복합 포아송 빈도모형 (Compound Poisson Frequency Models)

1. 개요 — 기초 빈도분포 복습 Basic counting distributions

이 표제어는 보험 모형화에 쓰이는 주요 복합 포아송형 이산 빈도분포들을 다룬다. 이산 계수분포는 일정 기간의 클레임 건수를 기술하는 데 쓰인다. 본론에 앞서 포아송분포와 그 친척들을 복습한다.

포아송분포 — 보험 모형화에서 가장 중요한 분포 중 하나. 평균 λ의 확률함수와 확률생성함수(pgf)는

이고 평균과 분산이 모두 λ다.

기하분포 — 확률함수, 분포함수, pgf는

이며(β>0), 평균 β, 분산 β(1+β)다.

음이항분포(폴리아 분포) — 확률함수와 pgf는

이다(r, β>0). r=1이면 기하분포, r이 정수이면 흔히 파스칼분포라 부른다.

로그(로그급수)분포 — 확률함수와 pgf는

이다. 여기서 0 < q = β/(1+β) < 1. k=0이 없는, 1부터 시작하는 분포라는 점에 주의.

2. 복합 포아송 빈도분포 Compound Poisson distributions

합성(compound) 분포란 pgf가 P(z) = P₁(P₂(z)) — P₁, P₂가 각각 pgf — 의 형태인 분포다. P₁이 1차(primary), P₂가 2차(secondary) 분포다. 식 (2)에서, 복합 포아송 분포는 pgf가

인 분포다. 합성분포는 자연스럽게 등장한다 — 1차 pgf P₁을 갖는 계수변수 N과, N과 독립인 i.i.d. 변수열 M₁, M₂, …(pgf P₂)에 대해 확률합 K = M₁+···+M_N의 pgf는 N을 조건으로 잡으면 P(z)=P₁[P₂(z)]임이 확인된다(식 12). 보험 맥락에서는 N을 포트폴리오의 사고 건수, M_k를 각 사고에서 나온 클레임 수(부상자 수, 차량 대수 등)로 읽으면 K는 포트폴리오의 총클레임 건수가 된다 — 물론 이런 해석이 꼭 필요하지는 않고, 자료에 잘 맞는다는 사실 자체가 사용의 충분한 정당화일 수 있다.

복합 포아송 분포의 수치는 판여(Panjer)의 재귀공식

으로 쉽게 얻는다(포아송 1차분포면 a=0, b=λ). 같은 재귀는 총손실 S = X₁+···+X_K의 분포 계산에도 쓸 수 있다 — 총손실의 pgf는 P_S(z) = P₁(P₂(P_X(z)))이고(식 15), P₂가 이항·포아송·음이항이면 먼저 (13)으로 pgf P₂(P_X(z))의 분포를 구한 뒤, 그 결과를 M 자리에 넣어 다시 (13)을 돌리면 S의 분포가 나온다 — 재귀의 2단 적용이다.

3. 대표적 예 Examples

예 1. 음이항분포는 복합 포아송이다. 음이항 pgf를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다:

식 (9)와 비교하면 P₂는 로그분포의 pgf다 — 즉 음이항은 "포아송 건수의 로그분포 합"이다. 이 성질은 모수가 다른 음이항분포들의 합성곱에 매우 유용하다: 포아송–로그 표현을 곱하면, 결과가 다시 복합 포아송 — 2차 분포가 로그분포들의 가중평균인 — 임이 바로 보인다.

예 2. 네이만 A형 분포 — 포아송 개수의 포아송 합:

예 3. 포아송-역가우스 분포 — 포아송의 역가우스 혼합으로 얻어지며, pgf는

예 4. 일반화 포아송–파스칼 분포 — pgf는 식 (10)에서

인 분포(2차 분포는 확장 절단 음이항). 특수경우가 많다 — 포아송–파스칼(r>0), 포아송-역가우스(r=−0.5), 폴리아–에플리(r=1), 그리고 r→0의 극한에서 음이항(이때 (21)이 로그급수 pgf가 된다), r→∞·β→0 (rβ=λ₁ 고정)의 극한에서 네이만 A형이 나온다.

4. 왜도의 비교 Skewness

이 분포들의 3차 중심적률을 처음 두 적률(µ, σ²)로 나타내면 흥미로운 비교가 된다:

즉 평균과 분산을 고정하면 왜도는 마지막 항의 계수로만 달라진다. 일반화 포아송–파스칼은 r이 −1에 임의로 가까울 수 있으므로(c = (r+2)/(r+1) → ∞) 왜도를 임의로 크게 만들 수 있다.

