드프릴 재귀와 근사

1. 개요 Introduction

1980년 무렵 Panjer의 연구를 따라, 집합클레임 분포의 재귀적(recursive) 계산에 관한 문헌이 자라나기 시작했다. 초기의 주된 관심은 집합위험모형(collective risk model), 즉 복합분포(compound distribution)의 계산에 있었다. 그러나 De Pril은 개별위험모형(individual risk model), 즉 합성곱(convolution) 쪽으로 눈을 돌렸다. 그는 한 위험(증권)의 집합클레임이 비음의 정수 값을 가지며, 그 값이 0일 확률이 양수라고 가정했다.

1985년 논문에서 De Pril은 먼저 포트폴리오가 n개의 독립이고 동일한 위험으로 이루어진 경우, 즉 n중 합성곱(n-fold convolution)을 다루었다. 이어서 각 위험이 최대 한 번의 클레임만 낼 수 있고 그 클레임이 고정값을 갖는 생명보험 포트폴리오로 관심을 옮겨, 그런 포트폴리오의 집합클레임 분포에 대한 재귀식을 개발했다. 이 재귀식은 계산이 오래 걸렸으므로, De Pril은 이에 대한 근사(approximation)와 오차한계(error bound)를 도입했다. 비슷한 근사가 앞서 Kornya(1983)에 의해, 그리고 0에서 양의 질량을 갖는 일반 클레임 금액 분포로의 확장이 Hipp에 의해 제시되었다.

De Pril은 이후 자신의 재귀식을 0에서 양의 질량을 갖는 비음 정수 위의 일반 클레임 금액 분포로 확장하고, 자신의 근사를 Kornya·Hipp의 것과 비교하여 세 근사 모두에 대한 오차한계를 끌어냈다. Dhaene과 Vandebroek은 더 효율적인 정확 재귀식을 도입했다.

한편 Sundt는 Panjer의 재귀 클래스의 확장을 연구했는데(Sundt 분포 클래스 참조), 이 확장은 De Pril의 정확 재귀를 포함한다. Sundt는 이 연결을 추구하면서 De Pril 정확 재귀의 핵심 특징에 De Pril 변환(De Pril transform)이라는 이름을 붙였다.

2. 표기와 복합분포 Notation and Compound Distributions

다음에서는 분포를 그 확률함수(probability function)와 동일시하여, 분포를 언급할 때 보통 확률함수를 뜻하기로 한다. 우리가 다룰 재귀들은 대개 비음 정수 위의 어떤 분포가 0에서 양의 확률을 갖는다는 가정에 기댄다. 이 분포들의 클래스를 P₀ 로 표기한다. 또 이런 분포에 대한 근사를 다루기 위해, 비음 정수 위에서 0에 양의 질량을 갖는 함수들의 클래스를 F₀ 로 표기한다(F₀ 의 함수는 확률분포와 달리 합이 1일 필요가 없다).

계수분포(counting distribution) p ∈ P₀ 와 양의 정수 위의 심도분포(severity distribution) h 를 갖는 복합분포를 p ∨ h 로 나타내며 다음과 같이 정의한다(h^n* 은 h의 n중 합성곱).

이 정의는 p가 F₀ 의 근사일 때로도 확장된다.

3. n중 합성곱에 대한 De Pril 재귀 De Pril's Recursion for n-fold Convolutions

분포 f ∈ P₀ 에 대해, De Pril(1985)은 n중 합성곱 f^n* 가 다음 재귀를 만족함을 보였다.

이 재귀는 복합이항분포에 대한 Panjer 재귀로부터도 쉽게 유도된다. 순수수학에서 이 재귀는 멱급수(power series)의 거듭제곱의 계수를 계산하는 데 쓰이며, 그 기원은 Euler(1748)까지 거슬러 올라간다.

4. De Pril 변환 The De Pril Transform

Sundt는 다음 형태의 재귀를 만족하는 분포 f ∈ P₀ 를 연구했다. 특히 상한 k = ∞ 이고 계수 a ≡ 0 인 특수한 경우에는 다음을 얻는다(여기서 b를 φ_f 로 고쳐 부른다).

Sundt는 여기 등장하는 φ_f 를 f 의 De Pril 변환이라 명명했다. 식 (5)를 φ_f(x) 에 대해 풀면 다음과 같이 변환 자체를 분포로부터 재귀적으로 구할 수 있다.

f는 합이 1이어야 하므로, P₀ 의 각 분포는 유일한 De Pril 변환을 가진다. 이 재귀(5)는 Chan(1982)이 제시한 바 있다.

