표제어 · 통계·수치

스플라인

Splines · 원저자: R. Champion, C.T. Lenard & T.M. Mills · 출처: Encyclopedia of Actuarial Science (Wiley, 2004)

읽는 법. 본문은 원문 표제어의 내용을 그대로 옮긴 것입니다. 회색 해설 · 예제 상자는 학부 입문 학습을 돕기 위해 새로 추가한 부분이며 원문에는 없습니다. 모르는 용어는 글 끝 부록을 참고하세요.

1. 스플라인이란 무엇인가 Introduction

보통 스플라인(spline) 또는 스플라인 함수(spline function)라는 말은 매끄러운(smooth) 조각별 다항식(piecewise polynomial)인 함수를 가리킨다. 이런 함수들이 가진 융통성(versatility)과 매끄러움 덕분에, 자료에 곡선이나 곡면을 맞추는 데(curve/surface fitting) 유용하다.

스플라인 함수는 1970년대에 그 계산을 위한 효율적인 알고리즘이 개발되면서 갑자기 각광받게 되었다. 흥미롭게도, 스플라인에 영감을 준 것은 주로 보험계리(actuarial science) 공동체에서 발전한 평활(smoothing) 알고리즘이었던 것으로 보인다. 쇤베르크(Schoenberg)는 제2차 세계대전 중 미사일 궤적 계산의 수치적 불안정을 극복하기 위해 자료에 매끄러운 함수를 맞추는 방법을 찾다가, 자신의 문제를 풀기 위해 ‘기본(cardinal)’ 스플라인 함수를 정의했다. 그는 (대부분 보험계리사들이 발전시킨) 이산 보정(graduation) 방법을 다룬 문헌의 한 장(章)과, 보험계리사 그레빌(Greville)이 매끄러운 보간·보정 곡선을 만들기 위한 접촉(osculatory) 다항식 공식을 체계화한 논문을 인용한다. 이처럼 보험계리는 스플라인의 역사에서 중요한 역할을 했다.

해설 스플라인 = "조각을 매끄럽게 이어 붙인 다항식"

구간 전체를 하나의 고차 다항식으로 맞추려 하면, 한 점을 움직였을 때 곡선 전체가 출렁이는 등 불안정해진다. 스플라인은 구간을 매듭(knot)으로 여러 토막으로 나눠 각 토막에 낮은 차수의 다항식(흔히 3차)을 쓰고, 매듭에서 함수값·1차·2차 도함수가 매끄럽게 이어지도록 강제한다. 그래서 “국소적으로 단순하면서 전체적으로 매끄러운” 곡선을 얻는다. 이름 자체가 옛 제도사들이 곡선을 그릴 때 쓰던 휘는 얇은 자(spline)에서 왔다.

2. 다항식 스플라인의 정의 Polynomial Splines

실수 직선 위의 구간을 [a, b]라 하자. C^r[a, b]는 [a, b] 위에서 연속인 r차 도함수를 갖는 함수들의 공간을 뜻하고, Π_m은 차수가 m 이하인 다항식들의 집합을 뜻한다. 또한

Δ = {t₀, t₁, …, t_n+1}, a = t₀ < t₁ < ⋯ < t_n < t_n+1 = b

를 구간 [a, b]의 한 분할이라 하자. 이제 다항식 스플라인을 다음과 같이 정의한다.

이것은 매듭(knot) t_i (i = 1, …, n)를 n개 갖는, 차수 m의 다항식 스플라인들의 공간이다. 즉 각 부분구간 [t_i, t_i+1]에서는 차수 m 이하의 다항식이고, 전체로는 (m−1)차 도함수까지 연속인 함수들의 모임이다. 이런 스플라인을 표현하는 편리한 식은 다음과 같다.

여기서 절단멱함수(truncated power function)는

로 정의된다(괄호 안 윗줄은 t ≤ t_i일 때 0, 아랫줄은 t > t_i일 때 (t − t_i)^m이라는 뜻이다). 이 형식적 정의는 (다항식) 스플라인을 ‘매끄러운 조각별 다항식’이라고 느슨하게 부르는 것을 정당화해 준다.

