순트–주얼 분포족
1. 배경: 복합분포와 총손실 Aggregate Claims
일정 기간 동안 발생하는 보험 클레임(사고) 건수를 N이라 하고, 그 확률생성함수(pgf)를 P(z) = E[zN]로 쓴다. 각 클레임의 크기(심도) X1, X2, …는 공통 확률함수 fX(x)를 갖는 비음(0 이상) 확률변수다. 이때 그 기간의 총손실(aggregate claims)은 다음과 같다.
클레임 크기는 클레임 건수에 전혀 의존하지 않으며, Xi 들은 서로 독립이라고 가정한다. 그러면 총손실 S의 확률함수는 건수별 컨볼루션(convolution)의 가중합으로 주어진다.
여기서 fX*n은 fX의 n중 컨볼루션이다. 라플라스 변환을 쓰면 더 간단하게 다음과 같이 표현된다.
보험사의 한 해 총보험금 S는 “몇 건이 터질지”(건수 N)와 “터지면 얼마짜리인지”(크기 Xi)가 겹쳐서 정해진다. 이렇게 랜덤한 개수만큼 더해 만든 분포를 복합분포(compound distribution)라 한다. 문제는 컨볼루션 합을 직접 계산하기가 어렵다는 점인데, 아래의 재귀식이 이를 해결한다.
2. 파너 클래스와 파너 재귀 The Panjer Class and Recursion
클레임 건수 분포가 좋은 성질을 가지면, 그 성질을 이용해 총손실 분포를 손쉽게 계산할 수 있다. 대표적인 것이 다음 재귀관계를 만족하는 이른바 파너 클래스(Panjer class)다 (단, p0 > 0).
이 클래스에 속하는 분포는 포아송 · 이항 · 기하 · 음이항 분포이며, 각각의 (a, b) 값과 pgf는 아래 표에 정리되어 있다. Panjer는 클레임 크기 분포가 산술적(0 이상의 정수 위에 정의)일 때 총손실 분포가 다음 재귀식을 만족함을 보였다.
이 식을 파너 재귀(Panjer recursion)라 부른다. 출발값
에서 시작하여 차례로 fS(1), fS(2), …를 구한다. 클레임 크기 분포가 연속형이면 위 재귀식의 연속형 아날로그는 다음과 같은 제2종 볼테라(Volterra) 적분방정식이 된다.
실제로는 이 적분방정식을 수치적분으로 직접 푸는 대신, 클레임 크기 분포를 이산화(discretization)하여 산술형 재귀식을 그대로 적용하는 단순한 방법이 흔히 쓰인다. 최대보상한도가 있어 분포가 일부 연속·일부 이산이거나 그 밖의 특이점이 있을 때에도 이 이산화 아이디어는 쉽게 활용된다.
| 분포 | a | b | P(z) |
|---|---|---|---|
| 포아송 | 0 | λ | eλ(z−1) |
| 이항 | −q/(1−q) | (m+1)q/(1−q) | {1+q(z−1)}m |
| 기하 | β/(1+β) | 0 | {1−β(z−1)}−1 |
| 음이항 | β/(1+β) | (r−1)β/(1+β) | {1−β(z−1)}−r |
3. 순트–주얼 클래스의 정의 The Sundt–Jewell Class
Sundt와 Jewell은 파너 재귀의 아이디어를 한 단계 확장했다. 그들은 (a, b) 재귀관계가 n = 1부터가 아니라 n = 2부터만 성립해도 된다고 보았다. 즉
를 만족하는 건수 분포들을 모은 것이 이른바 순트–주얼 클래스(Sundt–Jewell class)다. Sundt와 Jewell은 파너 재귀를 이 클래스에까지 확장했다. 이 분포족은 파너 클래스의 구성원에 더해, 그에 대응하는 영절단(zero-truncated) 분포와 영수정(zero-modified) 분포까지 포함한다.
파너 클래스는 n=1에서도 재귀를 강제하므로 p0·p1 비율이 분포 모양에 묶여 버린다. 순트–주얼 클래스는 n=1 조건을 풀어 p0를 자유롭게 정할 수 있게 한다. 그 결과 “0건의 확률만 따로 손본” 영수정 분포까지 같은 재귀로 다룰 수 있다.
4. 영수정·확장 분포와 특성화 Zero-modified and Extended Distributions
영수정 분포는 p0를 임의로 고른 뒤, n = 1을 제외한 모든 n에서 (a, b) 재귀가 성립하도록 만든 분포다. Sundt와 Jewell은 영수정 음이항 분포의 모수 범위를, 기존의 0 < r < ∞에서 더 넓은 −1 < r < ∞까지 확장할 수 있음을 보였다. 이 분포가 바로 확장 절단 음이항 분포(ETNB; extended truncated negative binomial)다. pgf는 다음 형태(절단·수정 전 모분포 기준)를 가진다.
r = 1인 특수한 경우는 기하분포이고, r → 0이며 p0 = 0이면 ETNB는 로그(logarithmic) 분포가 된다. Willmot의 논문은, (적률이 무한대가 되는 특이한 경우를 제외하면) 위 순트–주얼 재귀 (n≥2)를 만족하는 분포는 사실상 이들뿐임을 보였다.
