공단조성
1. 개요 — 가장 강한 양의 종속성 Introduction
확률적 순서화(stochastic ordering)를 다룰 때, 전통적인 보험계리 위험이론은 보통 하나의 위험이나 서로 독립인 위험들의 합에 초점을 맞춘다. 여기서 위험이란 개별위험모형·집합위험모형에 등장하는 비음(nonnegative) 확률변수를 가리킨다. 그러나 최근에는 재무계리(financial actuarial) 응용을 염두에 두고, 음수 값도 가질 수 있는 확률변수들의 합 X1 + X2 + ··· + Xn 으로 관심이 옮겨갔다. 더 나아가 변수들의 독립성도 더 이상 가정하지 않으며, 오직 주변분포(marginal distribution)만 고정되어 있다고 본다.
이 상황에서 핵심 결과는 다음과 같다. 주변분포가 같은 모든 확률벡터 가운데, 합 X1 + ··· + Xn 이 가장 위험한(riskiest) 경우는 변수들이 공단조(comonotonic) 코퓰러를 가질 때이다. 즉 공단조성은 주변분포를 고정한 채 만들 수 있는 가장 강한 양의 종속 구조를 나타낸다.
여러 위험이 “같은 방향으로만 함께 움직인다”는 뜻이다. 하나가 커지면 나머지도 모두 (작아지는 일 없이) 커진다. 모든 변수가 단 하나의 공통 요인의 비감소(nondecreasing) 함수로 표현되는 극단적인 양의 종속이며, 분산투자(diversification) 효과가 전혀 없어 합의 위험이 최대가 된다. 영어 단어 comonotonic 은 “common + monotonic(공통으로 단조)”에서 왔다.
2. 정의와 특성화 Definition and Characterizations
먼저 n차원 실벡터들의 집합에 대한 공단조성을 정의한다. n벡터 (x1, …, xn)을 x로 쓰고, 두 벡터 x, y에 대해 성분별 순서(componentwise order) x ≤ y 를 다음과 같이 정의한다.
정의 1 (공단조 집합). 집합 A ⊆ ℝn 이 공단조라는 것은, A 안의 임의의 두 점 x, y 에 대해 항상 x ≤ y 이거나 y ≤ x 둘 중 하나가 성립한다는 뜻이다. 즉 공단조 집합 안에서는 어떤 성분 하나가 xi < yi 이면 모든 성분에서 x ≤ y 가 따라온다. 이런 집합은 각 성분 방향으로 동시에 비감소하므로 비감소 집합(nondecreasing set)이라고도 한다. 공단조 집합의 임의의 부분집합도 다시 공단조이다.
다음으로 확률벡터의 공단조성을 그 지지집합(support)을 통해 정의한다. 확률벡터 X의 지지집합이란 Prob[X ∈ A] = 1 을 만족하는 집합 A ⊆ ℝn 을 말한다.
정의 2 (공단조 확률벡터). 확률벡터 X = (X1, …, Xn) 이 공단조 지지집합을 가지면 X를 공단조라고 한다.
이 정의로부터 공단조성이 매우 강한 양의 종속 구조임을 알 수 있다. 실제로 x, y가 (공단조) 지지집합의 원소, 즉 X가 취할 수 있는 두 결과라면 이들은 반드시 성분별로 순서가 매겨져 있어야 한다.
정리 1 (공단조성의 동치 조건). 확률벡터 X = (X1, …, Xn) 이 공단조일 필요충분조건은 다음 중 어느 하나가 성립하는 것이다.
- (1) 공단조 지지집합을 가진다.
- (2) 공단조 코퓰러를 가진다. 즉 모든 x에 대해 결합분포함수가 주변분포함수들의 최솟값(Fréchet 상계)과 같다.
- (3) U ~ Uniform(0,1) 에 대해 분포 동일(=d)하게 다음이 성립한다. 즉 모든 성분이 같은 균등 확률변수 U 의 분위수 변환으로 표현된다.
- (4) 어떤 확률변수 Z와 비감소 함수 fi (i = 1, …, n) 가 존재하여 다음이 성립한다.
조건 (4)가 가장 직관적이다. 모든 위험이 하나의 공통 변수 Z(예: 경기, 이자율, 날씨)의 비감소 함수다. (3)은 그 공통 변수를 균등분포 U로 잡고 각 변수를 분위수 함수 F-1로 만든 것이다 — 같은 U의 백분위를 공유하므로 “순위가 항상 일치”한다. (2)는 결합분포가 가질 수 있는 최댓값(Fréchet 상계)에 도달했다는 뜻이고, (1)은 가능한 결과들이 한 줄로 정렬된다는 기하학적 표현이다.