해설 절단멱함수 한 항이 매듭 하나를 담당

위 표현식에서 앞쪽 합 Σα_itⁱ은 보통의 다항식이고, 뒤쪽의 절단멱항 β_i(t − t_i)₊^m은 매듭 t_i를 지나는 순간부터 비로소 “켜지는” 항이다. 매듭 이전에는 0이라 영향이 없고, 매듭을 지난 뒤에야 모양을 바꾼다. 이런 항을 매듭마다 하나씩 더해 주면, 매듭에서 m차 도함수만 점프하고 그보다 낮은 도함수는 매끄럽게 이어지는 함수가 자연스럽게 만들어진다.

다항식 스플라인은 다항식의 단순함을 누리면서도, 조각별로 구성되기 때문에 하나의 다항식보다 훨씬 융통성이 크다. 이른바 B-스플라인(B-spline) 표현은 효율적인 계산을 가능하게 한다. 스플라인은 보간(interpolation), 평활(smoothing), 함수 근사, 회귀(regression)에 두루 쓰인다. 함수 추정량으로서 빠른 수렴 성질을 가지며, 아래에서 보듯 어떤 최적성(optimality) 성질도 갖는다. 특히 3차 스플라인(cubic spline, 2차 도함수가 연속인 조각별 3차함수)이 인기가 높다. 계산 측면에서 3차 스플라인을 정하는 일은 단순히 선형방정식 계통(system of linear equations)을 푸는 것으로 끝난다. 생명표(life table) 작성에 3차 스플라인을 쓴 예도 있다.

3. 변분적 접근: 보간 문제 A Variational Approach to Interpolation

이제 스플라인에 대한 또 다른 접근, 곧 변분적(variational) 접근을 설명한다. 보간 문제는 다음과 같이 진술할 수 있다. a ≤ t₁ < t₂ < ⋯ < t_n ≤ b이고 z₁, z₂, …, z_n이 실수라고 하자. 보간의 일반 문제는 다음을 만족하는 ‘적당한’ 함수 φ를 찾는 것이다.

고전적 접근은 φ를 어떤 다항식으로 잡는 것이다. 그러나 이 보간 문제를 푸는 데 ‘더 좋은’ 함수가 있을까? 한 가지 답은 이렇다. 연속인 2차 도함수를 가지면서 φ(t_i) = z_i (1 ≤ i ≤ n)를 만족하는 모든 함수 φ 가운데, 다음 적분을 최소화하는 유일한 함수가 존재하며, 그 함수가 바로 3차 스플라인임이 밝혀진다.

이 최적화 문제의 목적함수 ∫(φ⁽²⁾(t))² dt는 구간 [a, b]에서 함수 φ가 얼마나 출렁이는가(oscillation)를 재는 자연스러운 척도다. 대략 말하면, 이것은 φ 모양을 한 얇은 보(thin beam)의 휨 에너지(bending energy)에 해당한다. 제도·공학에서 이런 얇은 보를 바로 스플라인이라고 부른다.

해설 "가장 덜 휘는 보간 곡선"이 곧 3차 스플라인

주어진 점들을 모두 지나는 곡선은 무한히 많다. 그중 “2차 도함수의 제곱적분”, 즉 휨 에너지를 가장 작게 만드는 곡선이 유일하게 결정되는데, 그것이 자연 3차 스플라인이다. 물리적으로는 못(=자료점) 위에 얇은 자를 얹었을 때 자가 스스로 취하는, 에너지가 가장 낮은 매끄러운 모양에 해당한다. 즉 “자료를 정확히 통과하되 가장 덜 출렁이는 곡선”이라는 직관과 정확히 맞아떨어진다.

이처럼 어떤 스플라인은 변분(즉 최적화) 보간 문제의 해다. 이것이 변분적 스플라인 접근의 출발점으로, 여기서는 보간 ‘스플라인’을 어떤 변분 보간 문제의 해로 정의한다. 문제를 설정하는 함수 공간을 바꾸거나, 최소화할 목적함수를 바꾸거나, 보간 조건의 유형을 바꿈으로써 서로 다른 종류의 변분적 스플라인을 만들 수 있다. 다만 이런 변분 문제의 해가 반드시 조각별 다항식인 것은 아니다. 두드러진 예가 여러 변수의 함수를 보간하는 변분적 접근을 제공하는 ‘박판(thin plate)’ 스플라인이다.

