분포의 이산화 (Discretization of Distributions)
1. 왜 분포를 이산화하는가 Motivation
보험회사(또는 어느 계약집단)의 총손실을 S = X₁+X₂+…+XN이라 하자. Xj는 개별 손실의 금액(심도, severity), N은 손실 건수다. 계리사의 주요 과제 중 하나가 이 총손실 S의 분포를 계산하는 일인데, Xj의 분포는 전형적으로 연속 부분과 이산 부분이 섞여 있다. 연속 부분은 손실이 임의의 (음이 아닌) 크기를 가질 수 있어서 생기고, 이산 부분은 특정 금액에 확률이 뭉치는(heaping) 데서 온다 — 클레임이 접수됐지만 지급액이 0인 경우, 100만 달러처럼 떨어지는 금액으로 합의되는 경우, 그리고 손실이 보상한도를 넘어 한도액이 그대로 지급되는 경우가 대표적이다.
S의 분포를 재귀식 등으로 계산하려면, 편리한 측정 단위 h(스팬, span)의 배수 위에 정의된 이산 심도분포를 만드는 것이 가장 쉬운 길이다. 음이 아닌 정수 격자 위에 정의되므로 이런 분포를 산술적(arithmetic) 분포라 한다. 분포를 "산술화"할 때 중요한 것은 원래 분포의 성질을 국소적으로(분포의 구간마다) 또 전역적으로(분포 전체에 대해) 보존하는 것이다 — 즉 분포의 전반적 모양을 유지하면서 적률 같은 전역적 양도 보존해야 한다. 아래 방법들은 연속분포는 물론 혼합분포, 비산술적 이산분포의 이산화에 모두 적용된다. 분포함수 FX(x)를 갖는 음이 아닌 확률변수를 생각하자.
2. 반올림법(질량 분산법) Method of rounding (mass dispersal)
fj를 점 jh에 놓을 확률이라 하면
여기서 FX(x−0)은 x에 놓인 이산 확률을 포함하지 않는다는 표기다(연속분포에서는 차이가 없다). 이 방법은 jh와 (j+1)h 사이의 확률을 갈라 j와 j+1에 "배정"하는 것으로, 사실상 모든 금액을 가장 가까운 화폐단위 h로 반올림하는 셈이다.
3. 국소 적률일치법 Method of local moment matching
이 방법은 이산화된 분포가 원래 심도분포의 적률 p개를 정확히 보존하도록 만든다. 길이 ph의 임의 구간 [xk, xk+ph)에서, 점 xk, xk+h, …, xk+ph에 점질량 m₀ᵏ, m₁ᵏ, …, mpᵏ를 놓되 처음 p개 적률이 보존되도록 한다. 조건을 나타내는 p+1개의 방정식은
이다(적분 한계의 −0은 xk의 이산 확률은 포함하고 xk+ph의 것은 제외한다는 뜻). 구간들을 xk+1=xk+ph로 이어 붙여 끝점이 겹치게 하고, 끝점의 점질량은 서로 더한다. x₀=0으로 두면 이산분포의 확률은 차례로
가 된다. 모든 k에 대해 합치면 전체 분포에서 p개의 적률이 보존되고 확률의 합이 정확히 1임을 알 수 있다. 남은 일은 연립방정식 (4)를 푸는 것뿐인데, 그 해는 라그랑주 보간 꼴로 닫혀 있다.
반올림법은 각 격자점 주변 ±h/2의 확률을 그 점으로 쓸어 담는다 — 확률의 총량(0차 적률)만 보존된다. 국소 적률일치법은 한 구간의 확률을 양 끝(과 중간) 격자점에 무게중심이 유지되도록 나눠 싣는다. p=1이면 구간 [xk, xk+h)의 확률과 평균(질량과 무게중심)이 보존되는 지렛대 균형이고, p=2면 분산까지 맞춘다. 적률을 보존하면 순보험료·스톱로스 보험료처럼 적률로 표현되는 양의 계산 오차가 작아진다.
4. 무엇을 쓸 것인가 — 수치적 권고 Practical findings
국소 적률일치법은 Gerber–Jones(1976)와 Gerber(1982)가 도입했고, Panjer–Lutek(1983)이 다양한 경험적·해석적 심도분포에 대해 검토했다. 총손실 스톱로스 순보험료(초과손해 순보험료)에 미치는 오차를 평가한 결과:
- 대개 적률 2개면 충분하며, 3차 적률까지 요구해도 정확도 개선은 미미하다.
- 반올림법과 1차 적률법(p=1)은 오차가 비슷한 반면, 2차 적률법(p=2)은 뚜렷한 개선을 준다.
- 단, 적률일치로 이산화한 "분포"는 [0, 1]을 벗어나는 "확률"을 가질 수 있음에 유의해야 한다.
이 방법들은 수치해석에서 볼테라(Volterra) 적분방정식을 푸는 수치 기법들과 정성적으로 유사하다.
평균 2인 지수분포 F(x)=1−e−x/2를 스팬 h=1로 이산화하라. 반올림법의 f₀, f₁, f₂와 1차 적률일치법의 f₀를 구하라.