3. Fréchet 상계 — 결합확률의 최대화 The Fréchet Upper Bound
식 (1)에서 보듯이, n개의 공단조 위험 Xi 이 모두 xi 이하일 확률을 구하려면 단순히 이 n개 사건 가운데 가장 일어나기 어려운(확률이 가장 작은) 사건의 확률 하나만 취하면 된다. 한편 공단조가 아닌 임의의 확률벡터에 대해서도 다음 부등식이 항상 성립한다.
Hoeffding(1940)과 Fréchet(1951) 이래로, 우변의 함수 min{FX1(x1), …, FXn(xn)} 자체가 (X1, …, Xn)과 같은 주변분포를 갖는 어떤 확률벡터, 곧 (FX1-1(U), …, FXn-1(U))의 다변량 분포함수가 됨이 알려져 있다. 따라서 이 부등식은, 주변분포가 같은 모든 확률벡터 가운데 모든 Xi 가 동시에 큰 값을 가질 확률이 최대가 되는 것은 그 벡터가 공단조일 때임을 말해 준다. 이것이 공단조성이 가장 강한 양의 종속임을 보여 주는 핵심이다.
모든 주변분포함수 FXi 가 동일한 특수한 경우에는, 식 (2)로부터 X의 공단조성은 X1 = X2 = ··· = Xn 이 거의 확실히(almost surely) 성립한다는 것과 동치가 된다.
Fréchet 상계는 코퓰러가 도달할 수 있는 천장이다. 각 위험의 발생 확률(주변분포)은 그대로 두고, 종속 구조만 바꿔 “나쁜 일이 한꺼번에 몰리는” 최악의 시나리오를 만든 것이다. 보험사가 위험을 보수적으로(안전하게) 평가할 때, 종속 구조를 모르면 공단조를 가정해 상계를 잡는다.
4. 혼합모형과의 관계 Comonotonicity via Mixing
개별 확률변수 X1, …, Xn 이 동일한 외부 메커니즘의 영향을 받는 상황을 모형화하는 표준적인 방법은 2차 혼합분포(secondary mixing distribution)를 쓰는 것이다. 외부 메커니즘의 불확실성을 구조변수(structure variable) z 로 기술하는데, 이는 확률변수 Z의 실현값이며 X 분포의 (확률적) 모수 역할을 한다.
이때 집합클레임은 2단계 과정으로 볼 수 있다. 먼저 외부 모수 Z = z 가 분포 FZ 로부터 추출되고, 그 다음 각 개별위험 Xi 의 클레임 금액이 Z = z 조건부 분포로부터 실현된다. 특수한 경우로, Z = z 가 주어졌을 때 Xi 가 xi = xi(z) 에 퇴화(degenerate)하고 이 xi(z) 가 z에 대해 비감소라면, (X1, …, Xn) =d (f1(Z), …, fn(Z)) 의 모든 fi 가 비감소가 되어 벡터가 공단조가 된다. 이는 외부 모수 Z = z 가 집합클레임을 완전히 결정하는 극단적인 형태의 혼합모형이다.
또한 U ~ Uniform(0,1) 이면 1 − U 도 Uniform(0,1) 이므로, 공단조성은 X =d (FX1-1(1−U), …, FXn-1(1−U)) 로도 특성화된다. 마찬가지로 X가 공단조일 필요충분조건은 어떤 Z와 비증가(nonincreasing) 함수 fi 가 존재하여 X =d (f1(Z), …, fn(Z)) 가 되는 것이다.
5. 상관·종속 측도와의 관계 Pairwise Comonotonicity and Correlation
정리 2 (쌍별 공단조성). 확률벡터 X가 공단조일 필요충분조건은 모든 i, j ∈ {1, …, n} 에 대해 짝 (Xi, Xj) 이 공단조인 것이다. 즉 전체의 공단조성은 두 변수씩의 공단조성만으로 충분히 특성화된다.
정리 3 (공단조성과 최대 상관). 임의의 확률벡터 (X1, X2) 에 대해 Pearson 상관계수 r 은 다음 부등식을 만족하며, (X1, X2) 가 공단조가 아니면 부등호는 엄격(strict)하다.