예제 같은 평균·분산, 다른 꼬리

µ=10, σ²=20인 빈도 자료에 음이항과 네이만 A형을 적합했다. 두 모형의 µ₃를 비교하라.

두 모형은 평균·분산이 같아도 음이항의 왜도가 더 크다 — 즉 대형 건수 해의 확률을 더 무겁게 본다. 적률 두 개까지만 맞춘 적합이 꼬리 위험 평가에서는 다른 답을 줄 수 있다는 경고이며, 셋째 적률(또는 우도)까지 보고 모형을 골라야 하는 이유다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 확률생성함수 (pgf) — P(z)=E[z^N]. 이산분포의 정보를 담는 변환으로, 합성은 pgf의 합성으로 나타난다.
• 과대산포 (overdispersion) — 분산 > 평균. 포아송으로는 못 담고 음이항 등 혼합·합성 모형이 필요.
• 혼합 vs 합성 — 모수를 흔드는 것(혼합)과 개수를 합치는 것(합성). 음이항은 둘 다로 표현된다(감마 혼합 포아송 = 포아송–로그 합성).
• 판여 재귀 (Panjer recursion) — (a,b)족 1차분포에 대한 합성분포의 점화식. 빈도·총손실 모두에 적용.
• 로그분포 — k≥1에서 q^k/k에 비례하는 이산분포. 음이항의 "벽돌".
• 절단 분포 (truncated) — 특정 값(여기서는 0)을 제거하고 재규격화한 분포.
• 왜도 (skewness) — 분포의 비대칭. µ₃로 측정하며 꼬리 위험의 1차 지표.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

사고건수 분포의 선택 — 포아송이냐, 그보다 퍼진 분포냐 — 는 한국에서 가장 큰 개인보험 시장인 자동차보험에서 일상적으로 마주치는 문제다. 운전자별 위험도가 같지 않으므로 전체 사고건수는 포아송보다 분산이 큰 과분산을 보이며, 이를 운전자 간 이질성(감마 분포)으로 설명하면 음이항분포가 나온다는 본문의 혼합 포아송 논리가 국내 데이터에서도 그대로 확인된다. 보험개발원이 집적하는 전 업계 사고통계, 회사별 요율 분석 모두 빈도분포의 적합과 과분산 점검에서 출발한다.

이 이질성 논리의 제도적 구현이 자동차보험의 우량할인·할증(보너스-말러스) 제도다. 사고 경력에 따라 할인할증등급을 조정하는 체계는 "관찰된 사고건수로 운전자의 숨은 위험도(λ)를 갱신한다"는 혼합 포아송–베이즈 신뢰도 이론의 응용이며, 음이항 모형은 그 표준적인 수리 기반이다. 요율산정 실무에서는 빈도를 포아송 또는 음이항 회귀(GLM)로, 심도를 감마 등으로 적합해 곱하는 빈도·심도 분리 GLM이 자동차·장기보험 공히 표준 도구로 정착했고, 연령·차종·지역 같은 요율변수의 상대도 산출이 이 틀에서 이루어진다. 본문이 다룬 (a,b) 재귀 클래스의 분포들(포아송·음이항·이항)이 GLM의 오차 분포 후보군과 사실상 일치한다는 점은 이론과 실무의 행복한 수렴이다.

본문 2~3장의 복합 포아송 빈도분포(포아송–로그정규가 아닌 포아송–로가리듬 등 "묶음 도착" 구조)는 클레임이 무리지어 발생하는 상황 — 한 사고에 다수 피해자, 한 태풍에 다수 계약 — 의 모형화에 대응한다. 국내에서는 풍수해·한파 같은 재해성 사고의 동시다발 청구, 실손의료보험의 비급여 항목 집중 청구처럼 사건 단위와 청구 단위가 다른 데이터에서 이런 계층 구조가 나타나며, Cat 모형과 집적위험 관리가 그 실무적 대응이다. IFRS17·K-ICS(2023) 체계에서도 빈도 가정은 최선추정 현금흐름과 보험리스크 계량의 입력으로, 가정의 산출 근거와 과분산 처리 방식은 계리적 가정 문서화·외부검증의 점검 항목에 들어간다.