계수과정

1. 개요 Introduction

다변량 계수과정(multivariate counting process)은 생존분석(survival analysis)과 좀 더 일반적인 사건이력 분석(event-history analysis)에 유용한 수학적 틀을 제공한다. 다변량 계수과정은 다음 꼴로 쓴다.

여기서 H는 사건 유형(event type)의 유한집합이며, 각 성분 N_h(t)는 [0, ∞) 위의 점과정(point process)이다. 양의 실수 직선이 가진 순서 구조는 일반적인 점과정에는 없는 여러 필수적 속성을 내포한다. 각 성분 N_h(t)는 어떤 ‘개인’에 대해 시간구간 [0, t]에서 유형 h의 사건 수를 세는 것이며, 통계적 추론은 보통 독립적인 개인 i = 1, …, n에 대한 다변량 계수과정 N_i(t)의 관측에 기초한다.

예를 들어 ‘장애’와 ‘사망’이라는 두 가지 유형의 사건이 일어날 수 있고, 비장애인·장애인 모두의 장애율과 사망률에 관심이 있는 피보험자 n명의 표본을 생각할 수 있다. 이 예는 ‘예시’ 섹션에서 다시 설명한다.

각 성분 N_h(t)가 (Ⅰ) 유한 기대치와 (Ⅱ) 우연속(right-continuous) 표본경로를 가지며, (Ⅲ) N_h(0) = 0에서 시작해 감소하지 않고 크기 1의 점프만을 가지며, (Ⅳ) 두 성분이 동시에 점프할 확률이 0이면, N은 다변량 계수과정이다. 이 경우 N = (N_h)는 마크 공간 H를 가지는 마크 점과정(marked point process)으로도 볼 수 있다.

2. 정의와 기초적 확률 속성 Definitions and Basic Probabilistic Properties

핵심 개념인 마팅게일(martingale)과 계수과정, 그리고 이와 관련된 강도과정(intensity process)을 정의하려면 몇 가지 정의가 필요하다. 확률공간 위의 여과(filtration) (ℱ_t)는 증가하는 σ-대수의 계열이며, 확률과정 X = (X(t), t ∈ T)는 모든 t에 대해 X(t)가 ℱ_t-가측일 때 여과에 적응(adapted)된다고 한다. 여기서 시간구간 T는 [0, τ] 또는 [0, τ)이고 τ ≤ ∞이다. 적응과정 X는 좌연속(left-continuous)이면 ℱ_t-예측가능(predictable)하다.

표본경로와 유한 기대치를 갖는 적응과정 M(t)는 다음 조건을 만족하면 마팅게일이다.

즉, 과거 정보 ℱ_s를 알 때 미래 값 M(t)의 조건부 기대값이 현재값 M(s)와 같다는 뜻이다(“공정한 게임”).

도브-마이어 분해(Doob–Meyer decomposition)에 따르면, 각 h ∈ H에 대해 고유하고 비감소하며 예측가능한 과정 Λ_h(t), 즉 N_h(t)의 보정자(compensator)가 존재하며, 다음이 마팅게일이 된다.

응용에서는 보정자가 절대연속, 즉 예측가능한 과정 λ_h(t)가 존재한다고 가정하는 경우가 많다.

이때 λ_h(t)는 (적절한 규칙성 조건 아래) 다음과 같이 표현될 수 있으므로 N_h(t)의 강도과정(intensity process)이라 한다.

따라서 통계모형은 강도과정과 위 분해를 통해 다음과 같이 지정할 수 있다. 이는 이 글의 핵심을 이루는 마팅게일 분해(martingale decomposition)다.

여기서 적분항 ∫λ_h는 예측가능한 ‘신호(signal)’, M_h(t)는 ‘데이터 모형 잡음(noise)’으로 해석된다. 계수과정에 기반한 통계 방법의 성질을 연구할 때, 마팅게일 기법—특히 예측가능 과정의 확률적분(stochastic integral)과 마팅게일 중심극한정리—이 매우 유용하다. 편의상 위의 유한 기대 조건은 국소 마팅게일(local martingale)을 고려하면 완화될 수 있다.

