위험기반 자본배분

1. 들어가며 — 위험기반자본이란 Introduction

이 글은 위험기반 자본배분(risk-based capital allocation) 기법을 개관한다. 기술적 세부에 들어가기 전에, 위험기반자본과 자본배분의 개념을 먼저 정리한다.

자기자본(equity capital)·규제자본(regulatory capital)·투입자본(invested capital) 같은 개념과 달리, 위험기반자본(risk-based capital) 또는 위험조정자본(risk-adjusted capital, RAC)은 보통 순전히 내부적(internal) 자본 개념으로 이해된다. (문헌에서는 위험자본(capital at risk)·경제적자본(economic capital) 같은 관련 용어도 쓰인다.) Culp는 위험기반자본을 “한 사업단위의 순자산가치나 이익이 어떤 ‘파국적 손실(catastrophic loss)’ 수준 아래로 떨어지지 않도록 회사가 따로 떼어 두어야 하는 최소한의 자본”으로 정의한다. 이 자본은 실제로 투자되는 것이 아니므로, RAC는 예상치 못한 견딜 수 없는 손실에 대비한 가상의 완충(imputed buffer)이다. 마찬가지로 위험기반자본의 배분도 보통 명목적·견적상(notional or pro forma) 배분으로 이해된다.

위험기반자본의 결정과 배분은 모두 위험조정 성과관리(risk-adjusted performance management, RAPM)의 요소이며, RAPM은 보통 RORAC(return on risk-adjusted capital, 위험조정자본수익률) 형태의 성과지표에 기초한다.

RORAC 성과지표는 회사 전체(또는 전체 재무 포지션)에 대해 구할 수도 있고, 사업 단위·재무 포지션의 부문(segment)별로도 구할 수 있다. 부문 RORAC은 부문 RAC을 필요로 한다. 이 부문 RAC은 그 부문 단독(stand-alone) RAC일 수도 있고, 전체 RAC을 (견적상) 배분한 몫일 수도 있다. 단독 RAC을 쓰면 부문 간 확률적 의존성(stochastic dependency)의 효과를 무시하게 된다. 이 의존성은 전체 RAC을 각 부문에 배분하는 방식으로만 반영할 수 있다. 이 글의 나머지는 이런 종류의 자본배분 기법에 집중한다.

2. 손실변수와 위험노출 Risk Exposure & Loss Variables

이 글은 한 포지션의 위험노출을 (확률적) 손실변수 L로 정량화하는 통일된 접근을 쓴다. 네 가지 표준 예를 보자.

예 1 (보험부채, 일반) — 어떤 피보험자 집단의 부채에 대해, 일정 기간(예: 1년) 누적 클레임 S ≥ 0을 본다. 이때 손실변수는 다음과 같이 정의된다.

기댓값 E(S)를 빼는 것은, 보험사가 (위험)보험료를 받아 위험기반자본에 더해 클레임을 충당하는 데 쓸 수 있다는 사실을 반영한다. 여러 부문 i = 1,…,n이 있고 각 누적 클레임이 S_i ≥ 0이면, 부문 손실변수와 전체 손실변수는 다음과 같다.

예 2 (동질적 보험부채 집단) — 부문 i의 누적 클레임이 k_i명의 피보험자로 이루어지고, X_ij가 독립이고 동일하게 분포(i.i.d.)하는 경우다.

부문 손실변수는 앞과 같이 L_i := S_i − E(S_i)로 정의한다.

예 3 (투자 포트폴리오) — 한 금융 포지션(주식·채권, 옵션의 매수·매도)의 시장가치가 (보통 짧은) 시간 구간에 걸쳐 변하는 것을 본다. 손실변수는 다음과 같다. 여기서 v_t는 시점 t의 (알려진) 시장가치, V_t+h는 시점 t+h의 (확률적) 시장가치다.

여러 포지션의 포트폴리오라면, L_Fi가 i번째 포지션 한 단위(주식 1주, 채권 1좌)의 손실이고 x_i가 포트폴리오 내 보유량일 때, 전체 손실은 다음과 같다.