뒤에서 필요한 De Pril 변환의 성질은 다음과 같다.

• (1) 합성곱에 대한 가법성. f, g ∈ P₀ 에 대해 De Pril 변환은 합성곱에 대해 더해진다. 즉

• (2) 복합분포의 변환. p ∈ P₀ 이고 h가 양의 정수 위 분포이면, φ_p∨h(x) = x Σ_y=1^x (φ_p(y)/y) h^y*(x) 이다.
• (3) 베르누이 분포의 변환. p가 p(1) = 1 − p(0) = π (0 < π < 1) 인 베르누이 분포이면 다음이 성립한다.

F₀ 의 함수는 1로 합쳐질 제약이 없으므로, 그 De Pril 변환은 함수를 상수배까지만(up to a multiplicative constant) 결정한다. 따라서 함수를 0에서의 값과 De Pril 변환의 쌍으로 정의하기도 한다.

5. 개별위험모형에 대한 De Pril 정확 재귀 De Pril's Exact Recursion for the Individual Model

m가지 유형의 독립 위험 n개로 이루어진 포트폴리오를 생각하자. 유형 i 의 위험이 n_i 개 있고(Σ_i=1^m n_i = n), 각 위험은 집합클레임 분포 f_i ∈ P₀ 를 가진다. 우리는 포트폴리오 전체의 집합클레임 분포 f = ∗_i=1^m f_i^n_i* 를 구하려 한다. De Pril 변환의 합성곱 가법성에 의해 포트폴리오의 변환은 각 유형 변환의 가중합이 된다.

따라서 각 f_i 의 De Pril 변환을 알면 f 의 변환을 쉽게 얻고, 그 다음 식 (5)로 f 를 재귀적으로 계산할 수 있다. 각 f_i 의 변환은 식 (6)으로 구할 수도 있지만, 명시적 표현도 가능하다. 이를 위해 f_i 를 복합 베르누이 분포 f_i = p_i ∨ h_i 로 표현한다. 여기서 p_i(1) = 1 − p_i(0) = π_i = 1 − f_i(0) 이고 h_i(x) = f_i(x)/π_i 이다. 성질 (2), (3)과 (9)를 결합하면 다음 명시적 표현을 얻는다.

De Pril(1989)은 확률생성함수(probability generating function)를 이용해 이 재귀들을 유도했는데, f 의 확률생성함수 ρ_f(s) = Σ_x s^x f(x) 와 De Pril 변환 사이에는 다음 관계가 있다.

6. Dhaene–Vandebroek 재귀 Dhaene–Vandebroek's Recursion

Dhaene과 Vandebroek(1995)은 f 에 대한 더 효율적인 재귀를 도입했다. 이들은 각 유형 i = 1, …, m 에 대해 보조함수 ψ_i(x) = Σ_y=1^x φ_fi(y) f(x−y) 를 정의하고, 이것이 ψ_i(x) = (1/f_i(0)) Σ_y=1^x (y f(x−y) − ψ_i(x−y)) f_i(y) 라는 재귀를 만족함을 보였다. 그러면 f 자체는 다음으로 계산된다.

즉 각 ψ_i 를 재귀로 구한 뒤 (17)로 f 를 얻는다. 생명보험 모형에서는 이 재귀가 Waldmann(1994)에 의해 제시되었다.

7. 근사 — De Pril, Kornya, Hipp Approximations

x 가 클 때는 식 (11)로 φ_f(x) 를 계산하는 것이 시간이 오래 걸린다. 따라서 f 를 f^(r) = ∗_i=1^m (p_i^(r) ∨ h_i)^n_i* 형태의 함수로 근사하고 싶어진다. 여기서 각 p_i^(r) ∈ F₀ 는 어떤 고정된 정수 r 보다 큰 모든 x 에서 변환이 0이 되도록(φ_pi^(r)(x) = 0) 선택한다. 이는 변환의 합을 r 항까지만 잘라 계산량을 줄이는 것이다.

