위험-효용 순위

1. 보험이 존재하는 이유와 효용이론 Why Insurance Exists

보험산업이 존재하는 이유는, 고객들이 순보험료(net premium) — 즉 피보험 손해의 수학적 기대값 — 보다 더 큰 보험료를 기꺼이 내려 하기 때문이다. 효용이론(utility theory)은 왜 이런 일이 일어나는지를 설명하는 경제이론이다. 이 이론은, 합리적 의사결정자가 (대개 스스로 의식하지 못한 채) 자신의 부 w에 단순히 w가 아니라 변환된 값 u(w)를 부여한다고 본다. 여기서 u(·)를 그의 효용함수(utility function)라 한다.

의사결정자가 무작위 손해 X와 Y 중에서 선택해야 한다면, 그는 E[u(w−X)]와 E[u(w−Y)]를 비교하여 기대효용이 더 높은 손해를 택한다. 효용이론의 선구적 작업은 Daniel Bernoulli의 아이디어에 기초하여 von Neumann과 Morgenstern이 수행했다. 그들은 합리적으로 행동하는 의사결정자에 대해, 위험 상황들 사이의 선호 순서를 재현하는 효용함수가 존재함을 보였다.

2. 선호 순서의 공리화 Axiomatizing the Preference Order

합리성을 조작 가능하게 만드는 여러 공리화가 제시되었다. 모든 무작위 재산의 공간 위의 이항관계 ⪯ 가 어떤 의사결정자의 선호를 나타낸다고 하자. 즉 X ⪯ Y 인 것과 Y가 X보다 선호되는 것이 동치이다. Yaari는 다음 다섯 공리로부터 기대효용이론을 유도한다.

• 공리 1. X와 Y가 동일분포이면 X ⪯ Y 이고 Y ⪯ X 이다.
• 공리 2. ⪯ 는 완비 약순서(complete weak order)이다 — 반사적·추이적·완비.
• 공리 3. 모든 X, X̃, Y, Ỹ 에 대해, X ⪯ Y 이나 Y ⪯ X 는 아닐 때, X와 X̃, Y와 Ỹ가 (Wasserstein 거리 d 기준으로) 충분히 가까우면 X̃ ⪯ Ỹ 가 따라온다(연속성).
• 공리 4. 분포함수가 F_X ≥ F_Y 이면 X ⪯ Y 이다 — Y가 확률 1로 실제로 더 클 때 Y가 선호됨.
• 공리 5. X ⪯ Y 이면, 임의의 확률변수 Z와 0≤p≤1에 대해 pF_X+(1−p)F_Z ⪯ pF_Y+(1−p)F_Z 이다(혼합 보존).

공리 1은 선호가 확률분포에만 의존함을 함의하고, 공리 5는 Y가 X보다 더 매력적인 두 변수를 다른 임의의 Z와 섞으면 그 결과도 Y 쪽이 더 매력적임을 뜻한다.

3. 효용함수의 존재와 순위 관계 Existence & the Ranking Relation

현재 부 w를 가진 의사결정자의 선호 순서 ⪯ 에 대한 위 다섯 공리로부터, 양의 선형변환을 제외하면 유일한 비감소 효용함수 u의 존재를 증명할 수 있다. 즉 임의의 확률변수 쌍 X, Y에 대해 다음이 성립한다.

만약 u가 오목 증가(concave increasing) 효용함수이면, 옌센부등식에 의해

이 성립한다. 따라서 오목 증가 효용을 가진 의사결정자는 무작위 손해 X보다 고정손해 E[X]를 선호하므로 위험회피적이다.

4. 최대·최소 보험료 Maximum & Minimum Premiums

이 모형으로, 부 w와 효용함수 u(·)를 가진 피보험자는 손해 X를 보험에 들기 위해 지불할 최대보험료를 결정할 수 있다. 보험료가 P일 때 기대효용이 증가하려면 E[u(w−X)] ≤ u(w−P)여야 한다. u가 비감소·연속이면 이는 P ≤ P⁺와 동치이며, 최대보험료 P⁺는 효용균형식(utility equilibrium equation)

의 해다. 균형에서 그는 보험 가입 여부에 무차별하다. 이 모형은 상대방인 보험자에게도 적용된다. 자신의 효용함수 U와 초기 부 W를 가진 보험자는 손해를 P ≥ P⁻ 인 임의의 보험료에 인수하며, 최소보험료 P⁻는 균형식

을 푼다. 피보험자의 최대보험료 P⁺가 보험자의 최소보험료 P⁻보다 크면, 실제 보험료가 P⁻와 P⁺ 사이일 때 양쪽 모두 효용이 증가한다.

5. 위험회피계수와 보험료 근사 Risk Aversion Coefficient & Approximation

위험회피계수를 사용하면 손해 X에 대한 최대보험료 P⁺를 근사할 수 있다. u(·)를 w−μ (단 μ = E[X]) 둘레에서 테일러 급수전개하면

를 얻는다. 부 w에서 효용함수 u(·)의 위험회피계수(risk aversion coefficient)를

로 정의하면, 균형식으로부터 다음 근사가 나온다.

이 근사에서 보듯, 위험회피계수가 클수록 피보험자가 지불할 의향이 있는 보험료가 높아진다.

흥미로운 효용함수 몇 가지: 선형효용 u(w) = w, 2차효용 u(w) = −(α−w)² (w ≤ α), 지수효용 u(w) = −e^−αw (α>0), 멱효용 u(w) = w^c (w>0, 0<c≤1), 로그효용 u(w) = log(α+w). 선형효용은 순보험료를 낳는다. 2차효용은 위험회피가 증가하여, 부유해질수록 최대보험료 결정이 보수적이 된다. 지수효용은 위험회피가 일정하여, 최대보험료가 현재 부에 영향받지 않는다.

