배경위험

1. 개요 — 여러 위험을 동시에 다루기 Introduction

최근에 발전한 배경위험(background risk)의 경제이론은 위험회피적 행위자가 여러 개의 위험원(source of risk)을 동시에 어떻게 관리해야 하는지를 다룬다. 이는 오래된 문제로, Samuelson이 처음 제기했다. 그는 점심 동료들에게 “동전을 한 번 던져 당신이 지정한 면이 안 나오면 내가 200달러를 주고, 나오면 당신이 100달러를 낸다”는 내기를 제안했다. 한 저명한 학자는 이렇게 답했다. “나는 내기하지 않겠다. 100달러를 잃는 고통이 200달러를 얻는 기쁨보다 크게 느껴지기 때문이다.”

이 이야기는 독립적인 위험들이 서로 보완적(complementary)인 것처럼 보이게 한다. 그러나 Samuelson은 이어서, 따로따로는 받아들이기 싫은 내기 100개를 받아들이는 것이 왜 최적이냐고 물었다. 학자는 “한 번으로는 평균의 법칙이 내게 유리하게 작용할지 확신할 수 없지만, 100번 던지면 큰 수의 법칙 덕에 아주 좋은 내기가 된다”고 답했다.

2. 위험은 보완재인가 대체재인가 Substitutes, not Complements

큰 수의 법칙이 말하는 것은, 위험을 더하는 것이 아니라 나누는 것(subdividing)이 분산투자로 위험을 씻어낸다는 점이다. 독립적인 위험 x₁, …, x_n이 동일분포일 때, 평균은 기대값으로 수렴한다.

보험회사는 포트폴리오에 독립적인 위험을 더 많이 받아들인다고 해서 총위험을 줄이지 못한다. 이 논의에서 남는 결론은, 독립적인 위험들은 오히려 대체재(substitute)로 보아야 한다는 것이다. 즉 하나의 위험이 존재하면 다른 어떤 독립적 위험에 대한 수요에 부정적 영향을 미쳐야 한다. 이미 떠안고 있는 (보험 불가능한) 위험이 있으면, 추가적인 위험을 더 꺼리게 된다는 뜻이다.

3. 적정 위험회피 Proper Risk Aversion

Pratt와 Zeckhauser는 적정 위험회피(proper risk aversion) 개념을 정의했다. 위험회피가 “적정하다”함은, 따로 떼어 보면 각각 바람직하지 않은 두 복권(lottery)이 함께 고려할 때도 바람직하지 않다는 성질이다. 즉,

여기서 y는 바람직하지 않은 배경위험으로 해석된다. 이 배경위험 y를 부 w₀에 더하는 것이 위험 x에 대한 태도에 미치는 효과는, 효용함수를 다음과 같은 간접효용함수(indirect utility function) v로 변환하는 것과 같다.

Kihlstrom·Romer·Williams, 그리고 Nachman은 이 간접효용함수의 성질을 분석했다. 예컨대 v는 u로부터 체감 절대위험회피(DARA)는 물려받지만 체증 절대위험회피는 물려받지 않는다. 또한 일반적으로, 더 위험회피적인 행위자가 배경 부가 불확실할 때 항상 더 많은 보험을 구매한다는 것이 (Arrow–Pratt 의미에서) 성립하지 않는다.

4. Ross의 위험회피 비교와 영(zero)평균 배경위험 Ross's Comparison & Zero-mean Risk

위 역설을 풀기 위해 Ross는 Arrow–Pratt보다 더 제한적인 비교 위험회피 개념을 정의했다. 효용 u₁이 u₂보다 Ross 의미로 더 위험회피적이라 함은, 양의 스칼라 λ와 감소하고 오목한 함수 φ가 존재하여 다음이 성립하는 것이다.

이 조건은 v₁이 Arrow–Pratt 의미에서 v₂보다 더 오목함을 함의한다. Pratt는 이 문제의 필요충분조건을 유도했다.

적정 위험회피는 “바람직하지 않은” 배경위험을 다룬다. Gollier와 Pratt는 그 대신 영평균 위험(zero-mean risk)—바람직하지 않은 위험의 한 부분집합—의 경우를 분석했다. 영평균 배경위험이 다른 임의의 독립적 위험에 대한 회피를 높일 필요충분조건은 다음과 같다.

