들어낸다.

다변량 생존자료는 프레일티 모형이 관련되는 네 가지 유형이 있다: (1) 가족 구성·결혼·동일 유해물질 노출 등으로 연관된 여러 개인의 사건(예: 사망) 시간 — 보험계리에서 가장 관련이 깊으며(단체생명보험의 집단 차이, 부부 대상 생명·연금보험), (2) 한 개인의 좌/우 신장이나 좌/우 눈처럼 물리적으로 연관된 유사 부품의 고장(예: 비행기의 복수 엔진 신뢰성), (3) 심근경색·출산·교통사고처럼 같은 사건이 한 개인에게 여러 번 일어나는 반복사건(recurrent events)(Greenwood–Yule[11]의 음이항분포가 곧 감마 프레일티 모형), (4) 동일 개인에게 같은 사건을 여러 차례 측정하는 반복측정 유형(보험계리에서는 관련성이 낮음).

3. 공유 프레일티와 군집 의존성 Shared Frailty and Dependence

프레일티 모형을 이변량 생존자료의 의존성 모형화에 도입한 것은 Clayton[5]이다. n개의 독립된 군집(group)이 i로 색인되고, 군집 내 구성원 번호를 j=1,…,k라 하자. 군집은 부부를 나타낼 수도 있다. 프레일티 Y_i는 군집에 고유(group-specific)하며, 공통의 관측 불가능한 위험요인이 사건 위험에 미치는 영향을 기술한다. 핵심 가정은 군집의 프레일티 값이 주어졌을 때 수명들 (T_i1,…,T_ik)이 조건부 독립이라는 것이다. 기술적으로 이는 위험을 Y_iλ(t)로 두어 얻어진다.

이는 알려진 공변량 z_ij(개인 (i,j)의 p-벡터)를 포함하도록 일반화할 수 있어, 조건부 위험함수가 다음 형태가 된다.

이 공변량에는 성별·코호트·흡연·환경요인·측정된 유전자 등의 효과가 포함될 수 있다. Y_i에 어떤 분포를 부여하고 적분해 없애면, 군집 구성원들의 수명 사이에 양의 의존성(positive dependence)을 갖는 다변량 생존모형이 만들어진다.

프레일티는 관측 불가능한 양이다. 작은 군집에서는 개체의 프레일티 값에 대해 사망/사건 시각(또는 그 관측치의 중도절단)을 관찰함으로써 제한된 정보만 얻을 수 있다. 예컨대 교통사고 횟수로 운전자의 위험 프로파일을 갱신할 수 있다. 대부분의 문헌은 군집 내 모든 구성원이 같은 (상수) 프레일티 값 Y_i를 갖는 공유 프레일티(shared/common frailty) 유형을 다루지만, 이것이 모든 관계의 복잡성을 온전히 담지는 못하며, 더 일반적 의존구조로 확장하는 여러 방법이 있다.

4. 분포 가정: 감마 프레일티 Distributional Assumptions

프레일티 항의 분포로는 여러 선택지가 가능하다. 대부분의 응용은 감마분포(gamma distribution)를 쓰는데, 이는 푸아송분포의 켤레사전분포(conjugate prior)이기 때문이다.

대부분 모형에서 척도모수는 기저위험 λ(t)와 “별칭(aliased)” 관계라 식별 불가능하므로, 추정 시 δ = θ로 두어 Y의 평균을 1, 분산을 1/θ로 만든다. 다만 감마 프레일티에서는 설명변수 z를 쓴 조건부 비례위험모형이 주변(marginal)으로는 더 이상 비례위험 형태가 아니게 된다. 대신 단일 개인 j의 주변 위험은 다음 형태가 된다.

분모는 적자생존(survival of the fittest) 효과를 반영한다 — 차등 생존으로 인해 프레일티가 가장 높은 개체들이 시간에 따라 제거된다. 그 결과 개별 위험함수가 시간에 따라 증가하더라도 모집단 위험함수는 감소할 수 있다. 한편 위 파레토 형태는 상수 조건부 위험 μ(t|Y)=Y로부터 나온 모집단 위험이다.