반올림법. f₀=F(0.5)=1−e−0.25=0.2212, f₁=F(1.5)−F(0.5)=e−0.25−e−0.75=0.3064, f₂=F(2.5)−F(1.5)=e−0.75−e−1.25=0.1859, … . 1차 적률일치법(p=1). 구간 [0,1)에서 m₀⁰=∫₀¹(1−x)dF(x), m₁⁰=∫₀¹x dF(x)이다. ∫₀¹dF=1−e−0.5=0.3935, ∫₀¹x dF=2−3e−0.5=0.1804이므로 m₀⁰=0.3935−0.1804=0.2131, m₁⁰=0.1804 (합 0.3935 확인). 따라서 f₀=0.2131이고, f₁은 m₁⁰에 다음 구간 [1,2)의 m₀¹을 더해 얻는다. 반올림법보다 손이 더 가지만, 이렇게 만든 격자분포는 원분포와 평균이 정확히 일치하므로 스톱로스 보험료 계산에서 체계적 편향이 줄어든다.
총클레임 S의 분포를 판여(Panjer) 재귀나 FFT로 계산하려면 심도분포가 격자 위에 있어야 한다. 즉 이산화는 재귀 계산의 표준 전처리다. 스팬 h가 작을수록 정밀하지만 재귀 단계 수가 늘어나는 트레이드오프가 있어, 실무에서는 보상한도·공제금액이 h의 배수가 되도록 h를 고르는 것이 보통이다. 한국 손해보험 실무의 초과손해액 재보험 요율 산정, 금융감독원 지급여력제도(K-ICS)의 손해분포 접근법 등에서 같은 기술이 쓰인다.
참고 및 관련 표제어
부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)
- 총손실 (aggregate losses) — 랜덤 건수 N개의 손실금액 합 S=X₁+…+XN. 합성분포를 따른다.
- 심도 (severity) — 개별 손실·클레임의 금액 분포. 빈도(건수)와 짝을 이루는 개념.
- 스팬 (span) — 이산화 격자의 단위 간격 h. 화폐단위(만원·백만원 등)로 잡는 것이 보통.
- 산술적 분포 (arithmetic distribution) — h의 배수(사실상 음이 아닌 정수) 위에 정의된 이산분포.
- 뭉침 (heaping) — 0원, 떨어지는 합의금액, 보상한도액 등 특정 값에 확률이 몰리는 현상.
- 스톱로스 순보험료 (stop-loss net premium) — E[(S−d)₊]. 총손실이 보유한도 d를 넘는 부분의 기대값.
- 판여 재귀 (Panjer recursion) — (a, b, 0)족 빈도와 산술 심도로 총클레임 분포를 점화식으로 푸는 알고리즘.
- 라그랑주 보간 (Lagrange interpolation) — 식 (6)의 곱 형태 다항식. 적률일치 해의 닫힌 표현을 준다.
- 볼테라 적분방정식 (Volterra integral equation) — 적분 상한이 변수인 적분방정식. 파산이론·갱신이론에 자주 등장.
- 음의 확률 문제 — 적률일치 이산화가 만들 수 있는 [0,1] 밖의 값. 재귀 계산 전 점검이 필요하다.
한국보험시장 현황 Korea Market Practice
분포의 이산화는 그 자체가 목적이 아니라 총손실분포 계산의 전처리라는 본문의 위치 설정이 한국 실무에서도 그대로다. 단체보험·재보험 구조 평가·신상품 손익 시뮬레이션처럼 S = X₁+…+X_N의 분포가 필요한 자리에서, 심도분포를 격자 위로 이산화한 뒤 판저(Panjer) 재귀나 FFT로 합성분포를 계산하는 것은 몬테카를로 시뮬레이션과 함께 쓰이는 두 갈래 중 하나다. 국내 실무의 기본값은 시뮬레이션 쪽이지만, 재귀·FFT 방식은 표본오차가 없어 시뮬레이션 결과의 검증 기준으로 특히 유용하다.
제도 계산과의 접점은 꼬리 분위수다. IFRS17 위험조정(RA)을 신뢰수준 방식으로 산출하거나 K-ICS 내부 분석에서 보험리스크의 분위수를 구할 때, 총손실분포의 99% 이상 꼬리를 정확히 평가해야 하는데, 몬테카를로는 꼬리에서 표본오차가 커지는 반면 이산화+재귀는 격자 폭만 충분히 줄이면 원하는 정밀도를 보장한다. 본문의 상·하한 이산화(stop-loss 상·하계)는 "참값이 이 사이에 있다"는 구간 보증을 주므로, 재보험 초과손해(stop-loss) 보험료의 검증 계산에 특히 알맞다.
국내 계약 구조의 특징도 이산화 친화적이다. 실손의료보험의 자기부담금·보상한도, 재보험 특약의 층 구조, 단체계약의 1인당 한도처럼 분포에 "꺾이는 점"이 많은 계산에서는, 그 꺾임점들이 격자점 위에 오도록 격자 폭 h를 설계하면 수정 없이 정확한 계산이 된다. 적률보존(국소 모멘트 매칭) 방법으로 기대값을 보존하는 이산화를 쓰면, 격자가 거칠어도 보험료(평균) 수준이 틀어지지 않는다는 실무적 장점이 있다.
h는 ① 공제·한도 등 계약의 꺾임점이 격자점의 정수배에 오도록, ② 빈도 평균이 클수록 작게(합성곱이 누적되며 이산화 오차도 누적된다), ③ 최종 답(분위수·층별 기대손해)이 h를 절반으로 줄여도 변하지 않을 때까지 줄이는 식으로 정한다. 상한·하한 이산화를 둘 다 돌려 구간 폭을 보고서에 남기면 검증이 쉽다.