헤크만–마이어스 알고리즘

1. 풀려는 문제 — 집합손해 분포 The Problem

헤크만–마이어스 알고리즘(Heckman–Meyers algorithm)은 헤크만과 마이어스(1983)가 처음 발표했으며, 다음의 구체적 문제를 풀도록 설계되었다. S를 집합손해(aggregate loss) 확률변수라 하자.

여기서 X₁, X₂, …는 동일한 분포함수 F_X(x)를 갖는 독립동일분포(i.i.d.) 확률변수열(개별 클레임 크기, severity)이고, N은 음이 아닌 정수에서 값을 갖는 이산확률변수(클레임 수, frequency)다. p_n = Pr(N = n) 이라 하자. F_X(x)와 p_n은 안다고 가정한다. 문제는 S의 분포함수 F_S(s)를 구하는 것이다. 전확률의 법칙으로 직접 공식을 얻을 수 있다.

여기서 F_X^*n(s)는 X의 n중 합성곱(convolution) 분포다. 그러나 합성곱의 계산은 어려울 수 있고, 쉽더라도 합을 평가하는 데 드는 계산량이 엄청나게 클 수 있다. 이 문제를 푸는 방법으로 재귀(recursion), 다른 역변환 방식, 시뮬레이션 등이 있다.

2. 핵심 아이디어 — 특성함수와 확률생성함수 Characteristic & Probability Generating Functions

이 알고리즘은 확률변수의 특성함수(characteristic function)와 확률생성함수(probability generating function)의 성질을 활용한다. 확률변수 X의 특성함수는 다음과 같다(i = √−1, 두 번째 적분은 X가 밀도 f_X를 갖는 절대연속일 때).

음이 아닌 정수에서 값을 갖는 이산확률변수 N의 확률생성함수는 다음과 같다.

특성함수는 모든 확률변수에 대해, 모든 t에서 정의된다는 점을 주목하라(반면 적률생성함수는 존재하지 않을 수도 있다). 이 정의들로부터, S의 특성함수는 다음과 같이 깔끔하게 표현된다.

유도는 기댓값의 탑(tower) 성질과 X_j들의 독립성을 쓰면 된다. 즉 조건부로 N = n 일 때 합의 특성함수는 φ_X(t)ⁿ 이고, 이를 N에 대해 기댓값 취하면 정확히 확률생성함수 P_N에 φ_X(t)를 대입한 형태가 된다. 따라서 X의 특성함수와 N의 확률함수만 얻으면 S의 특성함수를 얻는다.

두 번째 핵심 결과는, 확률변수의 특성함수가 주어지면 분포함수를 되찾을(invert) 수 있다는 것이다. 공식은 다음과 같다.

3. 적분의 실제 계산 — 조각선형 근사 Making the Integral Computable

오일러 공식 e^ix = cos x + i sin x 를 쓰면 특성함수를 실수부와 허수부로 분리할 수 있다.

이렇게 φ_X(t) = g(t) + i h(t) 로 쓰고 역변환 적분에 대입하면, 결과는 실수여야 하므로 허수부의 계수는 0이 되어야 한다. 정리하면 F_S(s)는 g, h로 표현되는 실적분으로 귀착된다. 문제는 이 적분이 매우 어려울 수 있다는 점이다.

헤크만과 마이어스의 묘책은, X의 실제 분포함수를 조각선형 함수(piecewise linear function)로(필요하면 어떤 높은 값에 이산확률을 덧붙여) 대체하는 것이다. 즉 연속 부분의 밀도를 다음과 같은 계단형 상수로 둔다.

여기서 b₀ < b₁ < ⋯ < b_k 이고 b_k에 이산확률 u를 둔다. k가 충분히 크고 분점 b_i를 잘 고르면, 이 분포는 거의 어떤 모형이든 가깝게 근사할 수 있다. 이렇게 두면 각 구간의 적분 ∫a_j(cos tx + i sin tx) dx 가 닫힌 형태로 계산되어, φ_X(t) = g^*(t) + i h^*(t) 의 실수부·허수부를 손쉽게 얻는다.

다음으로 N의 확률생성함수가 필요하다. 자주 쓰는 분포는 닫힌 형태를 가진다. 평균 λ의 포아송은

평균이 rβ인 음이항은 다음과 같다.

