다변량통계

1. 들어가며 Introduction

대부분의 보험계리 응용에서는 하나의 통계변수만 고려하는 것으로는 충분하지 않다. 예컨대 보험회사는 항상 자사의 위험을, 피보험자를 적절히 묘사하는 여러 설명변수와 관련지으려 한다. 그래서 실증적 보험계리 작업은 대개 다변량 통계기법(multivariate statistical techniques)의 적용을 뜻한다.

2. 기초 Fundamentals

n명의 개인 또는 n개의 기업에 대해 p개 변수의 자료가 주어지면, 흔히 (n×p) 자료행렬(data matrix)에 저장한다.

다변량통계에서는 선형대수·행렬대수를 능숙하게 다루는 것이 큰 도움이 되며, 복잡한 다변량 기법을 이해하는 데에는 기하학적 직관도 매우 유용하다.

확률벡터 x = (x₁, …, x_p)^t에 대해 다변량 기댓값은 성분별로 정의되어, 예컨대 기댓값 벡터(expectation vector)를 얻는다.

그리고 공분산행렬(covariance matrix)은 다음과 같다.

여기서 j ≠ k에 대한 공분산 σ_jk와, 대각의 분산 σ_jj = σ_j²가 들어간다. 이후 x^t, X^t는 각각 벡터·행렬의 전치(transpose)를 뜻한다.

다변량 검정에는 잘 알려진 일변량 표집분포의 다변량 일반화가 필요하다. 즉 p차원 다변량 정규분포 N_p(μ, Σ), (카이제곱분포의 일반화인) 위샤트분포(Wishart) W_p(Σ, n), (t분포의 다변량 대응인) 호텔링 T² 분포, 그리고 윌크스 Λ(Wilks' lambda)의 분포 등이다. 다변량에서는 F분포를 따르는 이차형식의 비(比) 대신, 행렬식이나 고윳값의 비를 자주 쓰며, Λ분포는 베타분포의 다변량 일반화다.

점추정량을 찾고 그 성질을 규명하는 일변량 방법의 일반화는 직접적이다. (산술)평균벡터 x̄ = (x̄₁, …, x̄_p)^t와 경험적 공분산행렬을 다음으로 정의한다.

여기서 x₁, …, x_n은 기댓값 벡터 μ와 공분산행렬 Σ를 갖는 다변량 밀도에서 뽑은 확률표본이다. 그러면 x̄와 S는 μ, Σ의 최대가능도(ML) 추정량이고 E(x̄) = μ, E(S) = ((n−1)/n)Σ 이다. 추가로 x₁, …, x_n ~ N_p(μ, Σ)이면 x̄ ~ N_p(μ, Σ/n), nS ~ W_p(Σ, n−1)이고, x̄와 S는 서로 독립이다.

3. 주성분분석 Principal Components Analysis (PCA)

처음 두 부류의 기법(주성분·요인분석)에서는 보통 관측변수의 집합이 비교적 크다. 이 변수들은 평균·분산을 계산하는 것이 의미가 있어야 하므로 계량적(metric) 척도여야 한다. 목표는 차원 축소(dimensional reduction), 즉 가능한 한 많은 관련 정보를 담은 아주 적은 수의 새 변수를 만드는 것이다. 첫 번째 방법인 주성분분석은 순수하게 기술적(descriptive)인 기법으로, 새 변수(주성분)가 주어진 변수들의 분산을 가능한 한 많이 담도록 한다.

전형적 예: 한 금융분석가가 여러 기업의 재무 건전성을 평가하려는데, 유용할 법한 변수를 약 100개 찾았다. 그러나 이 변수들은 서로 높게 상관되어 있고 100개는 너무 복잡하다. 그래서 그는 관측변수들을 아주 적은 수의 지수로 압축하려 한다.

관측변수 x₁, …, x_p ∈ Rⁿ은 표준화(standardize)해야 한다 — 즉 중심화하고 분산을 1로 맞춘다(그렇지 않으면 원변수들이 서로 다른 가중치로 새 변수에 영향을 준다). 그러면 입력 자료는 경험적 상관행렬 R = (1/n)X^tX 가 된다.