영수정 분포는 관측된 보험계약 건수가 표준분포의 기대치보다 많거나 적을 때 특히 유용하다. 예컨대 “적어도 한 건의 클레임이 발생한 사고”만을 사고로 정의해 사고당 클레임 수를 모형화할 때에는 p0 = 0이 되어 영절단 분포가 자연스럽게 등장한다.
한 보험사가 “클레임이 한 건 이상 난 사고”만 사고로 집계한다. 이때 사고당 클레임 건수 분포의 p0는 얼마인가? 표준 포아송을 쓰지 못하는 이유는?
정의상 사고에는 반드시 한 건 이상이 있으므로 p0 = 0이다(영절단). 표준 포아송은 p0 = e−λ > 0이라 이 상황을 직접 표현하지 못한다. 그러나 순트–주얼 클래스는 n≥2에서만 재귀를 요구하므로, 포아송의 n≥1 형태를 영절단해 만든 분포도 같은 재귀로 총손실을 계산할 수 있다.
5. 더 일반화된 재귀와 총손실 재귀 Generalized Recursion (Panjer (a, b; m))
순트–주얼 아이디어는 한층 더 일반화된다. 재귀관계가 n = m부터 성립한다고 두자.
Hess, Liewald, Schmidt는 이 분포족을 정밀하게 특성화하고, 이를 “차수 m−1의 파너” 또는 Panjer (a, b; m−1) 클래스라 불렀다. 이 결과는 이전에 알려져 있던 여러 결과를 특수한 경우로 포함한다. 이 경우 총손실 분포에 대한 재귀식은 다음으로 일반화된다.
여기서 pn은 클레임 건수 분포의 확률함수다. 합산식의 둘째 항은 “재귀가 아직 성립하지 않는 처음 m개 항”에 대한 보정(correction)으로, 처음 몇 건에서 표준 (a, b) 형태에서 벗어난 만큼을 직접 더해 준다. 클레임 크기가 연속형일 때에도 같은 보정항을 갖는 적분방정식 형태의 아날로그가 성립한다.
기본 파너 재귀는 “모든 건수에서 (a, b) 규칙이 성립한다”는 가정에 기댄다. 순트–주얼·일반화 클래스에서는 처음 m개 건수가 그 규칙을 따르지 않으므로, 그 차이 pn − (a + b/n)pn−1을 n중 컨볼루션 fX*n과 함께 따로 더해 “바로잡아” 준다. 나머지 꼬리 부분은 여전히 익숙한 파너 합으로 처리된다.
참고 및 관련 표제어
부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)
- 복합분포 (compound distribution) — 랜덤한 건수 N만큼 클레임 크기 Xi를 더한 총손실 S의 분포.
- 확률생성함수 pgf (probability generating function) — P(z) = E[zN]. 이산분포의 성질을 다루기 편한 변환.
- 컨볼루션 (convolution) — 독립 확률변수의 합의 분포를 구하는 연산. fX*n은 n개의 합의 분포.
- 파너 클래스·파너 재귀 (Panjer class / recursion) — pn = (a + b/n)pn−1 (n≥1)을 만족하는 건수 분포와, 그에 따른 총손실 계산 재귀식.
- 순트–주얼 클래스 (Sundt–Jewell class) — 같은 재귀가 n≥2에서만 성립하도록 완화한 건수 분포족(포아송·이항·기하·음이항 + 영절단·영수정 형태).
- 영절단 분포 (zero-truncated) — p0 = 0으로 두어 “0건”을 배제한 분포.
- 영수정 분포 (zero-modified) — p0를 임의 값으로 자유롭게 조정한 분포.
- ETNB (확장 절단 음이항 분포) — 음이항의 모수를 −1 < r < ∞로 확장한 분포. r=1이면 기하, r→0이면 로그 분포.
- 이산화 (discretization) — 연속형 클레임 크기 분포를 정수격자 위 분포로 근사해 산술형 재귀를 쓸 수 있게 하는 기법.
- Panjer (a, b; m) 클래스 — 재귀가 n≥m부터 성립하는 더 일반화된 분포족(차수 m−1의 파너).
한국보험시장 현황 Korea Market Practice
순트–주얼 분포족은 (a,b,k) 형태로 재귀를 일반화해, 0 부근을 수정하거나 더 유연한 빈도분포를 만든다. 국내에서 무사고(0건) 비중이 큰 자동차·실손 데이터를 다룰 때 영수정(zero-modified) 빈도분포가 필요한데, 이 계열이 그러한 모형화를 재귀계산과 함께 제공한다.
유연한 빈도분포는 경험요율·할인할증 산정과 총손실분포 계산의 적합도를 높여, 요율 세분화와 자본 산출의 정밀도를 개선한다.
대부분 가입자가 무사고인 자료에서는 0건을 별도로 다루는 영수정 분포가 유용하다. 순트–주얼 분포족이 이를 재귀계산과 함께 지원한다.