다른 선택지로 양의 안정분포(positive stable distribution)가 있다(지수 α∈(0,1], α=1은 독립, α→0은 최대 의존). λ(t)가 형상모수 γ의 와이블분포에 대응하면, 무조건부 수명분포도 와이블이지만 형상이 αγ가 된다 — 분산성분 모형에 가장 가까운 결과다. 감마분포와 양의 안정분포는 3-모수 족으로 통합되며, 역가우스분포(inverse Gaussian)도 이 족에 포함된다(평균의 거듭제곱이 분산이 되는 자연지수족). 곰페르츠 분포들의 혼합을 다룰 때 특히 유용하다. 또한 로그정규분포를 프레일티로 제안하기도 하는데, 이는 REML류 절차를 가능케 하고 더 복잡한 구조의 모형을 만들기 쉽게 한다.

5. 라플라스 변환과 모집단 생존함수 Laplace Transform & Population Survival

임의의 양수 분포를 프레일티로 쓸 수 있지만, 확률적 결과가 늘 단순하지는 않다. 일반적 분포는 라플라스 변환(Laplace transform) L(s)=E[exp(−sY)]의 도함수로 간결하게 표현된다.

핵심 결과는, 프레일티가 적분되어 사라진 모집단(주변) 생존함수가 누적기저위험 Λ(t)=∫₀ᵗ λ(u)du에서 평가한 라플라스 변환과 같다는 것이다. 조건부 생존함수 exp(−YΛ(t))를 Y에 대해 평균 내면 다음을 얻는다.

특히 Y가 평균 1, 분산 1/θ인 감마분포(δ=θ)이면, 라플라스 변환은 L(s)=(1+s/θ)^−θ이므로 감마 프레일티 모집단 생존함수는 다음과 같다.

이 식의 위험률을 미분해 보면 시간에 따라 감소할 수 있으며, 이것이 “관측되는 모집단 위험이 떨어져 보이는” 선택효과의 수식적 근거다.

6. 다변량 모형과 우도 Multivariate Models and Likelihood

다변량 경우, 여러 개인이 공통의 프레일티 Y 값을 공유한다. 라플라스 변환이 다루기 쉬우면 Y를 적분해 없애 우도함수를 직접 유도할 수 있다. D_ij를 개인 (i,j)의 사망 지표라 하자. 감마 프레일티의 경우, 군집 색인 i를 생략한 우도는 다음과 같이 정리된다(D. = Σ_jD_j는 사망 수, A. = Σ_j∫₀^{tⱼ}λ_j(s)ds는 누적위험 합).

감마 모형은 추가 이점이 있다: 가족의 생존 경험이 주어졌을 때 Y의 조건부 분포도 다시 감마이며, 형상모수가 가족 내 사망 수만큼 증가한다 — 모수 (θ, θ) 대신 (θ+D., θ+A.)가 되어 신뢰도이론에서 잘 알려진 간단한 공식으로 이어진다. 같은 방식으로 결합 생존함수도 주변 생존함수 S_j(t)로 유도할 수 있다.

주변 생존함수를 쓰는 것은 모형의 대안적 모수화를 제공하며, 주변분포가 균일분포인 특수한 경우가 곧 코퓰러 모형(copula models)이다. 라플라스 변환 L(s)을 갖는 일반 분포의 밀도는 L의 고계 도함수로 표현된다(L^(p)은 p차 도함수).

적합도 측면에서, 양의 안정 프레일티는 초기 의존성이 높고 감마 프레일티는 후기 의존성이 높다. 역가우스·로그정규는 그 중간이다.