3. 사건이력 자료의 계수과정 표현 Counting Process Representation of Event-History Data

가장 간단한 사건이력 모형은 생존자료의 2상태 모형이다. 상태는 ‘0: 살아있음’과 ‘1: 사망’이며 0→1 전이만 가능하다. 생존시간 T_i는 개인 i가 상태 1에 진입한 시각이며, 단변량 계수과정과 위험집합 지표는 다음과 같다(지표함수 I(·) 사용).

여기서 Y_i(t) = I(T_i ≥ t)는 개인 i가 t 시점에 여전히 살아있음(위험에 노출됨)을 나타내는 지표다. 이때 강도과정은 관찰 가능한 과정 Y(·)와 위험/강도함수 α(·)의 일반적인 곱셈 구조(multiplicative structure)를 가진다.

α(t)가 T 분포의 위험률(hazard)·실패율 함수일 때, 마팅게일 분해는 다음과 같이 된다. 이것이 생존분석과 계수과정을 이어주는 핵심 식이다.

곱셈 강도 모형(multiplicative intensity model)이라 부르는 이 구조에서, α(t)는 통계적 응용에서 보통 알려지지 않고 모형화의 대상이 되는 위험률 함수이고, Y_i(t)는 관찰 가능한 위험 노출 과정이다. 따라서 계수과정 기반 통계 모형은 α(·)를 통해 지정되는 경우가 많다.

응용에서 생존자료는 필연적으로 우중도절단(right censoring)을 통해 관찰된다. 즉 T_i는 개인 i의 우중도절단 시각 U_i를 초과하지 않을 때만 관찰된다. 이 경우 관찰된 계수과정은 N_i(t) = I(T_i ≤ t, T_i ≤ U_i), 위험집합은 Y_i(t) = I(T_i ≥ t, U_i ≥ t)가 되며, 독립적 절단(independent censoring)이라는 전제 하에서 분해 식이 그대로 성립한다.

유한상태 마르코프 과정 Finite-state Markov Processes

유한상태 마르코프 과정도 계수과정으로 재현할 수 있다. X_i(t)를 유한상태공간의 마르코프 과정이라 하고 h, j를 상태라 하자. N_hji(t)가 [0, t]에서 X_i의 직접적인 h→j 전이 수라면, 도브-마이어 분해는 다음과 같다.

여기서 Y_hi(t) = I(X_i(t−) = h)는 t 시점 직전에 i가 상태 h에 있음을 나타내는 지표이고, α_hji(t)는 X_i(·)의 h→j 전이강도다. 이처럼 사망·장애 같은 다중상태(multistate) 사건이력은 각 전이에 하나씩 계수과정을 대응시켜 일괄적으로 다룰 수 있다.

4. 통계적 추론 — 비모수·모수 추론 Statistical Inference: Nonparametric and Parametric

가장 간단한 상황은 다변량 계수과정 N의 각 성분 N_i(t)가 강도과정 α(t)Y_i(t)를 갖고, α(t)가 모든 성분에 대해 동일한 미지·불특정 함수이며 Y₁(t), …, Y_n(t)가 N과 함께 관찰되는 경우다. 이때 집계된 계수과정과 그 분해는 다음과 같다.

여기서 Y_· = ∑Y_i, M_· = ∑M_i다. 따라서 누적 위험률 A(t) = ∫₀^tα(u) du의 자연스러운 비모수 추정량은 넬슨-알렌 추정량(Nelson–Aalen estimator)이다.

