위험가치 (VaR)

1. 개요와 정의 Introduction

위험가치(Value at Risk, VaR)는 어떤 포트폴리오에 대해, 주어진 기간 동안 주어진 신뢰수준에서 예상되는 최대손실이다. 따라서 VaR은 두 개의 모수로 정의된다 — 대상 기간(보통 보유기간(holding period)이라 함)과 신뢰수준(confidence level)이며, 두 값 모두 임의로 선택된다.

VaR은 비교적 최근의 위험측도로, 뿌리는 Baumol까지 거슬러 올라간다. 그는 평균 μ, 표준편차 σ, 사용자의 위험태도를 반영하는 주관적 모수 k를 써서 다음과 같은 위험측도를 제안했다.

‘value at risk’라는 용어 자체는 훨씬 뒤에야 널리 쓰였다. 이 개념은 약 30년간 잠들어 있다가 1990년대 초중반, 주요 증권사들이 개발한 위험측정 모형의 핵심으로 부상했다. 가장 대표적인 것이 1994년 10월 공개된 Morgan의 RiskMetrics 모형이며, 이를 계기로 VaR의 장단점을 둘러싼 광범위한 논쟁이 일어났다. 이후 VaR 추정법은 크게 발전했고, 처음 개발 대상이던 시장위험을 넘어 다른 유형의 금융위험에도 적용되었다.

2. VaR의 장점과 용도 Attractions and Uses of VaR

VaR은 위험측도로서 두 가지 큰 매력이 있다. 첫째, 서로 다른 포지션·위험요인에 걸쳐 일관된 공통 위험척도를 제공한다. 채권 포지션의 위험을 주식 등 다른 포지션의 위험과 비교 가능하고 일관된 방식으로 잴 수 있다. 둘째, 위험요인 간 상관관계를 반영한다. 두 위험이 서로 상쇄되면 VaR은 그 상쇄를 인정해 전체 위험이 낮다고 알려준다.

VaR의 용도는 다양하다. (1) 경영진의 전체 위험목표 설정과 하부 단위로의 위험한도 배분, (2) 내부 자본배분 및 자본요건 결정(위험이 클수록 VaR이 커지고 필요자본도 증가), (3) 보고·공시(연차보고서에 VaR 정보 기재), (4) 의사결정 전 투자기회의 위험 평가, (5) 포트폴리오 전체 헤지전략 수립, (6) 위험을 반영한 트레이더·관리자 보상(이익만 보상하면 발생하는 과도한 위험감수 억제), (7) 유동성·신용·운영위험 등 다른 위험의 측정. 요컨대 VaR은 보다 일관되고 통합적인 위험관리, 위험투명성·공시, 더 나은 전략적 위험관리를 돕는다.

3. VaR에 대한 비판 Criticisms of VaR

대부분의 실무자가 VaR을 받아들였지만, 비판도 거세다. 가장 근본적으로 Taleb·Hoppe 등은 물리과학에 적합한 수학·통계 모형을 사회시스템에 순진하게 이식하는 것을 비판했다. 지능적 행위자의 학습·반응, 시장과정의 비정상성·동적 상호의존성 등 사회시스템의 중요한 특징을 무시하면 VaR 추정이 큰 오차에 노출된다는 것이다.

관련 우려로, VaR 추정이 너무 부정확하다는 점이 있다. Beder 등의 실증에 따르면 서로 다른 VaR 모형이 매우 다른 추정값을 내놓을 수 있다. Marshall·Siegel은 VaR 모형이 상당한 구현위험(implementation risk)에도 노출됨을 보였다. 또 VaR로 위험감수를 통제·보상하면, 트레이더가 위험이 과소·과대평가되는 포지션을 골라 거래할 유인이 생겨 실제 위험이 VaR보다 커진다. Taleb·Danielsson·Basak·Shapiro 등은 VaR이 금융시스템을 불안정화할 수 있다고 경고했다(모두가 VaR을 쓰면 동적 헤징으로 비상관 위험이 갑자기 상관화될 수 있음).

