총 손실 모델링 (Aggregate Loss Modeling)

1. 개요 Introduction

보험계리 위험이론(actuarial risk theory)의 주요 목표 중 하나는 보험계약 포트폴리오의 총 청구비용(total claim cost) 분포를 모델링하여 사업적 의사결정을 돕는 것이다. 자동차·주택·단체생명·건강보험 등 많은 계약은 1년 만기 단기계약이다. 총 청구비용은 흔히 청구의 빈도(frequency)와 개별 청구의 크기(severity)를 분리해 모델링한다.

2. 집합위험모형과 총손실의 분포 The Model

X₁, X₂, … 를 공통 분포함수 F_X를 갖는 i.i.d. 확률변수(심도), N을 청구 건수(빈도)라 하고 N과 {X_i}가 독립이라 하면, 총 청구액 S는 다음과 같다(N=0이면 S=0).

S의 분포함수는 빈도 p_n=Pr(N=n)과 F_X의 n중 합성곱을 결합한 합성분포(compound distribution)가 된다.

여기서 F_X^*n은 청구 n건의 합 X₁+⋯+X_n의 분포다. 빈도분포로는 포아송·음이항·이항(및 그 변형)이 흔히 쓰이며, 이들은 (a, b, 0) 분포족을 이룬다.

3. 평균·분산과 계산 방법 Moments & Methods

빈도·심도가 독립이면 평균·분산은 합성곱 없이 다음과 같이 얻는다.

특히 복합 포아송(N~Poisson(λ))이면 더 간단해진다.

분포 전체를 구하는 직접 합성곱은 번거로워, 재귀(Panjer 재귀), 고속푸리에변환(FFT), 근사법(정규·감마·정규멱·에지워스·Wilson–Hilferty), 시뮬레이션 등이 개발되었다. 공제액(deductible)이 있으면 ‘청구’의 정의가 달라져 빈도분포도 바뀐다.

예제 복합 포아송

N~Poisson(λ=3), E[X]=200, E[X²]=90,000일 때 총손실의 평균·분산·표준편차는?

표준편차 √270000 ≈ 519.6. 평균 600 대비 변동성이 매우 커 안전할증·재보험의 근거가 된다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 빈도 / 심도 (frequency / severity) — 청구 건수 / 한 건당 청구금액.
• 합성분포 (compound distribution) — 빈도 N과 심도 X를 결합한 합 S의 분포.
• 합성곱 (convolution) — 독립 변수 합의 분포를 만드는 연산. n중 합성곱은 같은 분포 n개의 합.
• (a, b, 0) 분포족 — 포아송·음이항·이항을 한 점화식으로 묶은 빈도분포 모임. Panjer 재귀의 토대.
• 복합 포아송 (compound Poisson) — 빈도가 포아송인 합성분포. Var(S)=λE[X²].
• 안전할증 (safety loading) — 변동성에 대비해 순보험료에 더하는 여유분.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

총손실 S = X₁+…+X_N 모델링은 한국에서 일반손해보험 요율 산출과 재보험 분석의 공용 엔진으로 쓰인다. 실무 절차는 본문의 골격 그대로다 — 빈도는 포아송 또는 (과산포가 확인되면) 음이항으로, 심도는 로그정규·감마·파레토로 적합하고, 공제·보상한도를 심도 분포의 절단·검열로 반영한 뒤 S의 분포를 구한다. 다만 계산 방법은 패너(Panjer) 재귀나 FFT 같은 해석적 기법보다 몬테카를로 시뮬레이션이 압도적 주류다. 계산력이 싸진 시대에, 재보험 구조(XL 층, 복원)나 복잡한 정산 조건을 그대로 코드로 옮길 수 있다는 실용성 때문이다.

활용처는 넓다. 기업성 물건의 인수 심사(연간 총손실 분포로 보유 적정성 검토), 재보험 구조 비교(보유·출재별 S 분포의 변화), 농작물·풍수해 같은 정책보험의 손익 분담 설계, 그리고 신담보 출시 전 손해율 시나리오 분석까지 — "빈도×심도로 1년 치 손해를 통째로 그려 본다"는 본문의 문제의식이 그대로 실무 언어가 되어 있다.