초과손해율 재보험 보험료 (Stop-loss Premium)
1. 정의 Definition
보험사의 손실을 분포 F, 평균 μ를 갖는 음이 아닌 확률변수 X라 하자. 거대손실에 대비해 초과손해율(스톱로스) 재보험을 들면, 보험사는 손실을 보유한도 d까지 보유하고, 재보험사가 d를 초과하는 부분을 지급한다. 보험사가 지급하는 보유손실은 X∧d = min{X, d}, 재보험사가 지급하는 스톱로스 확률변수는 (X−d)+ = max{0, X−d}이다. 그 기대값이 스톱로스 보험료(초과손해율 재보험 보험료)다.
이산형이면 합으로, 그리고 계산에 편리한 꼬리적분 형태로도 쓸 수 있다(이 표현은 ‘스톱로스 변환’이라고도 한다).
πX(d)는 생존함수 F̄(x)를 d부터 ∞까지 적분한 꼬리 아래 면적이다. 보유한도 d가 커질수록 면적이 줄어 보험료가 작아지고, d=0이면 전체 평균 μ가 된다. 위험의 순서화에서 두 위험을 비교하는 핵심 도구이기도 하다(초과손해순서).
손실 X가 0(0.5), 100(0.3), 300(0.2)을 값으로 갖는다. 보유한도 d=100의 스톱로스 보험료는?
d=100을 넘는 값은 300뿐: (300−100)×0.2 = 40
즉 πX(100)=40. 재보험사가 평균적으로 40을 부담한다(부가 전 위험보험료).
참고 및 관련 표제어
부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)
- 보유한도 (retention) d — 보험사가 스스로 부담하는 손실의 상한.
- 스톱로스 확률변수 (X−d)₊ — 보유한도를 넘는 초과손실.
- 스톱로스 보험료·변환 πX(d)=E[(X−d)₊] — 초과손실의 기대값.
- 생존함수·꼬리확률 F̄(x)=1−F(x) — 손실이 x를 넘을 확률.
- 보유손실 X∧d=min{X,d} — 보험사가 실제로 부담하는 부분.
한국보험시장 현황 Korea Market Practice
본문의 stop-loss 보험료 π = E[(S−d)⁺] 계산이 한국에서 가장 체계적으로 수행되는 현장은 상업 재보험보다 정책보험의 국가재보험이다. 농작물재해보험이 대표적인데, 연간 손해율 분포를 추정해 정부와 민간(보험사 컨소시엄)의 손익 분담 구간 — 사실상 다층 stop-loss 구조 — 을 설계하고, 구간별 기대손실로 분담 조건을 정한다. 기상 변동이라는 계통적 위험 탓에 총손해액 S의 분포가 두꺼운 꼬리를 갖는다는 점까지, 본문 이론의 전제와 정확히 맞아떨어지는 사례다.
민간 영역에서는 단체실손·신담보의 손해율 캡 약정, 일부 장기 담보의 손해율 연동 정산 조항 등에서 같은 계산이 쓰인다. 실무 절차는 본문의 해석적 방법보다 시뮬레이션 중심이다 — 빈도(포아송·음이항)와 심도(로그정규·파레토) 모형을 적합해 S의 분포를 몬테카를로로 생성하고, 발동점 d 이상 꼬리의 기대값을 직접 계산한다. 패널 데이터가 짧을수록 모수 불확실성 로딩을 얹는 관행도 이론의 권고 그대로다.
흥미로운 점은 (S−d)⁺의 기대값이라는 동일한 수학이 자본 규제 곳곳에 재등장한다는 것이다. K-ICS 요구자본은 본질적으로 "분포의 상위 꼬리(99.5%)에서의 초과손실"을 재는 작업이고, IFRS17 위험조정(RA)을 분위수 방식으로 산출할 때도 손실 분포의 꼬리 적분이 핵심이다. 즉 stop-loss premium 계산법을 익힌 계리사는 재보험 가격, 요구자본, 위험조정이라는 세 가지 실무를 같은 도구로 다루게 된다 — 본문이 "이 적분은 보험수리의 만능 부품"이라 말하는 이유를 한국 규제 환경이 증명하는 셈이다.