포아송의 경우 S의 특성함수는 P_N에 g^* + i h^* 를 대입하여

가 되고, 따라서 g(t) = exp[λg^*(t) − λ] cos λh^*(t), h(t) = exp[λg^*(t) − λ] sin λh^*(t) 를 얻는다. 음이항도 비슷하게 구한다.

이 함수들을 손에 쥐면 역변환 적분을 평가하면 된다. 헤크만과 마이어스는 가우스 적분(Gaussian integration)으로 수치적분할 것을 권한다. 적분 구간이 0부터 무한대이므로 여러 소구간으로 나누되, 피적분함수가 진동(oscillating)하는 효과를 줄이도록 분점을 신중히 골라야 한다. 한 가지 중요한 점: 적분식에서 인수 s는 삼각함수에만, g·h는 t에만 나타난다. 따라서 g, h는 수치적분 노드에서 단 한 번만 계산해 두면, s를 바꿀 때마다 같은 노드 값을 재사용할 수 있다.

4. 다른 방법 대비 장점 Advantages

이 방법은 다른 인기 있는 방법들에 비해 몇 가지 장점을 가진다.

• 오차를 원하는 만큼 작게. 수치적분 오차는 작게 만들 수 있고, 노드를 늘리면 조각선형 근사도 필요한 만큼 정확해진다(이 장점은 재귀법도 공유한다). 시뮬레이션도 충분히 많이 돌리면 오차를 줄이지만, 필요한 시뮬레이션 수가 감당 못 할 만큼 큰 경우가 많다.
• 기대 클레임 수가 많을수록 빠르다. 이는 재귀법과 정반대다(재귀법은 기대 클레임 수가 적을 때 빠르다). 둘을 함께 쓰면 집합확률을 정확하고 효율적으로 계산하는 방법이 완성된다.
• 독립 포트폴리오의 결합이 쉽다. S₁, S₂가 (서로 다른 X·N 분포를 가질 수 있는) 독립 집합모형이고 S = S₁ + S₂ 의 분포함수를 원한다면, 특성함수는 그냥 곱으로 얻는다.

다시 수치적분으로 F_S(s) 값을 얻으며, 다른 방법에 비해 추가 계산이 거의 들지 않는다. 관련 연구로 역변환 방법을 대기행렬(queueing) 문제에 적용한 것들이 있다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 집합손해 (aggregate loss, S) — 한 해 동안의 클레임들을 모두 합한 총손해. S = X₁ + ⋯ + X_N.
• severity / frequency — 개별 클레임 크기(X_i)와 클레임 발생 건수(N). 집합손해의 두 구성요소.
• 합성곱 (convolution) — 독립 확률변수 합의 분포를 구하는 연산. 직접 계산은 무겁지만 변환 영역에서는 곱이 된다.
• 특성함수 (characteristic function, φ_X) — E[e^itX]. 모든 분포·모든 t에서 존재하며, 분포를 유일하게 결정한다.
• 확률생성함수 (pgf, P_N) — E[t^N]. 이산 빈도분포를 다루며, 합성 P_N[φ_X]가 복합분포의 특성함수.
• 역변환 적분 (inversion integral) — 특성함수로부터 분포함수 F_S를 되찾는 적분 공식.
• 조각선형 근사 (piecewise linear approximation) — 밀도를 구간별 상수/직선으로 근사해 특성함수를 닫힌 형태로 만드는 기법.
• 가우스 적분 (Gaussian integration / quadrature) — 진동하는 피적분함수를 효율적으로 수치적분하는 방법.
• 파너 재귀 (Panjer recursion) — 복합분포를 격자 위에서 재귀적으로 계산하는 대안 방법. 빈도가 적을 때 유리.
• 오일러 공식 — e^ix = cos x + i sin x. 특성함수를 실수부 g와 허수부 h로 나누는 데 쓰인다.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

헤크만–마이어스 알고리즘은 특성함수를 수치 역변환(고속푸리에변환 등)해 총손실분포를 정밀하게 복원하는 방법이다. 국내 자본모형·재보험 요율 산정에서 복합분포의 꼬리를 정확히 계산해야 할 때, 시뮬레이션의 대안 또는 검증수단으로 이런 변환기반 기법이 쓰인다.

몬테카를로가 꼬리에서 불안정한 반면, 특성함수 역변환은 안정적이고 빠르게 분위수를 산출할 수 있어 K-ICS 99.5% 같은 극단 분위수 계산에 적합하다.