예 4 (신용위험) — n개 신용위험의 포트폴리오에서, 일정 기간의 총 신용손실 CL을 손실변수로 본다.

3. 위험기반자본과 위험측도 RAC & Risk Measures

전체 손실변수 L 또는 부문 손실변수 L₁,…,L_n이 주어지면, 다음 단계는 위험잠재력을 정량화하는 것이며, 이는 위험측도(risk measure)로 이루어진다. Albrecht는 위험측도를 두 종류로 구분한다. 제1종 위험측도 R_I는 목표변수로부터의 (한쪽/양쪽) 편차 크기와 관련된다. 제2종 위험측도 R_II는 위험을, 무위험 포지션을 만들거나 규제요건을 충족하기 위해 포지션에 더해야 할 (최소) 필요자본으로 본다. 제2종 위험측도는 위험기반자본 RAC을 직접 정의하는 데 쓸 수 있다. R = R_II로 두면 다음과 같다.

(제1종 위험측도도 쓸 수 있는데, 이 경우 RAC := E(L) + R_I(L)로 정의한다.) 이 글에서는 예시로 제2종 위험측도 세 가지를 쓴다. 첫째, 표준편차 기반 위험측도(a > 0)이다.

둘째, 신뢰수준 α의 VaR(Value-at-Risk). 여기서 Q_1−α(L)은 손실분포의 (1−α) 분위수다.

셋째, 신뢰수준 α의 CVaR(Conditional Value-at-Risk, 조건부 VaR).

L이 정규분포를 따르는 경우, VaR와 CVaR는 표준편차 기반 측도 (7)의 특수한 경우일 뿐이다. VaR는 a = N_1−α(표준정규의 (1−α) 분위수), CVaR는 a = φ(N_1−α)/α (φ는 표준정규 밀도)로 두면 된다.

4. 자본배분 과정 The Capital Allocation Process

일반적으로 자본배분 과정은 다음 단계로 이루어진다. (1) 부문 손실변수 벡터 (L₁,…,L_n)의 다변량 분포를 명세한다(예시로는 보통 다변량 정규분포). (2) (제2종) 위험측도 R을 선택한다. (3) 전체 RAC(L) = R(L)와 부문 단독 RAC_i = R(L_i)를 계산한다. (4) 양(+)의 분산효과, 즉 R(L) < Σ R(L_i)인 경우, 배분규칙을 적용해 부문 i에 할당될 RAC_i^*를 정한다.

5. 절대 자본배분과 그 공준 Absolute Capital Allocation

전체 RAC = R(L)와 단독 RAC_i = R(L_i)가 주어졌을 때, 많은 중요한 경우에 다음 관계가 성립한다. 여기서 D_R은 분산효과(diversification)의 척도로 볼 수 있다.

이 관계는 모든 열화가산적(subadditive) 위험측도에 대해 성립한다. 표준편차 기반 측도는 전역적으로 열화가산적이고, VaR는 (L₁,…,L_n)이 다변량 타원분포를 따르고 α < 0.5인 한 열화가산적이며, CVaR는 예컨대 다변량 밀도함수가 존재할 때 열화가산적이다.

양의 분산효과가 있을 때, 합리적 성과관리의 기초가 될 수 있는 것은 적절히 배분된 위험자본뿐이다. 부문 i가 전체 위험 R(L)에 기여하는 (아직 정해지지 않은) 몫을 R(L_i;L)이라 하면, 배분 결과는 다음과 같다.

(절대) 자본배분이 갖추어야 할 기본 요건은 다음 두 가지다. 첫째, 완전배분(full allocation) — 부문별 몫의 합이 전체 위험과 같다.

둘째, 비초과(no-undercut의 약한 형태) — 배분된 자본이 단독 RAC을 넘지 않는다.

Denault는 합리적 절대 자본배분을 위한 일반적 공준 체계를 제시했다. 완전배분 (12)와 함께, (13)을 강화한 다음 조건(이른바 ‘no-undercut’)을 요구한다. 이는 기본적으로 모든 부문의 합집합에 대해 (13)이 성립할 것을 요구한다.

