개별위험 모형 (Individual Risk Model)

1. 개요 Introduction

개별위험 모형(individual risk model)의 관심 대상은 보험계약 포트폴리오 전체의 총클레임액이다 — 예컨대 일정 자본으로 클레임을 다 지급할 확률, 또는 분포의 95% 분위수인 VaR(95%)을 계산하고 싶다. 총클레임은 고정된 n건의 개별 계약 각각의 클레임을 더한 것으로 모형화하며, 계약들은 독립이라 가정한다:

이 글은 합성곱 외의 계산 기법들 — 변환(적률생성함수 등), 적률 적합 근사(중심극한정리, 이동감마, 정규멱), 재귀 — 을 소개한다.

2. 합성곱 Convolution

독립인 X, Y의 합의 분포함수는 합성곱

으로 계산한다. 합성곱은 결합법칙·교환법칙을 만족하므로 순서는 무관하며, i.i.d. n개의 합은 n중 합성곱 F^*n이다.

3. 변환 Transforms

합의 분포는 변환을 쓰면 쉬워진다. 적률생성함수(mgf) m_X(t)=E[e^tX]는 독립합에서 곱으로 바뀌므로, 합성곱의 mgf를 알아보고 분포를 식별할 수 있는 경우가 있다. 코시분포 같은 무거운 꼬리에서는 mgf가 없지만 특성함수 φ_X(t)=E[e^itX]는 항상 존재하고 분포와 일대일 대응한다. k차 적률은 mgf의 k계 도함수의 t=0 값으로 얻고(식 7), 자연수 값 변수에는 확률생성함수(pgf) g_X(t)=E[t^X]=Σt^kPr[X=k]를 쓴다. 누율생성함수(cgf) κ_X(t)=log m_X(t)는 3차 중심적률 계산에 편리하다 — t^k/k!의 계수(누율 κ_k)가 k=1,2,3에서 각각 E[X], Var[X], E[(X−EX)³]이다. 왜도는 무차원량

로 정의한다. γ>0이면 우측으로 치우친(큰 값이 잘 나오는) 분포, γ<0이면 좌측 치우침이다. 대칭이면 γ=0이지만 역은 성립하지 않는다. 네 변환의 관계: κ=log m, g(t)=m(log t), φ(t)=m(it).

4. 근사 Approximations

전혀 다른 접근은 S의 분포를 직접 근사하는 것이다. S가 "많은" 변수의 합이므로 중심극한정리(CLT)에 따라 같은 평균·분산의 정규분포로 근사할 수 있지만, "많다"의 기준이 모호할 뿐 아니라 보험 실무가 중시하는 우측 꼬리에서 만족스럽지 못하다 — S의 3차 중심적률은 보통 양수인데 정규분포는 0이기 때문이다. 적률 셋을 맞추는 두 정밀 근사가 대안이며, 수치 예에서 둘은 CLT보다 훨씬 정확하고 서로의 오차는 비슷한데, 그나마도 적률 추정 자체의 부정확성에 비하면 사소하다.

이동감마 근사. 총클레임 분포는 대개 감마분포와 닮았다 — 우측 치우침(γ>0), 비음 범위, 단봉. 감마(α,β)에 평행이동 x₀를 더해 자유도를 셋으로 늘리고, 처음 세 적률이 S와 같도록

로 맞춘다(G는 감마 분포함수). γ가 양수여야 하며 γ↓0의 극한에서 정규근사가 나온다. 세 적률이 같으면 ∫x^j[1−F(x)]dx (j=0,1,2)도 같아지므로 두 분포가 크게 다를 여지는 적다.

정규멱(NP) 근사. 이동감마와 매우 비슷하되 보정항이 더 단순하고 약간 크다. E[S]=µ, Var[S]=σ², 왜도 γ일 때 s≥1에서

이다 — 앞의 식은 근사 분위수를, 뒤의 식은 분포함수 근사를 준다. s<1이면 보정항이 음수가 되어 CLT 쪽이 더 보수적이다.

예제 99% 분위수 — CLT vs NP

µ=1,000, σ=100, γ=0.4인 총클레임의 99% 분위수(VaR₉₉)를 CLT와 NP로 구하라. (Φ⁻¹(0.99)=2.326)

NP의 왜도 보정 (γ/6)(s²−1) ≈ 0.29가 분위수를 약 29 끌어올린다. 정규근사는 우측 치우침을 무시해 꼬리 위험을 과소평가한다 — 필요자본을 정할 때 이 차이가 결정적일 수 있다.

5. 재귀 Recursions

합성곱의 또 다른 대안이 재귀다. 계약 i의 클레임확률을 Pr[X_i>0]=q_i=1−p_i, 클레임이 났을 때의 심도분포를 g_i(x)=Pr[X_i=x | X_i>0] (x=1,2,…; 적절한 화폐단위의 정수배)라 하자. p(s)=Pr[S=s]에 대해 드네–판데브룩(Dhaene–Vandebroek)의 정확한 재귀

가 성립한다(초기값 p(0)=Πp_i). 그 밖의 정확·근사 재귀들도 유도되어 있다(드프릴 재귀 등 → De Pril Recursions and Approximations).

