표제어 · 확률·통계

감마함수 (Gamma Function)

출처: Encyclopedia of Actuarial Science (Wiley, 2004)

읽는 법. 본문은 원문 표제어의 내용을 그대로 옮긴 것입니다. 회색 해설 · 예제 상자는 학부 입문 학습을 돕기 위해 새로 추가한 부분이며, 원문에는 없습니다. 처음 보는 용어는 글 끝 부록(보험·통계 용어 풀이)을 참고하세요.

1. 정의와 기본 성질 Definition and basic properties

감마분포의 정의에 쓰이는 감마함수(gamma function)는

로 정의되며 α>0이면 유한하다. α가 양의 정수이면 이 적분은 닫힌 형태로 표현되지만, 그렇지 않으면 불가능하다. 감마함수는 많은 유용한 성질을 가지며 대부분의 고급 미적분학 교재에서 상세히 다룬다. 특히 (1)에 부분적분을 적용하면 중요한 재귀 관계

를 얻는다. 이를 Γ(1)=∫₀^∞e^−ydy=1과 결합하면 임의의 정수 n≥1에 대해

즉 감마함수는 계승(factorial)의 일반화다. 또 하나의 유용한 특수값은 극좌표 변환으로 확인되는

이다.

해설 계리사가 감마함수를 만나는 곳

감마함수는 손해분포의 곳곳에 박혀 있다. 감마·역감마·일반화 파레토·베타 분포의 밀도 상수, 음이항 확률함수의 계수 Γ(r+k)/{Γ(r)k!}, 와이불·파레토의 적률 공식 등이 모두 감마함수로 쓰인다. 특히 정수가 아닌 모수(예: r=0.7인 음이항)를 다루려면 계승이 아닌 감마함수가 필수다. 아래의 불완전 감마함수는 감마분포의 분포함수 그 자체이므로, 감마 심도모형의 초과손해 계산이 곧 Γ(α;x)의 평가다.

2. 불완전 감마함수 Incomplete gamma function

감마함수와 밀접한 불완전 감마함수(incomplete gamma function)는

로 정의된다(정규화된 형태 — 모수 α, 1인 감마분포의 분포함수와 같다). α가 양의 정수가 아니면 일반적으로 닫힌 형태가 없지만, 많은 스프레드시트·통계 패키지에 (1)과 (6)을 자동 계산하는 내장함수가 있다. 수치 평가에는 x≤α+1에서 급수 전개

가, x>α+1에서는 연분수 전개 (8)이 쓰인다.

연분수의 효과적 계산 절차는 Numerical Recipes에 있다. 한편 α가 양의 정수이면 반복 부분적분으로 닫힌 형태를 얻는다.

심화 해설 식 (9)의 보험적 의미 — 감마와 포아송의 쌍대성

식 (9)의 우변 합은 평균 x인 포아송 변수가 α−1 이하일 확률이다. 즉 P(감마(α)≤x) = P(포아송(x)≥α) — 강도 1의 포아송 과정에서 α번째 사건의 대기시간이 감마이기 때문이다. 이 쌍대성 덕분에 정수 α의 감마 분포함수(얼랑 분포)는 포아송 확률 몇 개의 합으로 계산되고, 거꾸로 포아송 누적확률을 불완전 감마함수로 평가할 수도 있다.

3. 정규분포·오차함수와의 관계 Normal cdf and error functions

불완전 감마함수로 표준정규 누적확률도 만들 수 있다. Φ(z)를 표준정규 분포함수라 하면

이다. 또한 오차함수(error function)와 여오차함수도 불완전 감마함수의 특수경우다.

예제 감마 심도모형에서 한도초과 확률 계산

어느 담보의 클레임 금액(백만원)이 형상모수 α=3, 척도 1인 감마분포를 따른다. (i) 클레임이 2백만원 이하일 확률을 식 (9)로 구하라. (ii) Γ(3)·Γ(1/2)의 값과, Γ(3.5)를 재귀식 (2)로 구하라.

(i) α=3이 정수이므로 Γ(3;2)=1−e⁻²(1+2+2²/2!)=1−5e⁻²=1−0.6767=0.3233. 따라서 2백만원을 넘을 확률은 0.6767 — 포아송 쌍대성으로 읽으면 "평균 2인 포아송이 2 이하일 확률 0.6767"과 같다. (ii) Γ(3)=2!=2, Γ(1/2)=√π=1.7725이고, 재귀식으로 Γ(3.5)=2.5·1.5·0.5·Γ(0.5)=1.875√π=3.3234. 이런 계산은 감마 심도의 적률·정지손실 보험료, 음이항 확률함수 평가 등에서 그대로 반복된다.

이 글의 내용 대부분은 Abramowitz–Stegun과 Gradshteyn–Ryzhik의 수표(數表)에서 발췌한 것이다.