셋째 조건은 대칭성(symmetry)으로, 어떤 분해에서든 한 위험 L_i를 그것과 똑같은 다른 위험 L_j로 바꿔도 배분이 바뀌지 않을 것을 요구한다. 넷째 조건은 무위험 배분(riskless allocation)으로, 결정적(확정적) 손실 L_i ≡ c에 대해 배분된 자본이 그 손실액 c와 같을 것을 요구한다. 이 네 공준(완전배분·비초과·대칭성·무위험배분)을 모두 만족하는 배분원리를 Denault는 정합적 배분원리(coherent allocation principle)라 부른다.

부문에 ‘부피(volume)’가 있는 경우(예 2, 예 3), 우리는 부문당 위험자본 R(L_i;L)뿐 아니라 단위당 자본(per unit allocation)—예 2의 피보험자 1인당 R(X_i;L), 예 3의 투자단위당 R(L_Fi;L)—에도 관심이 있으며, 다음을 만족해야 한다.

투자의 경우, 손실변수 L_F1,…,L_Fn을 고정하면 함수 R(x₁,…,x_n)이 ℝⁿ 위의 위험측도를 유도한다.

이때 i번째 기본 포지션 단위당 자본배분 R_i(x₁,…,x_n)을 구하되, 특히 다음 완전배분 공준을 만족하도록 한다.

6. 증분·한계 자본배분 Incremental & Marginal Allocation

증분 자본배분(incremental)은 다음 양을 본다. 즉 부문 i의 위험기여를 “전체 위험에서 부문 i를 뺀 위험을 뺀 것”으로 본다.

그러나 증분 자본배분은 완전배분 조건 (12)를 위반하므로 합리적 배분이 아니다. R(L₁;L)=R(L₁), R(L_i;L):=R(L₁+…+L_i)−R(L₁+…+L_i−1)로 부문을 차례로 포함시키는 변형은 완전배분을 만족하지만, 이번에는 부문을 포함시키는 순서에 따라 결과가 달라진다.

한계 자본배분(marginal)은 포지션의 미소 변화가 필요 위험자본에 미치는 영향을 본다. 예 3처럼 R(x₁,…,x_n)이 정의된 상황에서, 다음 한계량(델타, Delta)을 본다.

한계량 D_i는 일반적으로 주로 민감도 분석용이지 자본배분용은 아니다. 그러나 위험측도 R이 양의 1차동차(positively homogeneous), 즉 R(cx) = cR(x) (c > 0)이고 전미분 가능하면, 오일러 정리(theorem of Euler)에 의해 다음 기본 관계가 성립한다.

R_i(x₁,…,x_n) := D_i(x₁,…,x_n)으로 정의하면, 완전배분 조건 (18)을 만족하는 단위당 자본배분을 얻는다. 이 맥락에서 한계 자본배분은 절대 자본배분에 포섭되며, 이를 ‘오일러 원리’ 절에서 다룬다.

7. 배분원리들 Allocation Principles

7.1 비례배분 Proportional

가장 단순한(소박한) 배분규칙은 단독 위험 R(L_i)의 비율로 나누는 것이다.

이는 분산효과를 부문에 비례적으로 분배하며 완전배분 (12)를 보장한다. 그러나 단독량 RAC_i = R(L_i)에만 맞춰져 있어, 자본을 배분할 때 부문 간 확률적 의존성을 무시한다.

7.2 공분산 원리 Covariance Principle

여기서는 다음 위험기여를 본다. 베타 인수 β_i = Cov(L_i,L)/Var(L)로 정의한다.

이 배분규칙은 전체 RAC을 정하는 데 쓴 위험측도와 무관하다. 배분인수 β_i는 다음 분산의 분해와, 위험기여 Cov(L_i,L)를 전체 위험 Var(L)로 나눠 정규화하는 데서 직관적으로 나온다.

공분산 원리는 (위험측도와 무관하게) R(L)−E(L)에 대한 분산효과를 L₁,…,L_n의 공분산 구조에 따라 배분한다. R(L) > E(L)인 한 일반적으로 적용 가능하다는 장점이 있다. 다만 원리상 배분은 마치 R(L)−E(L)와 Var(L)가 동일한 것처럼 수행된다. 이 분산효과 배분이 합리적인 것은 주로 다변량 타원분포의 경우다.

