클레임 건수 과정 (Claim Number Processes)

1. 개요 — 청구 건수는 확률변수 Introduction

위험이론 모형은 보험사가 기록하는 청구의 불확실성을 다룬다. 같은 포트폴리오라도 해마다 청구 건수 N은 달라지므로, 이런 자연스러운 변동을 N을 확률변수로 두어 모형화한다. 임의 구간 [0, t]에서 기록된 청구 수를 N(t)(N(0)=0)라 하면, 시간에 따라 {N(t)}_t≥0는 확률과정(stochastic process), 곧 클레임 건수 과정을 이룬다.

2. 포아송 분포 The Poisson Distribution

가장 흔한 빈도분포는 포아송 분포다.

수학적 성질이 좋아 인기가 많다. 예를 들어 독립인 포아송 변수 N₁,…,N_k(모수 λ₁,…,λ_k)의 합도 포아송(모수 λ₁+⋯+λ_k)이다. 모든 차수의 모멘트가 존재하고, 유일한 모수 λ의 최대우도추정량(MLE)이 닫힌 형태다. 다만 모수가 하나뿐(평균=분산=λ)이라는 점은 한계가 될 수 있다.

3. 혼합 포아송 — 과대산포 Mixed Poisson

이질적 포트폴리오에서, 부분집단마다 포아송 모수 λ가 다르고 그 λ 자체가 확률변수 Λ의 실현값이라고 보면, N의 (주변)분포는 혼합 포아송(mixed Poisson)이 된다. 이때 평균과 분산은 다음과 같아 항상 과대산포가 된다.

특히 Λ가 감마분포이면 N은 음이항분포가 된다 — 실무에서 과대산포 빈도의 표준 선택이다.

4. 이항 분포 — 과소산포 Binomial

건수에 상한 m이 있는 경우 이항분포를 쓴다.

평균 E(N)=mp가 분산 Var(N)=mp(1−p)보다 커서 과소산포(underdispersion)다.

5. 재귀족 — (a, b, 0) Recursive Family

위 세 분포(포아송·음이항·이항)는 확률 p_n이 다음 점화식을 만족하는 한 족에 속한다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 확률과정 (stochastic process) N(t) — 시간에 따라 변하는 확률변수의 모임. 여기선 시각 t까지의 누적 청구 수.
• 포아송 분포 (Poisson) — 드문 사건의 건수 분포. 평균=분산=λ.
• 과대·과소산포 (over-/under-dispersion) — 분산이 평균보다 큼/작음.
• 혼합 포아송 (mixed Poisson) — 포아송 모수 λ가 확률변수일 때의 빈도분포.
• 음이항분포 (negative binomial) — 감마로 혼합한 포아송. 과대산포의 표준.
• 이항분포 (binomial) — 상한 m이 있는 성공 횟수. 과소산포.
• 최대우도추정량 (MLE) — 관측을 가장 그럴듯하게 만드는 모수 추정량.
• (a, b, 0) 분포족 / Panjer 재귀 — 세 빈도분포를 한 점화식으로 묶은 모임과, 그로부터 총손실 분포를 구하는 재귀법.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

클레임 건수 과정의 이론이 한국에서 가장 정교하게 산업화된 현장은 자동차보험이다. 사고 빈도를 포아송으로 두되 운전자별 이질성(사고 성향 차이)을 감마 분포로 섞으면 음이항이 된다는 본문의 혼합 포아송 논리가, 한국의 할인할증등급 제도(보너스-말러스)의 이론적 토대다. 사고를 내면 등급이 내려가 보험료가 오르고 무사고면 할인이 쌓이는 구조는, "과거 사고 이력이 개인의 사고 강도 λ에 대한 베이즈 추정을 갱신한다"는 신뢰도·혼합 포아송 이론의 제도화된 형태다.

데이터에서도 이론의 예측이 확인된다. 국내 자동차·실손 청구 건수는 포아송 가정보다 분산이 큰 과산포가 일반적이어서 음이항 적합이 표준이고, 계절성(겨울 빙판·여름 침수)과 제도 변화(경상환자 치료비 제도 개편 등)에 따른 강도 변동은 비균질 포아송 관점으로 해석된다. 최근에는 주행거리 연동(UBI) 특약과 텔레매틱스 데이터가 보급되면서, 노출 단위를 시간이 아닌 주행거리로 재정의하는 — 운영시간(operational time) 개념과 맞닿는 — 빈도 모형 실험도 진행 중이다.