더 형식적으로, 목표는 관측변수들의 선형결합인 q ≤ p개의 중심화·서로 직교(무상관)인 주성분 f₁, …, f_q를 만드는 것이다.

이때 정규화된 모수(적재값, loadings) 벡터 b_k를 쓰며, f₁은 자료의 분산을 최대로 설명하고, f_k는 앞의 k−1개 주성분이 아직 설명하지 못한 분산을 최대로 설명하도록 한다. 대수적으로 이는 고윳값 문제(eigenvalue problem)다. 상관행렬 R의 고윳값을 λ₁ ≥ λ₂ ≥ … ≥ λ_p, 대응하는 정규직교 고유벡터를 열로 갖는 행렬을 V라 하면 B = V, F = XV 이다. R가 대칭이므로 모든 고윳값·고유벡터는 실수이고 서로 다른 고윳값의 고유벡터는 직교한다. 스펙트럼 분해를 통해 주성분의 공분산행렬은 대각이 되고, 대각성분이 Var(f_k) = λ_k 임을 보일 수 있다.

전체분산 λ₁+…+λ_p 중 앞의 q개가 차지하는 부분 λ₁+…+λ_q가 설명된 분산이고, 나머지는 정보 손실(설명되지 않은 분산)을 나타낸다. 주성분 개수 q는 예컨대 고윳값(분산)이 1보다 큰 주성분만 택하거나, 고윳값을 지표 k에 대해 그린 스크리(scree) 그림에서 '팔꿈치'를 찾아 정할 수 있다. 표본크기에 너무 민감한 바틀렛 검정은 이 용도로는 권장되지 않는다.

4. 요인분석 Factor Analysis

(탐색적) 요인분석에서도 PCA처럼 계량 척도의 변수가 비교적 많고 이를 아주 적은 새 변수(요인)로 줄이려 한다. 그러나 이 두 번째 차원축소 기법에서 요인은 관측되지 않는 잠재변수(latent variable)로 가정되며, 요인은 관측변수들 사이의 상관을 설명하기 위해 식별된다.

전형적 예는 차익가격결정이론(arbitrage pricing theory)으로, 증권 수익률에 영향을 주는 유의한 요인을 식별하기 위해 이른바 지수모형이 유도된다. 이 (대개 관측 불가능한) 요인으로는 시장효과, 유동성 요인, 산업효과, 거시경제 요인 등이 가정된다.

PCA처럼 관측변수 y₁, …, y_p를 표준화한 뒤, q ≪ p개의 공통(잠재)요인 f₁, …, f_q를 다음 모형으로 찾는다.

여기서 l_jk는 적재값, u_ij는 개별요인·측정오차 등을 담은 잔차다. 요인은 표준화되고 서로 무상관이며, 잔차는 중심화·서로 무상관이고 (서로 다를 수 있으나) 일정한 분산을 가지며, 요인과 잔차는 무상관이다. 이 가정들로부터 요인분석의 기본정리(분산분해)를 얻는다.

즉 Var(y_j) = l_j1²+…+l_jq²+σ_j²이며, 앞부분이 y_j의 공통성(communality) h_j²이다. 또 Cov[y, f] = L^t 이어서 l_jk = ρ(y_j, f_k) 가 된다.

요인공간 추정은 주성분요인추출(PCF)·주축요인추출(PAF)·최대가능도 등으로 한다. 초기 적재구조는 해석이 어려운 경우가 많아, Varimax·Quartimax 같은 회전으로 좌표계를 돌려 해석을 개선한다. 회전해도 식 (6)–(7)은 동변적으로 변환되고 공통성은 불변이다. Oblimax·Oblimin 회전으로 상관된 요인(사각 요인모형)을 만들 수도 있다. 확인적 요인분석에서는 사전지식으로 구조적 가설을 부과해 모형을 완전히 식별한 뒤 모수를 추정·검정한다. 범주형 관측변수/요인을 다루는 경우는 잠재구조분석(잠재범주분석 등)이라 한다.

5. 다변량 분산분석 (MANOVA) Multivariate Analysis of Variance

다변량 분산분석(MANOVA)은 (범주형 회귀변수만 갖는) 고전적 다변량 선형회귀모형의 특수한 경우로, 특정 연구목표를 갖는다. 일원(한 회귀변수) MANOVA의 기본모형은 다음과 같다.