이 조건을 만족하는 효용함수를 위험 취약(risk vulnerable)하다고 한다. 이는 적정 위험회피보다 약한(weaker) 개념이다.

5. 위험 취약성·신중성·표준 위험회피 Risk Vulnerability, Prudence, Temperance

위험 취약성의 충분조건 하나는, 절대위험회피지수가 부에 대해 일관되게 감소(decreasing)하고 볼록(convex)한 것이다. 절대위험회피지수는 다음과 같이 정의된다.

또 다른 충분조건은 위험회피가 Kimball이 정의한 표준(standard)일 때이다. 위험회피가 표준이라 함은 절대위험회피와 절대 신중성(absolute prudence)이 둘 다 부에 대해 감소하는 것이다. Kimball은 절대 신중성 지수를 다음과 같이 정의했는데, 이는 한계효용의 볼록성 정도를 측정한다.

신중성(prudence) 개념은 무엇보다도, 미래 소득위험이 소비자의 최적 저축 수준에 미치는 영향을 측정하는 데 유용하다(예비적 저축, precautionary saving).

6. 보험 수요와 자산 선택에 대한 함의 Implications for Insurance and Portfolio Choice

보험으로 처리할 수 없는 배경위험의 존재는 다음 두 가지 현실을 설명하는 데 자주 동원된다. (1) 소비자가 보험 가능한 위험을 보장하기 위해 자기부담금이 낮은 보험을 굳이 구매하는 이유, 그리고 (2) 금융시장에 큰 주식 프리미엄(equity premium)이 있음에도 인구의 소수만이 주식을 보유하는 이유이다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 배경위험 (background risk) — 보험으로 없앨 수 없는, 부에 영향을 주는 외생적·불가피한 위험(예: 소득·건강 위험).
• 위험회피 (risk aversion) — 같은 기대값이면 확실한 것을 불확실한 것보다 선호하는 성향. 오목한 효용함수로 표현.
• 절대위험회피지수 A(z) — 위험을 싫어하는 정도 −u″/u′. 부에 따라 감소하면 DARA.
• 신중성 (prudence) — 한계효용의 볼록성(u′′′>0)에서 나오는 성질. 미래 위험에 대비한 예비적 저축을 낳음. 지수 P = −u′′′/u″.
• 절제 (temperance) — 4차 도함수와 관련된 성질로, 배경위험이 있을 때 추가 위험을 더 꺼리게 함.
• 적정 위험회피 (proper risk aversion) — 각각 싫은 두 위험이 합쳐도 싫은 성질(Pratt–Zeckhauser).
• 위험 취약성 (risk vulnerability) — 영평균 배경위험이 다른 독립 위험에 대한 회피를 높이는 성질. 적정 위험회피보다 약함.
• 간접효용함수 v(z) — 배경위험 y를 평균해 얻은 효용 Eu(z+y). 원래보다 더 오목해질 수 있음.
• 큰 수의 법칙 (law of large numbers) — 위험의 평균이 기대값으로 수렴. 합이 아니라 평균이 안정됨.
• 주식 프리미엄 (equity premium) — 주식이 무위험 자산보다 평균적으로 높은 초과수익. 그 크기에 비해 주식 보유가 적은 “퍼즐”.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

배경위험은 보험으로 다룰 수 없는, 늘 깔려 있는 위험(예: 거시경제·인플레이션·자산가치 변동)을 가리킨다. 본문이 보이듯 배경위험이 존재하면 위험회피적 주체의 보험수요와 최적 보장이 달라진다. 국내에서도 가입자의 자산·소득 위험이 보험가입 행태에, 보험사의 거시위험이 자본정책에 영향을 준다.

보험사 관점에서 배경위험은 분산·헤지가 어려운 시스템적 위험으로, K-ICS 시장·금리위험과 스트레스 시나리오에서 다뤄진다. 모든 위험을 개별보험으로 전가할 수 없다는 본문의 통찰이, 자본으로 흡수해야 할 위험의 존재를 설명한다.