여기서 J(t) = I(Y_·(t) > 0)이다. 마팅게일 중심극한 이론을 n→∞ 에 적용하여 A(t)에 대한 신뢰한계를 구할 수 있다. 응용에서 A(t)는 t에 대해 그려지고, 곡선의 국부 기울기가 위험률 α(t)를 추정한다. 위험률의 공식적 추정치는 평활화(smoothing)를 통해 얻을 수 있다. 개인을 그룹 h = 1, …, k(남/여, 다른 계약 유형 등)으로 나눌 수 있으면 각 A_h(t)를 넬슨-알렌으로 추정하고, α₁(t) = ⋯ = α_k(t) 가설을 여러 비모수 검정으로 검증할 수 있다.

모수모형에서는 α(t)에 대한 모수모형 α(t | θ)를 연구한다(예: 사망률의 고퍼츠-메이크혜 모형, 구간별 일정 위험률 모형). 이 경우 θ에 대한 추론은 우도 L(θ)에 기초하며, 우도에 기초한 점수함수는 참모수값 θ₀에서 평가할 때 마팅게일이므로, 마팅게일 중심극한 이론을 써 최대우도추정량의 점근 정규성을 얻을 수 있다(즉 우도비·발트 검정 등 표준 확률 방법 적용 가능).

회귀모형 — 콕스 회귀 Regression: Cox Regression

개인이 동질이 아니고 공변량으로 조정이 필요하면, 강도에 대한 회귀모형을 연구한다. Z_hi(t)를 개인 i·사건유형 h에 대한 (시간의존적) 공변량이라 하면, 가장 흔히 쓰는 콕스 회귀(Cox regression) 모형은 다음과 같다.

여기서 α_h0(t)는 모든 개인에 공통인 기준(baseline) 유형 h 강도이고, β는 회귀계수 벡터다. 기준 위험률을 완전히 지정하지 않는 반모수(semiparametric) 콕스 모형 대신, α_h0(t | θ) 형태로 지정하는 모수·가산(additive) 회귀모형도 연구할 수 있다.

5. 확률 추론—상태확률 Probabilistic Inference: State Probabilities

강도과정의 사양을 통해 모형을 매우 일반적으로 세울 수 있지만, 상태확률(state probabilities)을 계산하려면 보통 추가 가정이 필요하다. 생존자료의 단순 2상태 모형에서 시간의존 공변량이 없으면, 위험함수와 생존확률함수 S(t) = P(T > t) 사이의 관계는 곱적분(product integral)으로 주어지며, 연속분포의 경우 다음과 같다.

이산분포의 경우 S(t)는 단순 곱으로 주어지며, 넬슨-알렌 추정량으로 A(t)를 추정하면 곱적분 관계를 통해 S(t)의 카플란-마이어 추정량(Kaplan–Meier estimator)이 도출된다. 마르코프 다중상태 모형에서는 누적 전이강도와 전이·상태확률의 관계가 (행렬값) 곱적분으로 주어지며, 이는 알렌-요한센 추정량(Aalen–Johansen estimator)으로 이어진다.

6. 예시 — 당뇨병 환자 생존자료 Example: Diabetes Survival Data

Ramlau-Hansen 등은 인슐린 의존성 당뇨병을 앎고 있는 덴마크 환자 2727명의 자료를 분석했다. 환자들은 코펜하겐의 스테노 기념 당뇨병 전문 병원(1933–81년)에서 첫 접촉부터 사망 또는 1984년까지 추적 관찰되었다. 심각한 신장 합병증인 ‘당뇨병성 신증’(DN)의 발생 시점 정보가 있어 ‘0: DN 없이 생존’, ‘1: DN으로 생존’, ‘2: 사망’의 3상태 질병-사망 모형을 적용했다. 이주 환자와 1984년 생존 환자에 대해 우중도절단이 이루어졌다.

각 개인에 대해 3변량 계수과정 (N_01i(t), N_02i(t), N_12i(t))이 정의되었고, 각 전이강도 α_hji(t)는 환자의 성별, 당뇨병 발병 연령, 발병 시점을 공변량으로 하는 콕스형 회귀모형으로 모형화되었다. 또한 DN 발병 후 사망률 모형 α_12i(t) = α_12i(t, d)에는 1단계 진입 이후 지속 시간 d로 정의된 시간의존 공변량이 포함되어 3상태 과정을 비마르코프적(non-Markovian)으로 만들었다. 추정된 전이강도로부터 주어진 연령·발병 연령·DN 상태에 따른 당뇨병 환자의 생명보험료를 추정했다.