여기서 범주형 회귀변수(요인) μ는 g개의 수준(집단)을 가지며, 각 집단마다 n개 관측(균형 MANOVA), 종속변수는 p차원 계량변수 y, 교란항 u ~ N(0, σ²I)이다. MANOVA의 연구목표는 요인이 y에 영향을 주는지, 즉 H₀: μ₁ = … = μ_g 를 검정하는 것이다.

일변량처럼 총제곱합을 집단내 W와 집단간 B로 분해한다.

B와 W는 위샤트분포를 따른다. F검정통계량의 다변량 일반화는 윌크스 Λ라 불리는 가능도비(LR) 통계량이다.

여기서 λ_k는 W⁻¹B의 0이 아닌 고윳값이다. H₀ 아래에서 Λ는 Λ(p, n−g, g−1)분포를 따르며, 근사적으로는 −(n−(p+g)/2−1)·ln(Λ) ≈ χ²(p(g−1)) 의 카이제곱 근사를 쓴다.

균형 이원 MANOVA y_ijkl = μ_kl+u_ijkl 는 g·h개 수준의 두 범주형 요인을 가지며, 요인 간 상호작용효과와 각 요인의 주효과를 검정한다. 요인을 더 추가하면 자료수집 부담이 커져 실험설계 기법이 필요할 수 있다. 불균형 MANOVA는 일원에서는 쉽게 다뤄지나, 이원에서는 직교성이 깨져 검정이 복잡해진다. u의 공분산구조에 계량 회귀변수를 추가하되 범주형 요인의 영향에 초점을 두는 경우는 다변량 공분산분석(MANCOVA)이라 한다.

6. 판별분석 Discriminant Analysis

모집단이 g ≥ 2개의 서로 배타적인 클래스 Q₁, …, Q_g로 분류되어 있고 g는 알려져 있다. 학습표본의 개체에 대해서는 클래스 소속 k와 p개의 판별변수 x를 관측한다. 판별분석의 목표는 클래스를 가장 잘 구분하는 변수를 식별하고, 클래스 k를 모르는 미래 개체를 클래스 중 하나로 배정하는 결정함수(예측규칙)를 만드는 것이다. x와 k는 사전확률 P(k), 클래스밀도 f(x|k), 베이즈 정리로 계산되는 사후확률 P(k|x)로 특징지어진다.

공분산행렬들 Σ₁, …, Σ_g의 동일성은 가능도비 검정으로 확인해야 한다. 공분산행렬이 서로 다르면 판별함수는 x에 대해 이차(quadratic)가 되어 마할라노비스 거리에 기반하지 않고 불변성이 사라지며, 정규성 위반에 더 민감해진다. 이때는 다항로짓모형이 합리적 대안이다.

관측변수가 그 자체로는 좋은 판별력이 없지만, 클래스 간 분산을 최대화하고 클래스 내 분산을 최소화하는 q개의 선형결합 y_k = b^tx가 훨씬 나을 수 있다. 이는 PCA의 아이디어를 차용한 피셔의 비모수 결정규칙으로 이어진다. W⁻¹B의 0이 아닌 고윳값 λ₁ ≥ … ≥ λ_q에 대응하는 고유벡터 b₁, …, b_q가 정준변수 y₁, …, y_q를 정의한다.

7. 군집분석 Cluster Analysis

판별분석처럼 군집분석의 목표도 n개 개체를 g ≤ n개의 서로 배타적·전체망라적인 클래스(군집)로 분류하여, 군집 내부는 가능한 한 동질적이고 서로 다른 군집은 가능한 한 다르게 만드는 것이다. 그러나 여기서는 군집과 그 개수가 미지(未知)이며, 군집변수 x₁, …, x_n만 관측된다. 절차는 순전히 기술적·탐색적이다.

전형적 예는 교통사고의 탐색적 분석이다. 보험회사는 차량·운전자·도로유형·시간대·사고심도·속도 등에서 사고의 공통 패턴을 찾아 향후 유사 사고 위험을 줄이려 한다.