복합 포아송 근사. 흔한 근사는 각 계약의 클레임 분포를 모수 λ_i, 심도 h_i의 복합 포아송으로 바꾸는 것이다. 독립성에 의해 총클레임 S의 근사분포는 모수와 심도가

인 복합 포아송이 되고, 판여 재귀

로 계산할 수 있다. 가장 흔한 모수 선택은 λ_i=q_i로, 근사분포와 정확한 분포의 기댓값이 일치하도록 보장한다.

6. 오차 Errors

총클레임 분포 계산에는 여러 종류의 오차가 있다. ① 계약별 클레임 금액을 화폐단위(예: 1,000)로 반올림하는 데서 오는 오차, ② 그 반올림된 포트폴리오의 분포를 근사적으로 계산(적률 적합, 복합 포아송 근사, 드프릴 r차 근사 등)하는 데서 오는 오차 — 둘 다 계산시간을 들이면 줄일 수 있고, 화폐단위가 크다면 정확한 알고리즘을 쓰는 것은 무의미하다. 두 오차 유형의 한계(bound)는 화폐단위를 정하고 알고리즘을 고르는 데 도움이 된다. ③ 셋째 유형은 독립성 가정 자체가 깨지는 데서 오는 오차다 — 종속인 개별 클레임의 합으로서의 개별모형을 다룬 연구들과, 공단조성(comonotonicity)에 기초한 종속합 근사 연구들이 있다(→ Dependent Risks, Comonotonicity).

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• VaR (value-at-risk) — 분포의 상위 분위수. 자본 적정성 판단의 표준 척도.
• 합성곱 (convolution) — 독립합의 분포 연산. n건이면 n−1번 필요해 직접 계산은 비싸다.
• mgf/특성함수/pgf/cgf — 분포의 변환들. 독립합에서 곱(cgf는 합)으로 바뀌는 것이 요점.
• 누율 (cumulant) κ_k — cgf의 전개계수. κ₁=평균, κ₂=분산, κ₃=3차 중심적률.
• 왜도 γ — κ₃/σ³. 우측 꼬리의 무게를 재는 무차원 지표.
• 이동감마/NP 근사 — 적률 3개를 맞추는 꼬리 보정 근사. 감마형 이동 / 분위수의 다항 보정.
• 판여/드프릴 재귀 — 복합 포아송 근사용 / 개별모형 정확 계산용 점화식.
• 공단조성 (comonotonicity) — 모든 변수가 하나의 공통 변수의 증가함수인 극단적 양의 종속. 종속합의 상한 근사에 사용.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

개별위험모형 — 계약 하나하나의 손해를 더해 포트폴리오 총손해를 만드는 관점 — 이 한국에서 가장 자연스럽게 쓰이는 곳은 단체보험과 신용생명보험류의 포트폴리오 평가다. 피보험자 명부가 확정되어 있고 1인당 보험가입금액과 사망·장해 확률이 계약별로 다른 단체계약은 본문 1장의 설정(서로 다른 q와 보험금의 독립 합) 그대로이며, 보험금 총액 분포로 영업보험료의 적정성·할인 여력·초과손해 재보험 출재 수준을 검토하는 데 합성곱적 사고가 쓰인다. 퇴직연금 수탁 단체나 공제회의 위험률 검증, 금융기관 대출 연계 보장의 포트폴리오 분석도 같은 틀이다.

계산 기법의 지형은 본문 4~5장(근사·재귀)의 시대와 달라졌다. 계산력이 풍부해진 오늘날 국내 실무는 총손해 분포가 필요하면 몬테카를로 시뮬레이션을 우선 쓰는 경향이 있고, 정규·이동감마 근사나 De Pril·Panjer류 재귀는 시뮬레이션 결과의 합리성을 빠르게 점검하는 검증 도구로 자리를 옮겼다. 다만 분포의 꼬리(고액 계약 소수가 지배하는 단체)에서는 정규 근사가 위험을 과소평가한다는 본문 6장의 경고가 실무에서도 그대로 유효하여, 고액 보험가입금액 구간을 분리해 보거나 왜도를 보존하는 근사를 쓰는 것이 통례다.

제도 측면에서는 2023년 시행된 IFRS17·K-ICS가 이 모형의 수요를 키웠다. IFRS17의 위험조정(RA)은 비금융위험의 불확실성에 대한 보상으로, 신뢰수준 방식으로 산출하는 경우 포트폴리오 총손해(또는 이행현금흐름)의 분포 분위수가 필요하다 — 개별 계약 위험이 포트폴리오로 결집·분산되는 효과를 정량화한다는 점에서 본문의 문제설정과 동일하다. K-ICS 표준모형 자체는 충격 시나리오 방식이어서 분포를 직접 요구하지 않지만, 자체위험·지급여력평가(ORSA)나 경영진 보고용 내부 분석에서는 분포 기반 접근이 병행된다. 본문이 강조한 "독립성 가정"의 한계 — 감염병·재해처럼 동시 발생하는 사망 — 는 코로나19 경험 이후 단체보험 인수·집적위험 관리에서 명시적 점검 항목이 되었다.