암메터 과정

1. 배경 — 규모 변동과 클레임 건수 과정 Size Fluctuation

보험 포트폴리오에서 클레임 건수를 모형화하는 데 쓰이는 중요한 점과정(point process) 중 하나가 (동질) 포아송 과정이다. 포아송 과정은 정상과정(stationary process)으로, 같은 길이의 모든 기간에서 포트폴리오의 평균 규모가 동일함을 함의한다. 그러나 실제로는 포트폴리오의 규모가 시간에 따라 늘거나 줄 수 있다. 보험에서 이러한 상황을 규모 변동(size fluctuation)이라 부른다. 이런 규모 변동을 기술하기 위해, 계리사들은 클레임 건수 과정으로 일반화된 점과정을 사용해 왔다.

2. 비동질 포아송 과정과 콕스 과정 Inhomogeneous Poisson and Cox Processes

규모 변동을 모형화하는 가장 단순한 방법은 비동질 포아송 과정(inhomogeneous Poisson process)이다. A(t)가 A(0) = 0이고 모든 t < ∞에 대해 A(t) < ∞인 우연속·비감소 함수(강도측도, intensity measure)라 하자. 점과정 N(t)가 독립증분을 가지며, 임의의 0 ≤ s < t에 대해 N(t) − N(s)가 평균 A(t) − A(s)의 포아송 확률변수이면, N(t)를 강도측도 A를 갖는 비동질 포아송 과정이라 한다. 강도 λ의 포아송 과정은 A(t) = λt인 특수한 경우다. 비동질 포아송 과정은 시간의존적 사고율, 곧 규모 변동을 기술할 수 있다.

비동질 포아송 과정을 한 단계 더 일반화한 것이 Cox(1955)가 도입한 콕스 과정(Cox process)으로, 이중확률 포아송 과정(double stochastic Poisson process)이라고도 한다. 대략적으로, 콕스 과정은 혼합 비동질 포아송 과정이다. 즉 점과정 N(t)가, 무작위 측도 A = {A(t)}의 한 실현값 A가 주어졌다는 조건 아래에서 강도측도 A를 갖는 비동질 포아송 과정이면 N(t)를 콕스 과정이라 한다. 많은 콕스 과정의 예에서 무작위 측도 A는 다음 표현을 갖는다.

이 표현이 존재할 때, 무작위 과정 {λ(s)}를 강도과정(intensity process)이라 한다.

3. 혼합 포아송 과정 Mixed Poisson Process

혼합 포아송 과정(mixed Poisson process)은 모든 시각 s ≥ 0에서 λ(s) = L인 콕스 과정의 한 예다. 여기서 L은 분포 B(λ) = Pr[L ≤ λ]를 갖는 양의 확률변수이며, 따라서 A(t) = L t이다.

이때 확률변수 L을 혼합 포아송 과정의 구조변수(structure variable)라 하고, N(t)는 다음의 혼합 포아송 분포를 갖는다.

클레임 건수 과정 모형화에 쓰이는 혼합 포아송 과정의 전통적 예는 구조변수 L이 감마 확률변수인 폴리아 과정(Pólya process)으로, 이 경우 N(t)는 음이항분포(negative binomial distribution)를 따른다. 그러나 혼합 포아송 과정은 여전히 정상과정이라는 한계가 있다.

4. 암메터 과정의 정의 Definition of the Ammeter Process

정상성이 없으면서도 다루기 쉬운 콕스 과정을 얻기 위해, Ammeter(1948)는 강도를 다음과 같이 둔 간단한 콕스 과정의 예를 고려했다.

여기서 Δ > 0은 상수이고, {L_k; k = 0, 1, 2, …}는 음이 아닌 독립 동일분포(i.i.d.) 확률변수의 수열이다. (3)과 같은 강도과정 λ(t)를 갖는 콕스 과정을 암메터 과정(Ammeter process)이라 한다.

암메터 과정과 혼합 포아송 과정은 강도과정의 구조가 비슷하다. 그러나 후자는 모든 시각에서 같은 강도를 갖는 반면, 전자는 구간 [kΔ, (k+1)Δ) (k = 0, 1, 2, …)마다 강도가 변한다. 더 나아가 둘은 분포적 성질이 다르며, 클레임 건수 과정으로 사용할 때 총 클레임액과 파산확률에 서로 다른 영향을 준다.

5. 복합과정과 평균·분산 비교 Compound Process: Mean and Variance

포트폴리오에서 시간 t까지의 총 클레임액을 다음 복합과정으로 나타낸다.

여기서 클레임 건수 과정 {N(t)}는 클레임 크기와 독립이고, 클레임 크기 X₁, X₂, …는 i.i.d.로 μ = EX₁ > 0, σ² = Var(X₁) > 0이라 가정한다. 클레임 건수 과정 N(t)가 혼합 포아송 과정일 때와 암메터 과정일 때의 총 클레임액을 각각 Y_M(t), Y_A(t)로 쓰고, 각각 복합 혼합 포아송 과정, 복합 암메터 과정이라 부른다. 두 경우에서 L_k의 공통분포가 구조변수 L의 분포와 같으며 E(L₁) = E(L) = μ_L > 0이라 하자. 그러면 두 과정의 평균은 같다.

