마르코프 연쇄와 마르코프 과정 (Markov Chains and Markov Processes)
1. 마르코프 성질 Markov Property
확률과정 X={Xt}가 마르코프 과정이라 함은 “미래는 과거에 대해 오직 현재를 통해서만 의존한다” — 즉 현재가 주어지면 과거와 미래가 독립이라는 것이다.
시간은 이산(I=ℕ0) 또는 연속(I=[0,∞)), 상태공간 E는 유한·가산 또는 ℝd의 가측 부분집합일 수 있다. 여과(filtration)에 적응되어 있고 L(Xt|Fs)=L(Xt|Xs)이면 그 여과에 대한 마르코프 과정이다.
2. 이산시간 마르코프 연쇄 Discrete-time Chains
상태공간이 가산이면 마르코프 연쇄라 한다. 가장 기본은 전이확률이다.
1단계 전이확률 pij(m)=pij(m,m+1)이 모든 전이확률을 결정한다. 행렬 형태로 쓰면 Chapman–Kolmogorov 방정식이 된다(각 P는 행합이 1인 확률행렬).
초기분포 μ0와 1단계 전이확률이 함께 유한차원분포를 결정한다.
3. 동차성과 강마르코프성 Homogeneity & Strong Markov
전이확률이 시간에 무관하면 시간동차(homogeneous) 연쇄다. 이산시간 마르코프 연쇄는 항상 강마르코프(strong Markov) 성질을 만족한다: 정지시각 τ 이후로 옮긴 과정이 다시 같은 법칙의 마르코프 연쇄가 된다. 도달시각(hitting time) 등 다양한 특성을 분석할 때 핵심이 된다.
동차 연쇄에서 상태 j가 i에서 도달가능하면 i→j로 쓴다. 이로부터 연쇄를 기약(irreducible)·재귀·일시로 분류하고, 기약·재귀 연쇄는 평형(정상)분포를 가지며 재생성 과정의 한 예가 된다.
참고 및 관련 표제어
부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)
- 마르코프 성질 — 현재가 주어지면 과거·미래가 독립.
- 전이확률 pij — 한 상태에서 다른 상태로 옮길 확률.
- Chapman–Kolmogorov 방정식 — 전이확률 합성 규칙.
- 확률행렬 — 성분≥0, 행합=1인 행렬.
- 강마르코프성 — 정지시각에서도 마르코프 성질이 유지됨.
- 기약(irreducible) — 모든 상태가 서로 도달 가능.
한국보험시장 현황 Korea Market Practice
마르코프 다중상태모형은 한국에서 CI보험·간병(LTC)·실손의 상태전이 현금흐름 산출의 표준틀이다. 건강·질병·요양·사망을 상태로 두고 전이확률(또는 전이강도)로 보험료와 준비금을 계산하며, 노인장기요양 등급의 변화나 질병의 발생·회복·재발도 같은 방식으로 다룬다.
자동차 bonus-malus 등급, 신용·해지 상태의 전이도 전형적인 마르코프 연쇄다. IFRS17이 상태별 현금흐름의 최선추정을 요구하므로 전이확률의 추정과 검증이 핵심이 되고, Chapman–Kolmogorov 방정식으로 다기간 전이를 합성한다.
경험생명표·참조위험률과 별개로 다중상태 전이율은 자사 경험데이터(또는 표본코호트 등 공공DB)로 추정하는 경우가 많다. K-ICS의 장수·질병리스크 충격도 결국 전이율의 변동으로 해석되므로, 전이확률 추정의 안정성이 자본 산출의 토대가 된다.