7.3 조건부 기댓값 원리 Conditional Expectation Principle

조건부 기댓값을 생각하면 L = E[L|L] = Σ E[L_i|L]이고 E[L|L=R(L)] = Σ E[L_i|L=R(L)]이 성립하므로, 다음 부문 위험자본 정의가 자연스럽다(완전배분 (12)를 만족).

다변량 타원분포의 경우 다음이 성립하므로

결과적으로 R(L_i;L) = E(L_i) + β_i[R(L)−E(L)]가 되어, 이 경우 조건부 기댓값 원리는 공분산 원리와 일치한다. 표준편차 기반 측도 (7)에서는 (여전히 타원분포 가정) 다음을 얻는다.

나아가 다변량 정규분포에서는 이 식이 VaR(a = N_1−α)와 CVaR(a = φ(N_1−α)/α)에 대해서도 성립한다.

7.4 CVaR 원리 CVaR Principle

E[L | L > Q_1−α(L)] = Σ E[L_i | L > Q_1−α(L)]이 성립하므로, 다음 부문 배분자본이 자연스럽다.

다변량 타원분포에서는 다시 위 타원분포 공식을 써서 다음을 얻으며, 이는 CVaR_α를 쓴 공분산 원리 (23)의 특수한 경우다.

8. 오일러 원리 Euler Principle

오일러 원리(Euler principle)는 예 3처럼 포트폴리오 구조의 부문에서 그 중요성이 드러난다. 배분 자체는 오일러 정리 (21)에 기반한다. 이 자본배분 원리의 흥미로운 점은 문헌에 어떤 최적성 결과(optimality)가 있다는 것이다.

예를 들어 Denault는 마찰 플레이어를 갖는 협력(볼록) 게임 이론에 기반해, 양의 1차동차이고 볼록이며 전미분 가능한 위험측도에 대해 기울기 (D₁,…,D_n)가 아우만–셰플리 값(Aumann–Shapley value)에 해당하며, 이것이 유일한 해임을 보였다. 따라서 이 맥락에서 기울기 (D₁,…,D_n)은 단위당 유일한 공평 자본배분으로 볼 수 있다. 정합적이고 미분 가능한 위험측도의 경우, Denault는 이 배분원리가 정합적 배분원리의 공준들을 만족함을 추가로 보였다.

위험측도가 양의 1차동차이고 미분 가능하기만 하면, Tasche와 Fischer는 RORAC 양 (1)에 기반한 ‘합리적’ 성과관리의 어떤 조건들을 오직 오일러 원리만이 만족함을 보였다.

오일러 원리 적용에는 위험측도의 미분 가능성이 핵심이다. 이 성질은 표준편차 기반 측도 (7)에는 전역적으로 성립하지만 VaR와 CVaR에는 그렇지 않다. 후자 둘은 예컨대 다변량 밀도의 존재를 가정해야 한다.

다변량 정규의 투자 사례에서 R(L) = σ(L)을 쓰면, 유도된 위험측도는 σ(x₁,…,x_n) = (Σ_iΣ_j x_ix_j Cov(L_Fi,L_Fj))^1/2이다. 미분하면 다음을 얻는다.

따라서 R_i(x₁,…,x_n) = β_iσ(L)이 요구되는 투자단위당 자본배분이며, 이는 공분산 원리의 변형이다. 위험측도 (7)을 쓰면 다음을 얻는데, 이는 다변량 정규에서 VaR와 CVaR를 포섭한다. VaR 문헌에서 β_iσ(L)은 요소 VaR(component VaR) 또는 한계 VaR(marginal VaR)로 불린다.

다변량 밀도가 존재할 때 VaR와 CVaR에 대한 두 결과로 글을 닫는다. VaR의 경우

이는 포트폴리오 경우의 조건부 기댓값 원리의 변형이다. CVaR의 경우

이는 CVaR 원리의 특수한 경우다. 관련된 조건부 기댓값들은 몬테카를로 방법이나, 예컨대 커널 추정량을 이용한 통계적 추정으로 구할 수 있다.