설령 확률밀도함수의 하방꼬리에 기반한 위험측도의 유용성을 인정하더라도, VaR이 최선의 꼬리기반 위험측도인지는 별개의 문제이며 이제는 아니라는 점이 분명해졌다. Artzner·Delbaen·Eber·Heath는 “좋은”(그들 용어로 정합적(coherent)) 위험측도가 만족해야 할 공리를 제시한 뒤, VaR이 이를 만족하지 않음을 발견했다. 특히 가장 두드러진 문제는 준가법성(subadditivity)을 만족하지 못한다는 것이다.

4. VaR 추정 — 예비 고려사항 Preliminary Considerations

VaR을 추정하려면 먼저, 전사(全社) 포트폴리오 수준의 데이터로 작업할지(포트폴리오 수준), 아니면 구성 포지션·상품 수준 데이터에서 포트폴리오 VaR을 추론할지(포지션 수준)를 정해야 한다. 측정단위도 추정법에 영향을 주는데, 손익(P/L), 손실/이익(P/L의 음수), 산술수익률, 기하수익률의 네 가지 기본 단위가 있다.

5. 모수적 접근 (포트폴리오 수준) Parametric Approaches

많은 VaR 추정법은 모수적(parametric)이다. 즉 손익·손실/이익·수익률의 분포함수를 특정한다. 우선 VaR은 다음 식으로 암묵적으로 주어진다(cl은 신뢰수준, 보유기간은 데이터 빈도로 암묵 정의).

정규분포 가정 (정규 VaR)

가장 단순한 가정은 포트폴리오 P/L이 평균 μ_P/L, 표준편차 σ_P/L의 정규분포를 따른다는 것이다. 그러면 손실/이익(L/P)은 평균 −μ_P/L, 표준편차 σ_P/L를 가지며, VaR은 다음과 같다.

여기서 α_cl은 신뢰수준 cl에 대응하는 표준정규 변량(확률밀도의 1−cl이 왼쪽, cl이 오른쪽에 놓이는 값)이다. 예컨대 신뢰수준이 95%면 α_cl = 1.645 이고, P/L이 표준정규이면 VaR도 1.645가 된다. 물론 실무에서는 μ_P/L, σ_P/L를 알 수 없어 추정해야 하며, 이는 VaR 추정량의 정밀도 문제로 이어진다.

동등하게 산술수익률 r(= P/P₋₁ − 1)이 정규분포라 가정할 수도 있으며, 이때 VaR은 다음과 같다(μ_r, σ_r은 산술수익률의 평균·표준편차).

로그정규 가정

위 두 접근은 손실이 임의로 커질 수 있다는 문제가 있다(실제로는 손실이 포트폴리오 가치로 제한됨). 이를 피하려면 기하수익률 R(= ln(P/P₋₁))이 정규분포, 즉 포트폴리오 가치가 로그정규분포라 가정한다. 로그정규 VaR 공식은 다음과 같다.

이 공식은 음의 포트폴리오 가치를 배제하고 VaR이 포트폴리오 가치를 결코 넘지 않게 한다. 다만 정규와 로그정규의 차이는 산술 대 기하 수익률의 차이로 귀결되어, 짧은 보유기간에서는 두 접근이 거의 같은 결과를 준다.

두꺼운 꼬리 — Student-t와 극단값이론

모든 위 접근의 문제는 실증 수익률이 정규보다 큰 초과첨도(excess kurtosis), 즉 ‘두꺼운(fat) 꼬리’를 보인다는 점이다. 정규·로그정규 접근은 참 VaR을 심각하게 과소평가할 수 있다. 해법은 두꺼운 꼬리를 수용하는 분포로 대체하는 것이며, 대표적으로 Student-t 분포가 있다. 자유도 ν의 Student-t는 첨도가 3(ν−2)/(ν−4)(ν > 4)이므로 적절한 ν로 관측첨도(최대 9 정도)를 근사할 수 있다. P/L 단위의 일반화 Student-t VaR은 다음과 같다.

