랜덤워크 (Random Walk)

1. 개요 Introduction

랜덤워크는 모든 확률과정 가운데 가장 단순하며 마르코프 과정과 마팅게일의 예를 동시에 품는다. 독립이고 동일분포인 보폭(step) X_r을 누적하여 위치를 정한다.

고전적 의미의 랜덤워크는 정상·독립 증분의 이산시간 과정이다(연속시간 대응물은 Lévy 과정). 보험수리에서는 파산이론에 널리 나타난다. 이산시간 잉여과정(청구−보험료)이 랜덤워크이며, 초기준비금 u에 대한 파산확률은 전기간 최댓값 M=sup_nS_n으로 P(M>u)로 주어진다. M은 GI/G/1 대기행렬의 대기시간과 같은 분포를 가진다.

2. 재귀성과 일시성 Recurrence & Transience

랜덤워크는 마르코프 연쇄이므로 재귀(recurrent)/일시(transient) 문제가 즉시 제기된다. 점유측도 G(A)=E(N(A))를 도입하면 원점 주변 ε-공의 누적 기대 방문 수로 판정한다.

특히 d=1이고 평균 μ=EX가 존재하면 μ=0일 때 재귀, μ≠0이면 일시적이다. 차원이 d≥3이면 모든 진정한 랜덤워크는 일시적이다(Chung–Fuchs 정리).

3. 사다리 시각과 진동 Ladder Times

d=1에서는 재귀/일시보다 진동(oscillation)/한쪽 표류(drift)의 구분이 더 근본적이다. 첫 ‘상승 사다리 시각’을 양의 반직선에 처음 진입하는 시각으로 정의한다.

그 분포는 ρ_n=P(S_n>0)의 수열로 결정된다(Sparre Andersen).

이 결과는 단계분포 F가 대칭이고 점 0에 질량이 없으면 사다리 시각의 분포가 F에 무관하게 같음을 함의한다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 랜덤워크 — i.i.d. 보폭의 누적합으로 정의되는 과정.
• 점유측도 — 각 영역을 누적으로 몇 번 방문하는지의 기댓값.
• 재귀/일시 — 원점 근방을 무한히 자주 방문하는가의 여부.
• 사다리 시각 — 과거 최댓값을 처음 갱신하는 시각.
• 표류(drift) — 평균이 0이 아니어 한쪽으로 쏠리는 경향.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

랜덤워크는 본문대로 파산이론에서 가장 직접적으로 쓰인다. 한국의 RBC를 대체한 K-ICS에서 "가용자본이 요구자본 아래로 내려가지 않을 확률"을 보는 사고는, 이산시간 잉여과정을 랜덤워크로 보고 초기자본 u에 대한 전기간 최댓값으로 파산확률을 평가하는 구조와 동형이다. 보험료가 기대청구를 웃돌아 증분의 평균이 양(+)이어야 안전하다는 조건이 안전할증의 이론적 근거다.

자산운용·ALM에서도 주가·금리의 누적 변동을 랜덤워크(연속시간에서는 Lévy·브라운 운동)로 모형화해 시나리오를 생성한다. 랜덤워크는 마르코프 과정이자 마팅게일의 가장 단순한 예이므로, 뒤따르는 모든 확률과정 모형의 출발점이 된다.