9. 추가적 접근 Additional Approaches

지금까지의 접근은 모두 관련 손실변수의 순전히 내부적인 모델링에 기반했다. 문헌에는 보통 자본시장 맥락에서 기업가치(firm value)에 기반한 접근도 있다. 자본자산가격결정모형(CAPM)과 특수한 기업가치 모형의 맥락에서 자본배분 결과들이 존재한다.

또한 이 글에서 보고한 Denault의 결과를 넘어, 게임이론적(game theoretic) 비용배분 접근의 결과들도 위험비용 배분 상황에 쉽게 적용할 수 있다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 위험기반자본 RAC (risk-adjusted capital) — 파국적 손실로부터 사업단위를 지키기 위해 따로 떼어 두는 최소 자본의 내부적 개념. 실제 투자되지 않는 가상 완충.
• RORAC — 순이익을 위험조정자본으로 나눈 위험조정 성과지표. RAPM의 핵심.
• 손실변수 L — 포지션의 위험노출을 나타내는 확률변수. 보험은 L = S − E(S), 투자는 L = v_t − V_t+h.
• 제1종/제2종 위험측도 — 편차의 크기를 재는 측도(제1종)와 필요 추가자본을 재는 측도(제2종). RAC 정의에는 제2종을 쓴다.
• VaR · CVaR — 손실분포의 분위수(VaR)와 그 분위수를 넘는 손실의 조건부 평균(CVaR). 정규분포에서 E(L)+aσ(L) 형태로 통합된다.
• 분산효과 (diversification) — 단독 위험의 합이 전체 위험보다 큰 정도(Σ R(L_i) − R(L) ≥ 0). 열화가산적 측도에서 음이 아니다.
• 완전배분 / 비초과 — 부문 배분의 합이 전체와 같을 것(완전배분), 어떤 부문도 단독 RAC을 넘지 않을 것(비초과).
• 정합적 배분원리 (coherent allocation) — 완전배분·비초과·대칭성·무위험배분 네 공준을 만족하는 Denault의 배분원리.
• 오일러 원리 (Euler principle) — 1차동차 위험측도의 오일러 정리로 R = Σ x_i ∂R/∂x_i를 이용하는 기울기 배분. 아우만–셰플리 값과 일치하는 유일·공평 배분.
• 베타 인수 β_i — Cov(L_i,L)/Var(L). 공분산·조건부기댓값 원리에서 부문에 분산효과를 배분하는 가중치.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

위험기반 자본배분(RBC allocation)은 한국에서 K-ICS 체계 도입 이후 경제적 자본 관리의 핵심 기법으로 부상하였다. K-ICS 요구자본은 보험·시장·신용·운영 등 위험 모듈별로 산출된 뒤 상관계수 행렬로 집약되며, 내부적으로는 이 모듈별 기여도를 사업부문(종목)에 배분하여 RORAC(위험조정자본수익률)을 산출한다. 이는 이론의 위험기반 자본배분을 규제 자본 언어로 번역한 것이다.

자본배분의 실무 쟁점은 한계배분 vs 비례배분의 선택이다. 비례배분(VaR 비례, 변동성 비례)은 단순하지만 분산 효과를 배분 단위에 귀속시키지 못한다는 단점이 있다. 한계배분(코버 스위처 원리, Shapley 값 등)은 각 사업단위가 전체 위험 풀에 추가하는 한계 기여를 측정하므로 경제적으로 더 합리적이나 계산이 복잡하다. 대형 손해보험사는 Cat 재보험 구조 설계 시 한계배분 방식으로 각 종목의 Cat 기여도를 측정하고 재보험 비용을 배분한다.

IFRS17 도입 이후 자본배분 논의는 CSM(계약서비스마진) 배분과 연결된다. CSM은 미실현 이익의 현재가치로, 이를 보유한 보험계약 집합은 미래 이익을 통해 자본을 자체 생성한다. 따라서 CSM이 두꺼운 사업 포트폴리오는 배분자본 대비 내재 이익창출력이 높아 RORAC 평가에서 유리하다. 일부 보험사는 CSM 잔액과 RAC를 연동한 내부 성과 지표를 개발하고 있다.