예컨대 99% 신뢰수준에서 정규 VaR은 2.326이지만, 자유도 5(첨도 9)의 Student-t VaR은 3.365로 더 크다. 그밖에 정규혼합분포, 점프확산과정, 안정 Lévy(α-안정) 과정, Cornish–Fisher·Box–Cox 보정, 타원·쌍곡·Pearson·Johnson 분포 적합 등으로 두꺼운 꼬리를 수용할 수 있다.

최근 주목받는 또 하나의 모수적 접근은 극단값이론(extreme-value theory, EVT)으로, 극단적 신뢰수준에서의 VaR 추정에 적합하다. 이는 Fisher–Tippett 정리(잘 행동하는 독립 확률변수의 극단값 분포가 점근적으로 극단값분포로 수렴)에 기반한다. L/P를 측정단위로 쓰면 VaR 공식은 다음과 같다.

여기서 a, b는 위치·척도 모수, ξ는 꼬리의 모양(두께)을 재는 꼬리지수(tail index)다. 두 경우는 각각 일차손실이 초과첨도·정규첨도를 가질 때에 대응한다. EVT의 둘째 갈래는 (높은) 문턱 초과분을 다루며 다음 VaR 공식을 준다(u: 문턱, β > 0: 척도, N_u: 문턱 초과 관측 수).

6. 모수적 접근 (포지션 수준) — 분산·공분산법 Position-Level: Variance–Covariance

포지션 수준에서 가장 직접적인 접근은 분산·공분산법(variance–covariance approach)이며, 대표적 상용 예가 RiskMetrics 모형이다. 수익률이 다변량 정규분포를 따른다는 가정에 기반한다. n개 자산으로 구성된 포트폴리오에서 산술수익률이 평균벡터 μ_r(n×1)와 분산·공분산행렬 Σ_r(n×n)의 다변량 정규를 따르고, 비중벡터 w(합 = 1)가 주어지면, 포트폴리오 수익률의 기대값은 wμ_r, 분산은 wΣ_rw^T이다. 이때 VaR은 다음과 같다.

분산·공분산행렬 Σ_r이 자산 수익률 간 상호작용을 포착한다. 다른 조건이 같다면, 상관계수가 낮아질수록 포트폴리오 VaR이 작아지며, 모든 상관이 1인 특수경우를 빼면 포트폴리오 VaR은 개별 자산 VaR들의 합보다 작다(분산투자 효과). 다변량 정규성이 두꺼운 꼬리라는 실증과 충돌하는 문제는, 다변량 Student-t·쌍곡 등 타원분포 적합, 다변량 EVT, Hull–White 변환, 그리고 코퓰러(copula) 적용 등으로 다룬다. 코퓰러는 주변분포로부터 의존구조를 반영해 결합분포를 주는 함수다.

7. 비모수적 접근 Nonparametric Approaches

비모수적 접근은 가정한 이론분포가 아니라 최근의 경험적 P/L 분포가 스스로 말하게 한다. “가까운 미래가 가까운 과거와 충분히 비슷하다”는 가정에 기반한다(맥락에 따라 타당할 수도, 아닐 수도 있다).

가장 인기 있는 비모수법은 역사적 시뮬레이션(historical simulation)이다. 현재 포트폴리오를 표본기간 내내 보유했다면 관측됐을 P/L ‘관측치’ 집합을 모은 뒤, P/L 히스토그램을 만들어 하방꼬리(하위 cl 비율)를 잘라내는 값의 음수로 VaR을 읽는다. 또는 데이터를 순위화해 적절한 순서통계량(order statistic)을 VaR로 취해 더 직접적으로 추정할 수 있다. 더 정교하게는 비모수적 밀도추정 이론을 적용해 단순 히스토그램 대신 커널추정량(kernel estimator)을 쓰면 더 나은 추정이 된다.