• De Pril 근사. 가장 자연스러운 선택으로, p_i^(r)(0) = p_i(0) 이고 x ≤ r 일 때 φ_pi^(r)(x) = φ_pi(x) 로 둔다. 그 결과 x = 0, 1, …, r 에서는 f^(r)(x) = f(x) 로 정확히 일치한다.
• Kornya 근사. De Pril 근사와 De Pril 변환은 같되, 각 i 에 대해 p_i^(r) 이 확률분포처럼 합이 1이 되도록 상수배를 맞춘 것이다.
• Hipp 근사. p_i^(r) 이 합이 1이면서 r 차까지의 적률(moment)이 p_i 와 같도록 선택한 근사이다.

r = 1 인 경우 Kornya·Hipp 류의 구성은 모수 λ = Σ_i n_iπ_i 의 고전적 복합 포아송 근사(compound Poisson approximation)로 귀착된다.

8. 오차한계 Error Bounds

Dhaene과 De Pril(1994)은 f ∈ P₀ 에 대한 근사 f̃ ∈ F₀ 의 여러 오차한계를 제시했다. 이를 위해 평균 μ_f = Σ_x x f(x), 누적분포함수, 정지손실변환(stop-loss transform) 등을 도입하고, 다음 거리 측도(distance measure) δ 를 정의한다.

이 거리를 이용해 Dhaene과 De Pril은 다음과 같은 오차한계를 유도했다. 즉 근사와 참분포 사이의 총변동(전체 절대오차의 합)이 De Pril 변환 거리의 지수로 통제된다.

또한 점별(pointwise) 오차한계 |f̃(x) − f(x)| ≤ (e^δ − 1)(f(x) + x − μ_f) 등도 끌어냈다. 나아가 δ(f, f̃) < ln 2 이면 더 실용적인 형태의 한계도 성립한다.

세 근사(De Pril, Kornya, Hipp)에 대해 π_i < 1/2 가정 아래 δ(f, f^(r)) 의 상계가 표로 제시되었다. De Pril 근사의 한계가 Kornya 근사의 한계보다 작고, Kornya 의 것이 다시 Hipp 의 것보다 작다. 다만 이들은 어디까지나 상계이므로, 실제 세 근사의 정확도 순서가 반드시 같다고 보장하지는 않는다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 개별위험모형 (individual risk model) — 포트폴리오를 개별 증권 단위로 보고, 각 증권 클레임 분포를 합성곱하여 전체 분포를 구하는 모형.
• 합성곱 (convolution, ∗) — 독립인 두 확률변수의 합의 분포를 만드는 연산. n중 합성곱은 같은 분포를 n번 더한 것.
• 복합분포 (compound distribution, p ∨ h) — 클레임 건수분포 p 와 심도분포 h 를 결합한 분포.
• De Pril 변환 (De Pril transform, φ_f) — 분포 f 에 대응하는 함수로, 합성곱에 대해 가법적(φ_f*g=φ_f+φ_g)이라 합성곱 계산을 덧셈으로 바꿔 준다.
• P₀ / F₀ — P₀ 는 0에서 양의 확률을 갖는 비음 정수 분포의 클래스, F₀ 는 같은 조건의 (합이 1일 필요 없는) 함수 클래스.
• 베르누이/복합 베르누이 — 0 또는 1 값을 갖는 분포(확률 π). 각 증권 클레임을 p_i ∨ h_i 인 복합 베르누이로 표현한다.
• 확률생성함수 (pgf, ρ_f) — ρ_f(s) = Σ s^xf(x). 그 로그의 미분 계수가 De Pril 변환이다.
• 파너 재귀 (Panjer recursion) — 복합분포(집합위험모형) 계산용 재귀. De Pril n중 합성곱 재귀가 여기서 유도된다.
• 거리 측도 δ (distance measure) — 참분포와 근사의 De Pril 변환 차이로 정의한 거리. 오차한계가 e^δ−1 로 통제된다.
• 복합 포아송 근사 (compound Poisson approximation) — r=1 일 때 Kornya·Hipp 근사가 귀착되는 고전적 근사. 모수 λ = Σ n_iπ_i.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

드프릴 재귀는 개별위험모형(서로 다른 보험금·확률을 가진 계약들의 합)의 총손실분포를 정확히 재귀계산하는 방법이다. 국내에서 단체보험·보증보험처럼 계약별 보험금이 제각각인 포트폴리오의 총손실분포를 구하거나, 자본·재보험 요율을 산정할 때 이런 정밀 계산기법이 활용된다.

몬테카를로 대비 정확하고 안정적인 꼬리 산출이 가능하다는 점에서, K-ICS 내부모형·재보험 적정성 검토의 보조 도구로 의미가 있다. 계산량이 큰 경우 본문의 근사식이 실무적 절충안이 된다.