DN이 없는 당뇨병 환자의 표준 보험 대비 초과보험료는 1.3에서 6.1배까지로 다양해 이러한 보험은 실현 가능한 것으로 나타났다. 그러나 DN 환자의 경우 표준 수명에 비해 사망률이 너무 높아 예상 초과보험료가 너무 높아서 이러한 정책을 시행할 수 없었다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 계수과정 N(t) (counting process) — 시간 0부터 t까지 사건이 몇 번 일어났는지 세는 비감소 우연속 계단함수.
• 강도 λ(t) (intensity) — 과거 정보 아래 단위시간당 사건 발생의 순간비율; 포아송 과정의 율에 해당.
• 보정자 Λ(t) (compensator) — 강도를 적분한 Λ(t) = ∫₀^tλ(u)du; 예측가능하고 비감소함.
• 마팅게일 M(t) (martingale) — 과거를 알 때 미래 기대값이 현재값인 “공정한 게임” 과정; N − Λ가 마팅게일.
• 도브-마이어 분해 (Doob–Meyer decomposition) — 계수과정을 예측가능한 보정자와 마팅게일의 합 N = Λ + M으로 유일하게 나누는 정리.
• 곱셈 강도 모형 (multiplicative intensity model) — 강도를 위험률 α(t)와 관찰 위험 Y(t)의 곱 α(t)Y(t)로 두는 모형.
• 여과 / 적응 / 예측가능 (filtration / adapted / predictable) — 시간에 따라 늘어나는 정보(여과), 그 정보로 알 수 있음(적응), 직전 과거로 결정됨(예측가능).
• 넬슨-알렌 추정량 (Nelson–Aalen estimator) — 누적 위험률 A(t)의 비모수 추정량; 위험집합 크기로 나눠 적분.
• 카플란-마이어 추정량 (Kaplan–Meier estimator) — 생존함수 S(t)의 비모수 곱적분 추정량.
• 콕스 회귀 (Cox regression) — 기준 강도에 공변량 효과 exp(β⊤Z)를 곱하는 반모수 비례위험 회귀모형.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

계수과정(Counting Process)은 시간 흐름에 따라 발생하는 사건의 누적 건수를 추적하는 확률 과정으로, 생존분석과 신뢰도이론의 이론적 기반이다. 국내 생명보험 계리 실무에서는 계약자의 사망·해지·입원 사건을 계수과정으로 모형화하여 해저드 함수(위험률)를 추정한다. 제10회 경험생명표(2024.4 적용)는 계수과정 틀에서 넬슨-알렌 추정량과 카플란-마이어 생존함수를 이용해 연령별 누적위험률을 산출한 것이다.

손해보험에서는 사고 발생 계수과정이 보험료 산출의 핵심이다. 자동차보험 빈도 모형에서 개별 계약자의 사고 건수를 포아송 계수과정으로 가정하고, 과거 사고 이력을 이용한 경험요율(BMS, Bonus-Malus System)을 산정한다. 금융감독원이 고시하는 참조요율 체계에서도 종목별 사고빈도·심도 분포는 계수과정의 강도 추정에 근거한다.

IFRS17 하에서 보험부채 측정 시 최선추정(BEA)의 현금흐름은 보험계약 집합(cohort) 단위로 지급 사건을 계수과정으로 모형화하여 투영한다. 사망·해지·만기 등 복수의 경쟁 사건이 존재하는 경우 다중탈퇴(competing risks) 계수과정으로 확장되며, K-ICS 요구자본 중 생명위험 서브모듈의 스트레스 시나리오도 이 구조 위에서 정의된다.