첫 단계는 적절한 유사도/거리 측도의 선택이다. 일치계수 같은 유사도는 주로 명목변수용, 유클리드(L2) 거리 같은 거리측도는 계량변수용이다. 둘째 단계는 군집기법의 선택이다(기술적/확률적, 계층적/비계층적, 병합적/분할적). 표준적 선택은 기술적·계층적·병합적 군집으로, 처음에 n개 개체(군집)에서 시작해 가장 가까운 개체·군집을 순차적으로 병합한다. 거리측도로는 단일연결·완전연결·평균연결·Ward법 등이 있다. 덴드로그램(dendrogram)은 병합 과정을 족보처럼 직관적으로 보여주며, 동질성 지수에서 비교적 큰 도약을 찾아 군집 개수를 정하곤 한다.

8. 그 밖의 방법 Further Methods

그 밖의 다변량 방법은 회귀모형, 일반화선형(GL)모형, 로지스틱회귀모형, 지속기간모형, 시계열, 비모수통계 등에서 소개된다. '다차원척도법(multidimensional scaling)'에 대해서는 별도 문헌을 참고하라.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 자료행렬 (data matrix) — n개체 × p변수를 담은 (n×p) 행렬. 다변량 분석의 입력.
• 공분산행렬 / 상관행렬 (covariance / correlation matrix) — 변수쌍의 공분산(상관)을 모은 대칭행렬. 변수 간 의존구조를 요약.
• 주성분분석 PCA (principal components analysis) — 상관행렬의 고유분해로 분산을 최대로 담는 새 변수(주성분)를 만드는 차원축소.
• 요인분석 (factor analysis) — 관측변수의 상관을 설명하는 소수의 잠재요인을 찾는 기법.
• 적재값 / 공통성 (loading / communality) — 적재값은 변수–요인 상관, 공통성은 요인들이 설명하는 변수 분산의 비율.
• MANOVA — 여러 종속변수를 동시에 다루는 다변량 분산분석. 윌크스 Λ로 집단 평균 차이를 검정.
• 위샤트분포 / 윌크스 Λ (Wishart / Wilks' lambda) — 각각 카이제곱·F의 다변량 일반화. 다변량 검정의 표집분포.
• 판별분석 (discriminant analysis) — 클래스가 알려진 학습자료로 새 개체를 분류하는 규칙을 세우는 기법.
• 마할라노비스 거리 (Mahalanobis distance) — 공분산을 반영한 거리. 가장 가까운 클래스 중심을 고르는 선형판별의 기준.
• 군집분석 / 덴드로그램 (cluster analysis / dendrogram) — 미지의 군집을 찾는 탐색적 분류. 병합 과정을 나무로 그린 것이 덴드로그램.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

다변량통계(Multivariate Statistics)는 복수의 변수를 동시에 분석하여 변수 간 상관·공분산 구조를 파악하는 방법론이다. 국내 보험 계리에서는 주성분분석(PCA)과 군집분석(cluster analysis)이 계약자 세분화, 상품 포트폴리오 분석, 대규모 청구 데이터의 차원 축소에 활용된다. 자동차보험 테레매틱스(telematics) 데이터를 처리할 때 운전 행태 변수(급가속·급제동·주행거리 등) 수십 개를 PCA로 압축해 위험 점수를 산출하는 것이 대표적 사례다.

다변량 정규 분포와 코퓰러(Copula)를 결합한 다변량 손해 모형은 손해보험의 복합 위험 평가에 쓰인다. K-ICS 체계에서 생명·손해·금리·신용·운영 리스크를 집계(aggregation)할 때 선형 상관행렬과 Var-CoVar 접근법을 사용하므로, 각 리스크 모듈 간 상관 가정이 다변량통계의 핵심 입력값이다. 상관계수 설정에 오류가 생기면 요구자본이 과소 또는 과대 추정된다.

IFRS17의 위험조정(RA) 산출에서 신뢰수준(예: 75th percentile) 기준 위험 분포는 다변량 분포의 결합 분포에서 백분위수를 구해야 한다. 단변량 VaR 단순 합산은 분산 효과를 무시하여 RA를 과대 추정하므로, 다변량 시뮬레이션이나 코퓰러 모형으로 결합 분포를 구성하는 방법이 적용된다. 보험사 간 RA 산출 방식의 일관성 확보가 향후 감독 과제로 남아 있다.