이론적으로 보험자는 흔히 거의 위험중립적으로 간주된다. 따라서 추가 비용을 무시하면 임의의 위험 X에 대해 보험료 E[X]로 충분하며, 모든 X에 대해 E[U(W+E[X]−X)] = U(W)이고 U(·)는 선형이다.

예제 지수효용 + 감마손해의 보험료

위험회피 α>0인 지수효용 u(x) = −e^−αx를 가진 의사결정자가 감마(n, 1) 손해를 보험에 들려 한다. 최대보험료는?

균형식을 풀면 0<α<1에 대해

이고 (α≥1이면 P⁺=∞). log(1−α) < −α 이므로 P⁺는 기대클레임 n보다 크다 — 즉 피보험자는 순보험료보다 더 낼 의향이 있다. α≥1이면 위험이 보험불가(uninsurable)가 된다.

6. 변환분포 보험료와 쌍대이론 Transformed Premiums & Dual Theory

때로는 보험료를 원래 확률변수가 아니라 분포를 변환한 변수의 기대값으로 표현하는 것이 바람직하다. Esscher 보험료가 그 예로, 원래의 미분 dF(x)를 e^hxdF(x)에 비례하는 것으로 대체한다. h>0이면 큰 값의 확률이 커져 양(陽)의 안전부가(safety loading)를 가진 보험료가 된다. 실제로 지수효용 u(x) = −e^−αx에서, E[φ(X)] = 1인 연속증가함수 φ에 대해 E[φ(X)X] 형태의 보험료를 요구한다면, φ(x) ∝ e^αx일 때 효용이 극대화되어 결과적으로 매개변수 α인 Esscher 보험료가 된다.

기대효용이 의사결정자의 행동을 항상 적절히 기술하지는 못한다. 예컨대 Allais 역설은, 완전히 안전한 상황의 매력이 기대효용이 시사하는 것보다 강하다는 실험 결과에 근거한다. 공리 5의 중요한 함의는 선호함수가 확률에 대해 선형이라는 것이다. 이 공리를 수정하면 Yaari가 고찰한 위험하 선택의 쌍대이론(dual theory)이 나온다.

왜곡기대(distorted expectation) 가설 아래에서는 각 의사결정자가 g(0)=0, g(1)=1, g(·) 증가인 왜곡함수(distortion function) g: [0,1]→[0,1]를 가진다. 생존분포함수(decumulative distribution function) F̅(x) = 1−F(x)로 쓰면, 위험상황의 가치는 다음으로 측정된다.

의사결정자는 자신의 왜곡기대를 극대화할 때 왜곡기대 가설에 기반한다고 하며, H_g[X] ≤ H_g[Y]인 경우에만 Y를 X보다 선호한다. 두 종류의 효용이론 모두에서 의사결정자의 선호는 위험측도(risk measure)를 따른다는 점에 유의하라. g가 볼록(convex)이면

이 성립한다. 따라서 위험회피적 의사결정자의 행동은 볼록 왜곡함수로 기술된다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 순보험료 (net premium) — 손해의 기대값 E[X]. 안전부가가 없는 보험료.
• 효용함수 u(w) — 부에 부여하는 주관적 가치. 오목이면 위험회피.
• 순위 관계 X⪯Y — E[u(w−X)] ≤ E[u(w−Y)]. 기대효용으로 손해를 순서화.
• 최대·최소 보험료 P⁺, P⁻ — 피보험자가 낼 최대치, 보험자가 받을 최소치. 그 사이에서 거래 성립.
• 위험회피계수 r(w) — −u′′/u′. Arrow–Pratt 절대위험회피지수와 동일.
• 보험료 근사 ½ r(w) σ² — 위험프리미엄 ≈ ½ · 위험회피계수 · 분산.
• 지수·2차·로그·멱 효용 — 각각 위험회피가 일정(CARA)·증가·체감 등 서로 다른 태도를 모형화.
• Esscher 보험료 — dF(x)를 e^hxdF(x)로 가중. 지수효용과 연결되는 변환분포 보험료.
• 왜곡함수 g / 왜곡기대 H_g — 확률(생존함수)을 변환. 볼록이면 위험회피. Yaari 쌍대이론의 핵심.
• Allais 역설 — 완전히 안전한 선택을 과대평가하는 실험적 사실. 기대효용의 한계를 보여줌.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

위험-효용 순위 이론은 보험료 원리와 언더라이팅 의사결정의 이론적 기반이다. 보험사가 어떤 위험을 인수할 때 '기대손실 이상의 보험료'를 요구하는 것, 그리고 그 보험료의 크기를 결정하는 방식은 효용함수에 기반한 보험료 원리(utility premium principle)와 본질적으로 같다. 국내 보험사의 신계약 언더라이팅과 위험 구분(class of risk) 설정은 이 이론의 실무적 적용이다.

확률론적 우위(stochastic dominance) 개념은 국내 보험상품 비교에도 적용할 수 있다. 예컨대 갱신형 실손보험과 비갱신형 상품 중 어느 쪽이 소비자에게 더 유리한지는 효용함수의 형태와 기대 갱신주기, 향후 보험료 인상률에 달려 있다. 완전한 우위를 단순 비교로 판정할 수 없기 때문에, 감독 당국은 표준화된 비교 표시 의무를 부과하고 있다.

재보험에서는 위험 순위를 통해 출재 여부를 결정한다. 보험사가 스톱-로스(stop-loss) 또는 초과손해(XL) 조약을 체결할 때, 조약의 attachment point와 limit를 설정하는 기준은 사실상 위험 순서화에 관한 의사결정이다. 국내 재보험 시장에서 코리안리 및 외국계 재보험사와의 협상 과정에서 이 이론이 내재적으로 활용된다.