계절성

1. 계절성이란 무엇인가 Introduction

많은 시계열(time series)이 계절성(seasonality)을 보인다. 계절성이란 규칙적인 달력 주기로 나타나는 순환적 행태를 말한다. 어떤 계열이 주기(period) s로 주기적 행태를 보인다는 것은, s개의 기본 시간 간격마다 계열에 유사한 패턴이 반복된다는 뜻이다.

계절성은 경제 시계열에서 매우 흔하다. 흔히 시차 s = 12개월에서 강한 연(年) 단위 성분이 나타난다. 예컨대 소매 판매는 크리스마스 시즌에 정점을 찍고 연휴가 끝나면 감소한다. 학년의 시작·종료 같은 달력 효과는 노동력의 변화나 사람들의 이동 같은 규칙적 흐름을 만든다. 날씨의 규칙적 변동은 특정 재화의 생산·판매·소비에 규칙적 반응을 일으키고, 농업 관련 변수는 생장·수확 계절에 따라 변한다. 보험금 청구 건수도 허리케인 시즌에는 늘고, 건조한 날씨에는 화재 증가로 늘어나기 쉽다. 계절성은 보통 자기상관 그림(autocorrelation plot), 계절 부분계열 그림(seasonal subseries plot), 스펙트럼 그림(spectral plot)으로 진단할 수 있다.

2. 고전적 분해 모형 The Classical Decomposition Model

고전적 모형에서는 시계열이 네 가지 성분으로 이루어진다고 본다.

• 추세 성분(trend, T_t) — 계열의 장기적 진화를 나타낸다.
• 순환 성분(cycle, C_t) — 추세 주위의 매끄러운 움직임으로, 확장·수축 국면이 번갈아 나타나는 것을 보여 준다.
• 계절 성분(seasonal, S_t) — 해마다 다소 규칙적으로 반복되는 연중(월별·분기별) 변동을 나타낸다.
• 불규칙(랜덤) 성분(Y_t) — 정상(stationary) 과정으로, 평균이 시간에 의존하지 않고 자기공분산이 시차에만 의존한다.

순환 성분과 계절 성분의 차이는, 후자가 규칙적인(계절) 간격으로 나타나는 데 비해 순환 요인은 보통 주기마다 길이가 달라지는 더 긴 지속기간을 갖는다는 점이다. 추세와 순환 성분은 관례적으로 하나의 추세-순환 성분(TC_t)으로 묶는다. 예를 들어 X_t가 출근 통행 시간이라면, 계절성은 월요일 아침에 운전자가 더 많고 금요일 아침에 더 적은 것으로, 추세는 교통량의 점진적 증가로, 순환은 에너지 위기 때 교통량이 줄었다가 나중에 정상(추세)으로 복귀하는 것으로, 랜덤성은 특정 날 사고로 교통이 느려지는 것으로 나타난다. 이 성분들은 잘 알려진 가법(additive) 또는 승법(multiplicative) 분해 모형에 따라 결합된다.

가법 모형:

승법 모형:

여기서 X_t는 시각 t에서 관측된 시계열 값이다. 승법 모형에서 TC_t와 Y_t는 백분율로 표현된다. X_t를 승법 모형이 더 정확히 나타내는 경우라면, 원계열의 로그를 취한 값에는 가법 모형이 적절해진다.

3. 계절조정 절차 개관 Adjustment Procedures

계절 시계열을 다룰 때 흔한 목표 하나는, 관측 가능한 계열 X_t에서 계절 성분 S_t를 추정·제거하여 계절조정 계열(seasonally adjusted series)을 얻는 것이다. 계절성을 제거한(탈계절화된) 시계열은 분석하기 더 단순한 패턴만 남는다. 일반적으로 S_t를 추정하는 데에는 회귀(regression), 이동평균(moving averages), 명시적 모형(explicit models)의 세 가지 접근이 있다.

4. 회귀 방법 Regression Methods

회귀 방법은 계절조정에 대한 최초의 모형 기반 접근을 제공했다. 기본 발상은 추세와 계절 성분에 대해 몇몇 모수에 선형으로 의존하는 함수형을 정하고, 최소제곱으로 모수를 추정한 뒤, 추정된 계절 성분을 자료에서 빼는 것이다. 계절 성분은 다음처럼 나타낼 수 있고,

추세-순환 성분은 다음처럼 나타낼 수 있다.

여기서 C_t,i는 더미변수(dummy variable)들의 집합일 수도 있고, 계절 패턴이 한 계절에서 다음 계절로 어느 정도 연속성을 갖는다고 가정하면 다음처럼 삼각함수(trigonometric functions)로 모형화할 수도 있다.

