인플레이션이 총클레임에 미치는 영향 (Inflation Impact on Aggregate Claims)

1. 개요 — 왜 인플레이션인가 Introduction

인플레이션은 보험손실에 큰 영향을 줄 수 있다. 지난 10년간 일반 인플레이션이 대체로 5% 아래였던 서구 경제에서는 실감이 덜하지만, 고인플레이션 시기는 모든 시장에 주기적으로 되돌아오고, 일부 개도국에서는 연 두세 자리 인플레이션이 흔하다. 보험사는 보험료와 준비금을 정할 때 인플레이션이 총클레임에 미치는 효과를 인식해야 한다. 통념은 "클레임 심도의 인플레이션은 준비금 운용이자와 어느 정도 상쇄된다"는 것이고, 고전적 위험모형이 오랫동안 인플레이션·이자를 무시해 온 이유가 그것이다 — 이 글은 둘을 단순한 모형에 함께 넣는 법을 보인다. 여기서 "인플레이션"은 넓은 의미다 — 클레임 비용의 상승, 보험가입금액의 증가, 외생적 물가상승, 또는 이들의 조합.

2. 모형 — 할인된 총클레임 과정 The discounted aggregate claims process

클레임 발생시각 {T_k}를 통상 재생과정으로 두자 — 클레임 간 시간 τ_k=T_k−T_k−1이 공통 연속분포 F의 i.i.d.라는 뜻이며, 건수과정은 N(t)=max{k: T_k≤t}다. 단순화를 위해 시점 s의 (연속) 이자율 β_s와 클레임 인플레이션율 α_t가 미리 알려져 있다고 하자. 실제 클레임 심도 Y_k에서 인플레이션을 걷어낸 디플레이트된 심도는

이고(시점 0의 화폐단위로 표시), [0,t]에 기록된 모든 클레임을 시점 0으로 할인한 할인 총클레임은

이다. 여기서 D(t) = B(t) − A(t) = ∫(β−α)ds는 순이자율(net interest) δ_s = β_s − α_s의 누적이며, {Z(t)}는 복합 재생 현가 위험과정이 된다. 가정은 다음과 같다 — (A1) {X_k}는 i.i.d., (A2) {X_k}와 {τ_k}는 서로 독립, (A3) E(X)=µ₁, E(X²)=µ₂<∞. 즉 인플레이션을 통해서만 심도들 사이, 심도와 발생시각 사이에 종속이 생긴다고 본다 — 실제 심도 {Y_k}는 i.i.d.일 필요도, T_k와 독립일 필요도 없지만, 디플레이트한 X_k는 "시간의 영향이 제거되었다"고 자신 있게 가정할 수 있다.

고정된 t에서 Z(t)의 분포는 여러 모형 아래 연구되었다 — 포아송 건수(Jung), 혼합 포아송으로의 확장(Willmot), 할인 총클레임의 점근분포(Gerber의 할인 중심극한정리) 등. 적률만 필요하면 재생모형에서 재귀적으로 계산할 수 있고(Léveillé–Garrido), 처음 두 적률의 명시적 공식은 인플레이션(순이자)이 보험료에 미치는 영향의 측정을 돕는다.

3. 잉여금 과정과 파산 Surplus and ruin

[0,t]에 걷은 누적 보험료를 π(t)라 하면, 시점 t의 누적 잉여금과 그 현가는

이다. 보험료가 클레임과 같은 율로 인플레이트되고(π(s)=e^A(s)π(0)) 순이자율이 0이면(δ_s=0), 현가 잉여금 과정은 고전적 위험모형

으로 환원된다. 이 조건 아래에서 파산 문제는 두 모형에서 동치다 — U의 파산시각과 U₀의 파산시각이 일치하고(식 7) 파산확률도 같다. 그러나 이 동치는 순이자율 0 가정에 강하게 의존한다 — 상수라도 δ≠0이면 U의 파산 문제는 더 이상 고전 모형으로 표현되지 않는다(이자력 아래의 파산은 Sundt–Teugels 등). 파산 직전 잉여금(조기경보 신호), 파산의 심도 같은 관련 변수들도 연구되며, 거버–시우(Gerber–Shiu)의 기대할인벌금함수가 돌파구를 열었다. 또 같은 가정 아래 순보험료의 동치 π₀(t)=λµ₁t도 성립하고(식 8), 고전 모형 U₀(t)의 분포를 알면 U(t)=e^B(t)U₀(t)의 분포도 바로 나온다(식 9).

4. 동치가 깨지는 곳 — 초과손해율 재보험 보험료 Stop-loss premiums

그러나 두 모형이 항상 같은 답을 주지는 않는다. 고전 모형에서 계약기간 t년의 (단일 순)초과손해율 보험료는 연간 보유한도 d>0에 대해

인 반면, 디플레이트 모형의 대응물은

이다. D(t)=0이어도 (11)이 (10)으로 환원되려면 d(t)=e^A(t)dt여야만 한다. 고전 모형은 인플레이션을 모르므로 누적 보유한도가 그냥 dt — 매년 같은 한도 d의 단순 누적 — 인데, 인플레이션이 모형 모수이면 누적 한도 d(t)는 계약기간의 자명하지 않은 함수가 된다. 1년 한도 d가 클레임과 같은 율로 인플레이트되면 2년 계약의 한도는 d(2) = d + e^A(1)d (규모 절감 제외) — 연속 인플레이션이면 그에 가까운 함수 — 가 되며, 어느 쪽도 e^A(t)dt 꼴이 아니어서 (10)과 (11)의 동치는 성립하지 않는다. 고전 위험모형의 이 일반성 상실은 간과해서는 안 된다.

고전 모형: d(2) = 2d = 20억 원. 인플레이션 모형: d(2) = d + 1.1d = 21억 원(2년차 한도가 10% 커짐). 한도가 5% 더 크므로 재보험사가 무는 초과분은 그만큼 줄어든다 — 인플레이션을 무시한 (10)식은 이 차이를 놓쳐 보험료를 잘못 매기게 된다. 클레임과 한도가 같은 율로 부풀어도 효과가 상쇄되지 않는다는 점이 미묘한 부분이다.