이 부등식의 특수한 경우로 r(FX1-1(U), FX2-1(U)) ≥ 0 이 항상 성립한다. 다만 도달 가능한 최대 상관이 일반적으로 1은 아님에 유의해야 한다(주변분포에 따라 달라진다). 한편 Kendall의 τ, Spearman의 ρ, Gini의 γ 같은 다른 종속 측도들은 변수들이 공단조일 때 그리고 오직 그때만 값이 1(따라서 최대)이 된다. 또한 (X1, X2) 가 공단조이면서 동시에 서로 독립일 필요충분조건은 X1 또는 X2 중 하나가 퇴화하는 것이다.
두 위험이 “완전히 같은 방향”(공단조)이어도 Pearson 상관 r은 1보다 작을 수 있다 — 주변분포가 비대칭이면 그렇다. 그래서 위험관리에서는 분포 모양에 좌우되지 않는 순위 기반 측도(Kendall τ, Spearman ρ)를 함께 보며, 이들은 공단조에서 정확히 1이 된다.
6. 공단조 확률변수들의 합 Sum of Comonotonic Random Variables
보험에서는 흔히 확률변수들의 합의 분포함수에 관심을 둔다. 예를 들어 일정 기간 동안 보험포트폴리오의 집합클레임이 이런 합이다. 전통적 위험이론에서는 포트폴리오의 개별위험이 서로 독립이라고 가정하는데, 이는 Panjer 재귀, De Pril 재귀, 합성곱, 적률 기반 근사 같은 표준 기법이 모두 독립 가정 위에 서 있어 수학적으로 편리하기 때문이다. 그러나 독립 가정은 현실과 늘 맞지는 않으며, 종속을 무시하면 총위험을 과소평가할 수 있다. 종속변수의 수학은 일반적으로 다루기 어렵지만, 변수들이 공단조일 때는 예외이다.
보험계리 문헌에서는 흔히 어떤 확률변수를, 구조가 더 단순해 분포함수를 구하기 쉬운 덜 매력적인(less attractive) 확률변수로 바꾸는 관행이 있다. 이 덜 매력적인 변수로 (보험료, 준비금 등의) 계산을 수행하는 것은 일정 부류의 의사결정자에게 신중한(prudent) 전략으로 받아들여진다. 위험의 순서화 이론에서, 정지손실 순서(stop-loss order)의 경우 이 부류는 모든 위험회피적 의사결정자로 이루어진다.
정의 3 (정지손실 순서). 두 확률변수 X, Y 에 대해 X의 정지손실보험료가 Y보다 작거나 같으면 X가 Y를 정지손실 순서로 선행한다(X ≤sl Y)고 한다.
정의 4 (볼록 순서). 위에 더해 두 변수의 기대값이 같다는 조건을 추가하면 볼록 순서(convex order)가 된다. 즉 X ≤cx Y 일 필요충분조건은 E[X] = E[Y] 이고 모든 실수 d에 대해 E[(X−d)+] ≤ E[(Y−d)+] 인 것이다.
이제 확률벡터의 코퓰러를 공단조 코퓰러로 바꾸면, 합은 볼록 순서에서 더 매력적이지 않은(즉 더 위험한) 값이 된다.
정리 4 (합의 볼록 상계). 임의의 확률벡터 (X1, …, Xn) 에 대해 다음이 성립한다.
X ≤cx Y 는 기대값이 같으면서 Y의 분산(꼬리)이 더 크다는 뜻이라, 모든 위험회피적 의사결정자가 Y를 더 나쁘게 본다. 정리 4는 “종속 구조를 모를 때 공단조로 바꾸면 합의 위험이 최대가 된다”는 것 — 즉 공단조 합이 보수적 상계를 준다는 핵심 결과다. 평균은 그대로 두고 꼬리위험만 최대로 부풀린 안전판이다.
7. 공단조 합의 분포·정지손실보험료 Inverse cdf and Stop-loss Premiums
공단조 확률변수 합의 분포함수와 정지손실보험료는 아주 쉽게 계산된다. 실제로 합의 역분포함수(분위수 함수)는 각 주변 역분포함수의 합과 같아진다.
정리 5 (공단조 합의 역분포함수). 강증가(strictly increasing) 분포함수 FX1, …, FXn 를 갖는 공단조 확률변수들의 합 Sc 의 역분포함수는 다음과 같다.
이것이 공단조 합의 분위수 가법성(quantile additivity)이다. 분위수가 곧 VaR(Value at Risk)이므로, 이는 공단조 위험들의 합의 VaR 가 각 위험의 VaR 의 단순 합과 같다는 VaR 가법성을 뜻한다.
정리 6 (공단조 합의 정지손실보험료). 같은 가정 아래에서, 공단조 벡터 성분들의 합 Sc 의 정지손실보험료는 모든 실수 d에 대해 다음과 같이 분해된다.