7. 추정·적합도·점근, 그리고 응용 Estimation, Asymptotics, Applications

공변량을 포함한 다변량 자료의 첫 추정법은 Clayton & Cuzick이 제안했으며, 관측량과 프레일티를 포함한 양을 평가한 뒤 EM 알고리즘의 기대단계에서 프레일티 항을 (관측시간에 조건부로 한) 평균 프레일티로 대체하고, 최대화단계에서는 프레일티를 고정·기지로 보아 Cox 모형으로 다룬다. 프레일티를 적분해 없앤 우도에서 직접 비모수 최대우도추정도 가능하며, 이는 모든 모수의 분산 추정치를 바로 준다. Clayton은 평균 프레일티 대신 관련 완전조건부 분포에서 표본을 추출하는 깁스 표집(Gibbs sampling) 접근도 기술했다. 감마·로그정규 공유 프레일티 모형은 S-Plus로 적합할 수 있다.

적합도는 여러 방식으로 검토할 수 있다. Genest & Rivest는 일반 프레일티 모형에서 유도한 경험적 1차원 함수를 특정 프레일티 모형의 함수와 비교하는 방법을 제안했고, Shih·Glidden은 감마 프레일티 모형에 특화된 접근을 제시했다. 점근 추론은 표준적 계산(최대우도추정, 추정량의 정규근사, 관측정보 기반 분산)으로 수행되며, 비·준모수 모형에서도 표준 접근이 작동함이 증명되었다(Murphy, Parner 등).

응용. 아직 보험계리 응용은 많지 않다. Carriere는 부부생명(coupled lives) 보험자료에서 뚜렷한 의존성을 보였고, 그 결과 최장수자가 유족연금을 받는 기간이 통상의 독립 가정보다 훨씬 짧음을 보였다. Jones는 단변량 모형을, Valdez는 생명보험의 선택적 해지(selective lapse)를 기술하는 이변량 프레일티 모형을 연구했으며, Wang & Brown은 보험계리적 사망률 개선 투영에 단변량 프레일티 모형을 사용했다. 생물통계 응용으로는 가족·쌍둥이·입양아 사망률 연구 등이 많다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 프레일티 Y (frailty) — 위험에 곱해지는 관측 불가능한 개체별 양의 인자(체질·취약성); 위험 = Y·λ(t).
• 곱셈형 위험 (multiplicative hazard) — 조건부 위험을 기저위험 λ(t)에 프레일티 Y를 곱해 표현하는 구조.
• 기저위험 λ(t) (baseline hazard) — 평균적 개체(Y=1)의 시간 의존 위험함수.
• 개체 위험 vs 모집단 위험 — 한 개인의 위험과, 살아남은 전체 집단의 평균 위험; 선택효과로 후자는 더 낮아질 수 있음.
• 공유(shared) 프레일티 — 한 군집(부부·가족)의 모든 구성원이 같은 Y를 공유 → 수명들 사이에 의존성 발생.
• 라플라스 변환 L(s) — E[e^−sY]; 모집단 생존함수 S_pop(t)=L(Λ(t))로 직결.
• 감마 프레일티 (gamma frailty) — 가장 널리 쓰이는 선택; 푸아송의 켤레사전분포라 갱신이 간단(음이항으로 귀결).
• 적자생존 효과 (survival of the fittest) — 고프레일티 개체가 먼저 사망해 모집단 위험률이 꺾이는 선택 현상.
• 코퓰러 (copula) — 주변분포가 균일일 때 프레일티 결합생존함수가 주는 의존성 모형.
• 임의효과 / 분산성분 모형 — 관측 불가능한 변동을 확률변수로 넣는 모형; 프레일티는 그 생존자료판.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

프레일티(취약성)는 개인별로 관측되지 않는 위험 배수 Z가 기준 위험률을 곱한다는 모형으로, 본문처럼 집단의 이질성과 선택효과를 설명한다. 국내에서는 이를 위험분류·할증(표준미달체)과 가입 초기 선택효과로 다룬다. 건강한 가입자(Z<1)와 위험이 높은 가입자(Z>1)를 언더라이팅으로 구분한다.

프레일티가 큰 집단은 시간이 지나며 고위험자가 먼저 탈퇴해 평균 위험률이 낮아지는 선택효과가 나타나는데, 이는 경험생명표의 선택표·유병자보험 위험률 설계에 반영된다. 간편심사·유병자보험의 확대도 프레일티가 큰 집단을 별도 위험률로 인수하는 시도로 볼 수 있다.