그러나 큰 t에 대해 분산은 크게 다르다.

여기서 f(t) ∼ g(t)는 t → ∞에서 f(t)/g(t) → 1을 뜻한다. 식 (5)와 (6)이 보여주듯, 혼합 포아송 과정은 변동성이 큰 정상 클레임 건수 과정을(분산이 t²로 증가), 암메터 과정은 변동성이 작은 비정상 클레임 건수 과정을(분산이 t로 증가) 기술한다.

6. 파산확률 비교 Comparison of Ruin Probabilities

복합 혼합 포아송 과정은 복합 암메터 과정보다 "더 위험"하다. 즉 전자 모형의 파산확률이 후자보다 크다. 단위시간당 보험료율 c > 0, 초기자본 u > 0인 보험사에서 두 모형의 파산확률을

ψ_M(u) = Pr{Y_M(t) > ct + u, 어떤 t > 0에 대해},   ψ_A(u) = Pr{Y_A(t) > ct + u, 어떤 t > 0에 대해}

로 두자. 구조변수 L에 대해 조건을 붙이면 다음을 쉽게 알 수 있다.

부등식 (9)는, Pr{L ≥ c/μ} > 0이면 초기자본이 아무리 커도 복합 혼합 포아송 위험모형의 파산확률이 항상 양수임을 함의한다. 예컨대 복합 폴리아 위험모형이 그렇다. 그러나 복합 암메터 위험모형의 파산확률 ψ_A(u)에 대해서는, 경꼬리(light-tailed) 클레임에서의 룬드베리형 지수 상한과 무거운꼬리(heavy-tailed) 클레임에서의 점근식 등, 복합 포아송 위험모형과 유사한 결과들이 여전히 성립한다.

7. 극한과정 Limit Processes

혼합 포아송 과정과 암메터 과정의 또 다른 차이는 t → ∞에서의 극한과정이다. 중심극한정리에 의해 암메터 과정의 총 클레임 Y_A(t)는, 표준화하면 표준정규 확률변수 Z로 분포수렴한다.

반면 혼합 포아송 과정의 총 클레임 Y_M(t)에 대해서는 다음이 성립함을 보일 수 있다.

즉 Y_M(t)/t는 (확정값이 아니라) 무작위 극한 μL로 거의 확실하게 수렴한다. 이것이 암메터 과정(확정적 정규극한)과의 본질적 차이를 보여준다.

요약하면, 암메터 과정은 비정상 콕스 과정(또는 비정상 혼합 비동질 포아송 과정)의 한 예다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 암메터 과정 (Ammeter process) — 강도가 길이 Δ인 구간마다 i.i.d. 무작위값 L_k로 일정한, 비정상 콕스 과정.
• 콕스 과정 (Cox process) / 이중확률 포아송 — 강도 자체가 무작위 과정인, 혼합 비동질 포아송 과정.
• 혼합 포아송 과정 (mixed Poisson process) — 강도 λ(s) = L이 모든 시각에서 같은(한 번만 무작위로 뽑힌) 정상 콕스 과정.
• 비동질 포아송 과정 (inhomogeneous Poisson process) — 강도측도 A(t)가 시간에 따라 변하는 포아송 과정.
• 강도과정 (intensity process, λ(s)) — A(t) = ∫ λ(s) ds로 누적되는 순간 사고율 과정.
• 구조변수 (structure variable, L) — 혼합 포아송에서 포트폴리오의 위험 수준을 결정하는 무작위 강도.
• 폴리아 과정 (Pólya process) — 구조변수가 감마분포인 혼합 포아송 과정. N(t)가 음이항분포.
• 규모 변동 (size fluctuation) — 포트폴리오 규모(위험량)가 시간에 따라 늘거나 주는 현상.
• 복합과정 (compound process, Y(t)) — 클레임 건수만큼 개별 클레임을 합한 총 클레임액 과정.
• 정상성 (stationarity) — 같은 길이 구간의 통계적 성질이 시점에 무관하게 같은 성질. 암메터 과정은 이를 깬다.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

암메터 과정은 구간마다 사고강도 λ가 바뀌는 혼합포아송 클레임 발생모형으로, 위험의 이질성과 시간변동을 함께 담는다. 국내에서 운전자·피보험자마다 사고경향이 다른 이질성, 계절·경기에 따라 변하는 사고율을 모형화할 때 이런 혼합포아송 사고가 바탕이 된다.

이질성을 명시적으로 다루면 신뢰도(경험요율)와 위험분류가 정교해진다. 자동차보험 할인할증, 실손 갱신요율처럼 개인 경험을 반영하는 제도가 암메터 과정류의 이질성 가정 위에 서 있다.