식 (8)로부터 다음 성질을 끌어낼 수 있다. 만일 변수 Xi 들이 같은 확률변수 Y1, …, Ym 의 선형결합 Xi =d ai,1Y1 + ··· + ai,mYm 으로 쓰이면, 그 공단조 합도 같은 Y1, …, Ym 의 선형결합으로 표현된다. 예컨대 Xi 가 첫 모수가 고정된 Pareto(α, βi) 분포(즉 Xi =d βiX, X ~ Pareto(α, 1))이면 공단조 합도 모수 α 와 β = Σiβi 의 Pareto 분포가 된다. 지수분포, 정규분포, Rayleigh, Gumbel, 첫 모수 고정 감마분포, 첫 모수 고정 역가우스분포 등에서도 같은 성질이 성립한다.
이런 통계적 성질 외에도, 공단조성 개념은 미래 지급의무에 대한 준비금 산정이나 아시안 옵션 가격의 상·하계 설정 같은 여러 보험·금융 응용을 가진다.
두 손해 X1, X2 의 99% 분위수(VaR)가 각각 100, 150이다. 두 위험의 종속 구조를 전혀 모를 때, 합 X1 + X2 의 위험을 안전하게(보수적으로) 잡으려면 어떻게 하나?
종속 구조를 모르면 공단조를 가정하여 상계를 잡는다. 정리 5의 분위수 가법성에 의해 공단조 합의 99% VaR = 100 + 150 = 250. 또 정리 4에 의해 어떤 종속이든 실제 합은 공단조 합보다 볼록 순서로 작거나 같으므로, 250은 정지손실보험료까지 함께 보장하는 보수적 상계 역할을 한다. (참고: 독립이거나 음의 종속이면 분산투자 효과로 실제 합산 위험은 250보다 작아진다.)
참고 및 관련 표제어
부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)
- 공단조성 (comonotonicity) — 주변분포를 고정한 채 만들 수 있는 가장 강한 양의 종속. 모든 성분이 단 하나의 공통 변수의 비감소 함수가 되는 구조.
- 주변분포 (marginal distribution) — 다변량 분포에서 변수 하나만의 분포. 공단조 이론은 주변분포는 고정하고 종속 구조만 다룬다.
- 코퓰러 (copula) — 주변분포와 분리하여 변수 간 종속 구조만 기술하는 함수. 공단조 코퓰러는 그 천장인 Fréchet 상계 M(u1,…,un)=min(ui).
- Fréchet 상계 (Fréchet upper bound) — 같은 주변분포를 갖는 결합분포가 도달할 수 있는 최댓값. 곧 공단조 결합분포.
- 지지집합 (support) — 확률벡터가 확률 1로 값을 취하는 영역. 이 집합이 공단조(한 줄로 정렬)이면 벡터가 공단조이다.
- 분위수 함수 (quantile function, F-1) — 분포함수의 역함수. VaR 가 바로 이 분위수이다.
- 정지손실 순서 (stop-loss order) — 모든 위험회피자가 동의하는 위험의 크기 비교. 정지손실보험료가 작은 쪽이 덜 위험.
- 볼록 순서 (convex order) — 기대값이 같을 때의 정지손실 순서. X ≤cx Y 는 Y의 꼬리위험이 더 큼을 뜻한다.
- VaR 가법성 (VaR additivity) — 공단조 위험들의 합의 분위수(VaR)가 각 분위수의 단순 합과 같다는 성질.
- 퇴화분포 (degenerate distribution) — 한 점에 확률이 모두 모인 분포(상수). 한 변수가 상수면 공단조이면서 독립일 수 있다.
한국보험시장 현황 Korea Market Practice
공단조성(comonotonicity)은 위험들이 완전히 같은 방향으로 움직여 분산효과가 전혀 없는 극단적 종속을 가리킨다. 본문이 보이듯 이 경우 합의 위험이 최대가 되며, 국내 K-ICS가 위험군을 합산할 때 상관계수로 분산효과를 반영하되 보수적으로(완전종속에 가깝게) 다루는 부분과 직접 통한다.
금리 하락이 보증비용·부채·재투자위험을 동시에 악화시키는 경우처럼, 실제로 여러 위험이 한 방향으로 몰리는 국면을 가정할 때 공단조성은 분산효과를 0으로 두는 보수적 합산의 이론적 근거가 된다.
K-ICS의 위험 합산은 상관행렬로 분산효과를 인정하지만, 위기에는 상관이 1에 수렴(공단조성)한다고 보아 보수적으로 다룬다. 분산효과를 과신하지 않는 것이 핵심이다.