이들 접근의 공통 문제는, 일정 기간보다 오래되지 않은 관측치에 모두 같은 가중치를, 그보다 오래되면 0의 가중치를 준다는 점이다. 이는 사전적으로 비합리적이며 유령효과(ghost effect)를 낳는다(단일 손실 관측치 때문에 VaR이 부당히 높게 유지되다가, n일이 지나 표본에서 빠지면 갑자기 떨어지는 현상). 이를 다루기 위해 연령가중·변동성가중, 필터링 역사적 시뮬레이션(GARCH 틀에서 부트스트랩), 공분산가중 등이 제안되었다. 끝으로 주성분분석·요인분석으로 위험요인을 단순화해 비모수 VaR을 추정할 수도 있다(예: 채권 포트폴리오에서 처음 세 주성분이 분산의 약 95%를 포착).

8. VaR의 신뢰구간 추정 Confidence Intervals for VaR

VaR의 신뢰구간을 추정하는 방법은 많지만, 특히 유용한 것은 분위수-표준오차, 순서통계량, 부트스트랩 접근이다.

분위수-표준오차 접근

가장 단순한 방법으로, 크기 n 표본에서 확률 p로 초과되는 분위수(VaR) x의 표준오차는 근사적으로 다음과 같다(f(x): x의 밀도함수).

이 표준오차로 통상의 방식대로 신뢰구간을 만든다. 예컨대 95% 신뢰구간은 다음과 같다.

구현이 쉽고 큰 표본에서 그럴듯하지만, 점근이론에 의존해 작은 표본에서는 불안정하고, 대칭 신뢰구간이 극단 분위수의 (비대칭인) 참 신뢰구간을 오도한다는 약점이 있다.

순서통계량 접근

더 정교한 방법은 순서통계량 이론을 쓰는 것이다. n개 P/L 관측치 각각을 암묵적 신뢰수준에서의 VaR 추정으로 볼 수 있다. 예컨대 n = 100 이면 95% VaR을 여섯 번째로 작은 P/L 관측치의 음수로 취한다. 일반적으로 VaR은 r번째로 작은 관측치(r번째 순서통계량)의 음수이며 r = n(1−cl) + 1 이다. n개 관측치 중 j개가 고정값 x를 넘지 않을 확률은 이항분포를 따른다.

따라서 표본의 적어도 r개 관측치가 x를 넘지 않을 확률, 즉 r번째 순서통계량의 분포함수 G_r(x)는 다음과 같다.

G_r(x)는 곧 우리 VaR의 분포함수이기도 하다. 그 중앙값(50분위수)이 VaR의 자연스러운 추정이고, 하·상위 분위수가 VaR 신뢰구간을 준다. 이 방법은 계산이 정확하고 스프레드시트로 쉽게 수행되며, 모수적·경험적 어느 분포 F(x)에도 적용되고 작은 표본에서도 쓸 수 있다(다만 작은 표본 추정은 덜 정밀).

부트스트랩 접근

크기 n 표본에서 복원추출로 같은 크기의 새 표본을 뽑아(어떤 관측치는 여러 번, 어떤 것은 한 번도 안 뽑힘) 역사적 시뮬레이션으로 VaR을 추정하는 과정을 M번 반복한다. 이 M개의 VaR 추정 표본분포의 분위수로 신뢰구간을 얻는다. 구현이 쉽고 점근·모수 이론에 의존하지 않지만, 데이터가 독립이라는(흔히 부적절한) 가정이 주된 한계다(GARCH로 동적 요인을 다룬 뒤 잔차를 부트스트랩하는 등 보완 가능).

9. 기대부족액(ES)과 그 밖의 쟁점 Expected Shortfall and Other Issues

VaR이 준가법성을 만족하지 못한다는 점은, 정합성을 만족하는 꼬리기반 위험측도로의 전환을 촉발했다. 가장 두드러진 대안이 VaR을 초과하는 손실의 평균, 즉 기대꼬리손실·기대부족액(expected tail loss / expected shortfall, ES)이다.

ES는 손실분포 꼬리를 평균하므로 VaR이 무시하는 “문턱 너머 손실의 심도”를 반영하고, 준가법성을 만족하여 정합적이다. 동등하게 ES는 신뢰수준 이상의 VaR을 적분한 평균으로도 쓸 수 있다.