식 (3)을 단순하고 자연스럽게 수정하면 α_i를 t에 의존하게(α_t,i) 만들 수 있다. 물론 α_t,i는 t에 따라 천천히 변해야 한다. 한 연구에서는 삼각함수 항의 계수가 1차 자기회귀(AR(1)) 과정을 따르도록 일반화하여, 계절성이 결정론적이 아니라 확률적(stochastic)이 되도록 허용했다. 회귀 접근은 추세·계절 성분의 수학적 형태를 명시적으로 지정해야 하기 때문에, 미국 정부 기관에서는 사용되지 않았다. 경제 계열은 단순한 수학 함수로 표현되는 일이 드물기 때문이다.

5. 센서스 X-11 방법: 이동평균 The Census X-11 Method

센서스 X-11 소프트웨어는 1954년 줄리어스 시스킨(Julius Shiskin)이 개발했고, 정부와 산업계에서 널리 쓰여 왔다. 이 계절조정 기법은 1957년 센서스 방법 II(Census Method II)와 그 X-1, X-2, …, X-11 판본들로 이어졌다. 센서스 절차의 기본 특징은 이동평균 필터(moving average filters)의 연속을 사용해 계열을 계절 성분·추세 성분·잡음 성분으로 분해한다는 점이다. X-11 계절조정의 기본 도구인 이동평균은 계열에서 원치 않는 성분을 제거하도록 설계된 평활 도구다. 대칭 이동평균 연산자는 다음 형태를 갖는다.

여기서 m은 음이 아닌 정수이고, λ^|j|는 X를 평균할 때의 가중치다. X-11 방법은 여러 실세계 응용에서 좋은 추정을 주는 것으로 입증되었으나, 이 절차가 쓰는 추정량의 통계적 성질을 알 수 없다는 비판을 받는다. 또 다른 어려움은 이동평균을 쓰기 때문에 계열의 양 끝점에서 문제가 생긴다는 것이다. 길이 T인 계열에 대해 t = 1, …, m 및 t = T − m + 1, …, T에서는 식 (5)로 S(λ, m)X_t를 계산할 수 없다. 이 문제는 필요한 초기·말기 미관측값을 그 예측값으로 대체하는 X-11-ARIMA 방법으로 해결된다.

6. 모형 기반 접근과 ARIMA Model-based Approach and ARIMA

센서스 X-11의 대안으로 모형 기반 방법이 제안되었다. 이들은 관측 자료의 적당한 변환에 대해 X_t = TC_t + S_t + Y_t 형태의 가법 모형을 가정하며, 성분 TC_t, S_t, Y_t가 서로 독립이고 각각 가우시안 자기회귀누적이동평균(ARIMA) 모형을 따른다고 본다. 실제로는 성분들이 관측되지 않으므로, 먼저 X_t에 대한 ARIMA 모형을 정하고, 어떤 제약 아래에서 성분 TC_t, S_t, Y_t를 유일하게 추정한다.

ARIMA 모형은 차분(differencing) 같은 변환으로 정상화할 수 있는 시계열에 대한 가장 일반적인 모형군이다. 후방이동연산자(backward shift operator) B는 다음으로 정의된다.

X_t는, d가 음이 아닌 정수이고 Y_t = (1 − B)^dX_t가 차수 (p, q)의 인과적 자기회귀이동평균(ARMA) 과정일 때, 차수 (p, d, q)의 ARIMA 과정이라 한다. 즉 X_t는 다음 형태의 식으로 생성된다.

여기서 E_t는 ‘백색잡음(white noise)’ 과정(평균 0, 분산 σ²인 서로 무상관 확률변수열)이고,

이다. 보통 φ(x) = 0의 근이 모두 단위원 |x| = 1 밖에 있다고 가정한다. 그러면 Y_t = (1 − B)^dX_t는 정상·인과적이고, 따라서 동등한 MA(∞) 과정으로 표현된다.

7. 승법 계절 ARIMA(SARIMA) 모형 Multiplicative Seasonal ARIMA

승법 계절 ARIMA 모형은 계절 시계열을 표현하는 데 유용한 형태를 제공한다. 월별 자료 같은 계절 모형은, (7)에서 B를 B^s(예: B¹²)로 바꾼 모형으로 해마다 연결될 수 있다. 즉

이며, 여기서 Φ(B^s) = 1 − Φ₁B^s − ⋯ − Φ_PB^sP, Θ(B^s) = 1 + Θ₁B^s + ⋯ + Θ_QB^sQ이다. 사실 U_t는 탈계절화된 계열로 볼 수 있다. 이 모형은 사실상 연(年) 간격으로 관측을 떼어 낸 12개의 개별 시계열(매월 하나씩)에 적용된다. 같은 해 안의 인접한 달들 사이에 연관이 있다면, U_t들 사이에도 직렬상관 패턴이 있어야 한다. 이들은 비계절 ARIMA 모형 φ(B)(1 − B)^dU_t = θ(B)E_t로 연결된다. 이를 (11)에 대입하면 승법 계절 모형을 얻는다.

