집합위험 모형 (Collective Risk Models)

1. 개별위험 모형 vs 집합위험 모형 Individual vs Collective

개별위험 모형(individual risk model)에서 총 청구액은 포트폴리오의 각 계약별 청구를 합한 것이다. 각 계약이 고유 특성을 유지하며, 총 분포는 합성곱(convolution)으로 계산하는데 많은 계약이 청구 0을 갖는다. 반면 집합위험 모형(collective risk model)은 기간 [0, t]의 청구 건수 N을 도입해, 포트폴리오를 “무작위 시점에 청구를 내는 하나의 집합(collective)”으로 본다. 개별 청구금액 X_i가 합쳐져 총 청구액이 된다.

2. 합성분포와 (a, b, 0)족 Compound Distributions

집합위험 모형은 빈도와 심도에 기반한 합성분포(compound distribution)를 광범위하게 사용한다. 합성분포의 계산은 일반적으로 쉽지 않으나, 빈도분포가 다음 점화식을 만족하는 (a, b, 0)족이면 Panjer 재귀로 효율적으로 계산된다.

이 족에는 (1) 포아송(a=0, b=λ≥0), (2) 음이항(0<a<1, a+b>0), (3) 이항(a<0)이 속한다. 더 넓은 분포는 Sundt–Jewell 분포족으로 다룬다.

3. 표준 집합모형과 안전마진 Canonical Collective Model

개별 모형을 집합 모형으로 근사할 수 있다. 각 계약 i의 청구확률 q_i에 대해 포아송 모수를 λ_i=q_i로 두면 표준(canonical) 집합모형이 된다. 이 모형은 개별 모형 S̃와 같은 평균 E[S]=E[S̃]을 가지면서 분산이 더 크다. 따라서 표준 집합모형을 쓰면 암묵적 안전마진(safety margin)이 생긴다. 위험순서화(ordering of risks) 이론에 따르면, 모든 위험회피적 보험사는 개별 모형을 표준 집합모형보다 선호한다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 개별위험 모형 (individual risk model) — 계약별 청구를 합성곱으로 합산하는 모형.
• 집합위험 모형 (collective risk model) — 빈도 N과 심도 X로 포트폴리오 전체를 보는 모형.
• 합성분포 (compound distribution) — 빈도·심도를 결합한 합 S의 분포.
• 합성곱 (convolution) — 독립 변수 합의 분포를 구하는 연산.
• (a, b, 0) 분포족 / Panjer 재귀 — 포아송·음이항·이항을 묶은 점화식 족과 그 재귀 계산법.
• 구조함수 (structure function) — 혼합 포아송에서 위험모수 Λ의 분포.
• 안전마진 (safety margin) — 위험 변동에 대비한 여유분.
• 위험순서화 (ordering of risks) — 어느 위험이 더 ‘위험한가’를 비교하는 이론.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

집합위험모형(S = ΣX, N 무작위)은 한국 실무에서 개별위험모형보다 압도적으로 많이 쓰인다. 계약 단위가 수백만 건인 자동차·장기손보 포트폴리오에서 개별 계약별 분포를 합성하는 것은 비효율적이고, 포트폴리오 수준의 빈도·심도 분해가 데이터 구조(사고 통계가 건수·건당 손해액으로 집계됨)와도 맞기 때문이다. 자동차보험 요율 검증, 일반보험 인수 분석, 재보험 구조 설계가 모두 이 모형 위에서 돌아간다.

모형 선택의 디테일에서 한국 데이터의 특징이 드러난다. 빈도는 운전자·물건의 이질성 때문에 포아송보다 음이항이 적합한 경우가 많고(과산포), 보험사기·소액 다발 청구 구조를 반영해 영과잉(zero-inflated) 모형이 검토되기도 한다. 심도는 일상 구간(로그정규·감마)과 대형 구간(파레토)을 임계값에서 이어 붙이는 혼합(spliced) 분포가 표준 감각이며, 자기부담금·보상한도에 따른 절단·검열 처리가 빠지면 모수가 왜곡된다는 것도 실무 상식이다.