참고 및 관련 표제어

관련 표제어. Beta Function(베타함수) · Continuous Parametric Distributions(연속 모수분포) · Discrete Parametric Distributions(이산 모수분포)

원문 참고문헌(발췌). Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions (NBS, 1972) · Casella & Berger, Statistical Inference (Duxbury, 1990) · Gradshteyn & Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, 5th ed. (Academic Press, 1994) · Press, Flannery, Teukolsky & Vetterling, Numerical Recipes in C (CUP, 1988)

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

감마함수 (gamma function) — Γ(α)=∫t^α−1e^−tdt. 계승의 연속적 일반화.
계승 (factorial) — n!=n(n−1)…1. Γ(n)=(n−1)!로 감마함수에 포함된다.
불완전 감마함수 (incomplete gamma) — 적분 상한을 x로 자른 정규화 적분. 감마분포의 cdf.
얼랑 분포 (Erlang) — 형상모수가 정수인 감마분포. 지수 변수 α개의 합.
연분수 전개 (continued fraction) — 분수가 사다리꼴로 이어지는 전개. 큰 x에서 (6)의 수치 평가에 효율적.
오차함수 (erf) — 정규분포 적분의 고전적 표기. erf(x)=Γ(1/2;x²).
포아송–감마 쌍대성 — P(감마(α)≤x)=P(포아송(x)≥α). 대기시간 해석에서 나온다.
형상·척도 모수 (shape·scale) — 감마분포 밀도 x^α−1e^−x/θ/{Γ(α)θ^α}의 α와 θ.
베타함수 (beta function) — B(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b). 감마함수의 형제 함수.
수표 (mathematical tables) — Abramowitz–Stegun 같은 특수함수 공식·수치 모음집. 오늘날은 소프트웨어 내장함수가 대신한다.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

감마함수 자체는 순수 수학이지만, 한국 계리 실무에서는 본문이 열거한 자리 그대로 — 분포의 "상수" 속에 — 박혀 있다. 국내 자동차보험·장기보험의 심도(클레임 금액) 모형으로 가장 흔히 쓰이는 감마·로그정규·파레토 분포 가운데 감마분포의 정규화 상수와 적률 공식이 모두 감마함수이고, 빈도(클레임 건수) 모형의 표준인 음이항분포의 확률함수 계수 Γ(r+k)/{Γ(r)k!}도 마찬가지다. 국내 요율산정 실무에서 음이항의 r은 정수가 아닌 값으로 추정되는 것이 보통이므로, 계승이 아닌 감마함수가 처음부터 필수다.

가장 일상적인 접점은 GLM 기반 요율산정이다. 자동차보험 요율 분석의 사실상 표준인 일반화 선형모형에서 심도는 감마 오차, 빈도는 포아송·음이항 오차로 두는데, 이들 지수족 분포의 로그우도를 평가하는 모든 단계에서 (로그)감마함수가 호출된다. IFRS17(2023 시행) 최선추정 현금흐름의 손해 가정, K-ICS 내부모형류 분석에서 분포를 적합·검증할 때도 사정은 같다 — 다만 본문이 말한 "수표(Abramowitz–Stegun)"의 자리는 국내 실무에서 완전히 소프트웨어 내장함수로 넘어갔다.

불완전 감마함수는 더 직접적이다. 감마 심도분포의 분포함수가 불완전 감마비 그 자체이므로, 공제(자기부담)·보상한도가 걸린 계약의 기대보상액(제한기대값) 계산, 재보험 층별 기대손해 산출, 총손실 분포의 근사가 모두 불완전 감마함수 평가로 귀결된다. 실손의료보험의 자기부담률 구조(5세대 기준 비중증 비급여 50%)나 재보험 특약의 층 구분처럼 "분포의 일부 구간만 자르는" 계산이 많은 한국 시장 특성상, 이름은 몰라도 모두가 쓰는 함수인 셈이다.

실무 감마함수는 반드시 로그 스케일로

Γ(α)는 α가 조금만 커져도 폭발적으로 커져(Γ(171)부터 배정밀도 오버플로) 직접 계산하면 안 된다. 실무 코드는 예외 없이 lgamma(R·Python)·GAMMALN(Excel)을 써서 로그우도를 로그 스케일에서 합산한 뒤 마지막에만 지수화한다. 음이항 확률함수도 lgamma 세 번의 차로 계산하는 것이 표준이다.

[한국보험시장 현황]은 한국 보험시장 실무 관점(2026.6 기준)에서 추가 작성한 것임. · 원문: Encyclopedia of Actuarial Science (Wiley, 2004), “Gamma Function”, Steve Drekic. · 본 해설서의 [해설]·[예제]·[부록]은 학부 입문 학습용으로 추가·구성한 것임. 수식은 원문 기준 복원.