이런 유형의 모형을 일반 승법 계절 모형, 또는 ARIMA(P, D, Q)(p, d, q) 모형이라 부른다. 계절 ARIMA 모형은 한 주기에서 다음 주기로 넘어갈 때 계절 패턴에 무작위성이 있는 것을 허용한다.

8. X-11-ARIMA, X-12-ARIMA와 주기적 모형 X-11/X-12-ARIMA and Periodic Models

X-11-ARIMA는 센서스 II 방법의 X-11 변형을 확장한 것이다. 세 성분(추세-순환·계절·잡음) 사이에 가법 또는 승법(즉 로그-가법) 관계를 가정하는 두 가지 분해 모형을 허용하며, 기본 확률모형으로 식 (13) 형태의 계절 ARIMA 모형을 X_t에 가정한다. X-11에서의 끝점 문제는, 원계열의 양 끝을 계절 ARIMA 모형의 외삽값으로 연장한 뒤 X-11 필터로 계절조정함으로써 해결된다. X-12-ARIMA는 X-11-ARIMA보다 크게 개선되었지만 핵심 계절조정 연산은 본질적으로 X-11과 같고, 주된 기여는 추가적인 유연성에 있다.

주기적 모형(periodic models)은 자기회귀나 이동평균 모수가 연중 계절에 따라 변하도록 허용한다. 계절 성분과 비계절 성분이 상관되어 있을 뿐 아니라 그 상관이 계절마다 달라지는 시계열에 유용하다. 차수 p의 주기적 자기회귀 PAR(p)는 다음처럼 쓴다.

여기서 μ와 φ_i는 계절에 따라 달라질 수 있는 모수다. 이런 모형은 박스–젠킨스(Box–Jenkins)의 ‘간결한 모수화(parsimonious parametrization)’ 원칙과 충돌한다는 비판을 받지만, 실무 상황에서 적어도 고려해 볼 가치가 있다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 계절성 (seasonality) — 달력 주기(보통 1년)로 규칙적으로 반복되는 시계열의 순환적 변동.
• 주기 (period, s) — 패턴이 반복되는 기본 간격. 월별 자료는 s = 12, 분기별은 s = 4.
• 추세-순환 / 계절 / 불규칙 성분 — 시계열을 분해한 네 성분 중 묶거나 나눈 것. 각각 장기 진화, 연중 반복, 무작위 잡음을 담당.
• 가법 / 승법 모형 — 성분을 더해서(가법) 또는 곱해서(승법) 결합하는 분해 모형. 계절 진폭이 수준에 비례하면 승법.
• 계절조정 (seasonal adjustment) — 관측 계열에서 계절 성분을 추정·제거해 탈계절화 계열을 얻는 절차.
• 이동평균 필터 (moving average filter) — 인접 시점들을 가중평균해 특정 성분을 매끄럽게 만들거나 제거하는 도구.
• 후방이동연산자 (backward shift, B) — B^kX_t = X_t−k로 시점을 뒤로 미는 연산자.
• ARIMA (p, d, q) — 차분으로 정상화한 뒤 AR(p)·MA(q)로 모형화하는 시계열 모형군.
• 승법 계절 ARIMA (SARIMA) — 비계절 다항식과 계절 다항식(B^s 사용)을 곱으로 결합한 계절 시계열 모형.
• X-11 / X-12-ARIMA — 이동평균 필터와 ARIMA 외삽을 결합한, 정부·산업계 표준 계절조정 프로그램.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

계절성은 보험 손해율과 사고 빈도에 뚜렷하게 나타난다. 자동차보험에서는 겨울철(12~2월) 결빙 사고와 여름 장마·폭우로 인한 사고가 증가하여 분기별 손해율이 계절 주기를 그린다. 화재보험에서도 난방 기기 사용이 집중되는 동절기에 화재 사고가 집중되며, 이러한 계절 패턴은 요율 산정 및 지급준비금 예측에 반드시 반영되어야 한다.

계절성 조정은 시계열 분해(STL, X-13 등) 기법으로 추세·계절·잔차 성분을 분리한 뒤, 계절지수(seasonal index)를 산출해 월별 기대손해율 예측에 활용한다. 손해보험에서 월별 참조손해율 산출 시 계절 조정 없이 단순 평균을 사용하면 겨울 분기의 준비금이 과소 추정되는 오류가 발생하므로, 내부 통계 모형에 계절성 항을 명시적으로 포함하는 것이 표준 실무다.

IFRS17 최선추정(BEA)의 현금흐름 투영에서도 계절성은 중요하다. 입원보험이나 실손의료보험의 경우 감기·독감 등 호흡기 질환의 동절기 집중으로 의료이용이 분기별로 불균등하며, 이를 무시하면 1분기 보험부채가 과소 평가될 수 있다. 5세대 실손(2026.5)에서 비중증 비급여 자기부담을 50%로 상향한 이후 계절별 의료이용 패턴 변화도 모니터링 대상이다.