한편 본문이 지나치거나 생략한 중요한 VaR 쟁점도 많다. 변동성·상관·꼬리지수 등 모수추정, 위험모형의 백테스팅(검증), 옵션 포트폴리오 VaR 추정을 위한 델타-감마·이차 근사, 시뮬레이션법, 옵션·에너지·보험·유동성·연금 위험 등으로의 전문 응용, 규제상 활용(과 오용), 그리고 증분 VaR·구성요소 VaR(포지션 변화에 따른 VaR 변화, 포트폴리오 VaR의 구성요소 분해)의 추정·활용 등이다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• VaR (value-at-risk) — 주어진 보유기간·신뢰수준에서 예상되는 최대손실. 손실분포의 분위수.
• 보유기간 (holding period)·신뢰수준 (confidence level) — VaR을 정의하는 두 모수. 위험을 보는 기간과, 손실이 그 안에 들 확률.
• 준가법성 (subadditivity) — 합친 포지션 위험이 개별 위험의 합을 넘지 않는 성질. VaR은 일반적으로 이를 위반.
• 정합적 위험측도 (coherent risk measure) — 단조성·이동불변성·양의 동차성·준가법성을 모두 만족하는 위험측도(Artzner 외).
• 기대부족액 (expected shortfall, ES)·기대꼬리손실 (ETL) — VaR을 초과하는 손실의 평균. 꼬리 심도를 반영하며 정합적.
• 모수적 vs 비모수적 추정 — 분포를 특정해 추정(정규·t·로그정규) vs 경험분포로 추정(역사적 시뮬레이션·커널).
• 분산·공분산법 (variance–covariance) — 다변량 정규 가정에 기반한 포지션 수준 VaR(RiskMetrics).
• 초과첨도·두꺼운 꼬리 (excess kurtosis / fat tails) — 극단손실이 정규보다 잦은 현상. 정규 VaR이 위험을 과소평가하는 원인.
• 극단값이론 (extreme-value theory) — 극단 신뢰수준 VaR 추정에 쓰는 이론. 꼬리지수 ξ로 꼬리 두께를 잼.
• 순서통계량 (order statistic)·부트스트랩 (bootstrap) — VaR 점추정·신뢰구간을 비모수적으로 얻는 방법.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

위험가치(VaR)는 한국 보험 규제의 핵심 계량 기준으로 자리 잡았다. K-ICS는 보험사가 향후 1년간 99.5% 신뢰수준의 손실을 자본으로 견딜 수 있어야 한다고 요구하는데, 이는 1년 99.5% VaR 기반 설계 철학이다. 이는 국제보험감독자협의회(IAIS)가 권고하는 수준이며, EU 솔벤시 II와 동일한 기준이다. K-ICS의 요구자본 산출은 각 리스크 모듈별 VaR 충격을 상관 행렬로 집계하는 방식으로 이루어진다.

그러나 99.5% VaR의 한계는 실무에서도 인식된다. VaR은 꼬리 손실의 크기(심도)가 아니라 경계값만 측정하므로, 꼬리가 두꺼운 분포(heavy tail)를 가진 위험—거대재해, 극단 금리 변동—에서 과소 평가가 발생할 수 있다. 이를 보완하기 위해 일부 보험사는 내부적으로 TVaR(Tail VaR, 또는 CVaR·ES)를 병행 산출한다. IFRS17의 RA(위험조정) 역시 75~90% 신뢰수준 VaR로 산출하는 경우가 많아, K-ICS VaR 99.5%와 IFRS17 RA VaR 75~90% 사이의 일관성을 관리하는 것이 계리 실무의 과제가 된다.

금융투자 분야에서 VaR은 국내 은행·증권사에서도 시장리스크 측정의 표준 도구로 사용된다. 보험사의 투자자산(주식·채권·부동산)에 대한 시장리스크 측정에도 VaR이 적용되며, K-ICS 시장위험 요구자본은 금리 충격 시나리오를 VaR 관점으로 재해석한 표준 충격값으로 산출한다. 금리 상승과 하락 양방향 충격을 별도로 산출하여 비대칭 민감도를 반영하는 것이 특징이다.