4. 평활 스플라인: 자료 충실도와 매끄러움의 균형 Smoothing Splines

변분적 스플라인은 특히 평활(smoothing) 문제에 유용하다. 위 보간 문제처럼 자료 (t_i, z_i), i = 1, 2, …, n이 있다고 하자. 그러면 연속인 2차 도함수를 가진 모든 함수 φ 가운데, 다음 범함수를 최소화하는 유일한 함수가 존재한다.

여기서 λ는 평활 상수(smoothing constant)라 부르는 주어진 양의 상수다. J(φ)를 최소화한다는 것은 자료에 대한 충실도(fidelity)와 φ의 매끄러움(smoothness) 사이의 균형을 찾으려는 것이다. 첫 항(잔차제곱합)이 작을수록 자료를 잘 따라가고, 둘째 항(휨 에너지)이 작을수록 곡선이 매끄럽다. λ가 이 둘의 상대적 비중을 조절한다.

해설 평활 상수 λ: 보간과 직선 사이의 다이얼

λ → 0이면 둘째(매끄러움) 항의 벌점이 사라져 곡선은 모든 자료점을 그대로 통과하는 보간 스플라인이 된다(잡음까지 따라감). 반대로 λ → ∞이면 매끄러움 벌점이 압도해 2차 도함수가 0인 함수, 즉 최소제곱 직선으로 수렴한다. 적절한 λ는 이 두 극단 사이에서 자료의 신호는 살리고 잡음은 걸러 낸다. 보험계리의 보정(graduation)에서 “관측 사망률에 충실하되 매끄러운 곡선을 얻는” 목표와 정확히 같은 발상이다.

예제 평활 상수 λ의 두 극단

평활 스플라인 목적함수 J(φ)에서 λ를 0에 가깝게, 또는 아주 크게 두면 추정 곡선은 각각 어떤 모양이 되는가?

λ → 0: 잔차제곱합만 중요해져 자료점을 모두 통과하는 보간 3차 스플라인이 된다(가장 울퉁불퉁, 잡음에 민감). λ → ∞: 휨 에너지 벌점이 지배해 2차 도함수가 거의 0인 함수, 즉 회귀 직선에 수렴한다(가장 매끄러움, 자료 충실도 낮음). 실무에서는 둘 사이의 λ를 교차검증 등으로 골라 신호와 잡음을 절충한다.

이 변분적 해석의 바탕에는 힐베르트 공간(Hilbert space)에서의 추상적 접근이 있다. 이 접근은 아테이아(Atteia)와 그 동료들이 오랜 세월에 걸쳐 발전시켜 왔다. 보간과 평활에 대한 변분적 접근은 제약(constrained) 문제로도 확장할 수 있다.

5. 스플라인과 보험계리 Splines in Actuarial Science

앞서 보았듯 스플라인의 뿌리에는 보험계리의 보정(graduation) 전통이 있다. 휘태커(Whittaker)·로빈슨(Robinson)의 고전적 보정법에서 “관측값에 대한 충실도 + 매끄러움 벌점”을 결합해 최소화하는 발상은, 위에서 본 평활 스플라인의 목적함수 J(φ)와 본질적으로 같은 구조다. 그레빌의 접촉 보간 공식, 3차 스플라인을 이용한 생명표 작성 등은 보험계리에서 스플라인이 직접 활용된 대표적인 예다.

해설 보정·평활·스플라인은 한 가족

보험계리의 보정(graduation), 통계의 비모수회귀(평활), 수치해석의 스플라인은 서로 다른 이름이지만 “자료를 따르되 매끄럽게”라는 동일한 최적화 발상을 공유한다. 벌점항(휨 에너지)과 평활 모수(λ)를 통해 거칢–매끄러움 절충을 조절한다는 점에서, 이들은 사실상 같은 수학적 가족에 속한다.

참고 및 관련 표제어

관련 표제어. 보정(Graduation) · 평활(Smoothing) · 회귀(Regression) · 곡선적합(Curve Fitting) · 비모수회귀(Nonparametric Regression / Statistics) · 금리기간구조모형(Interest-rate Modeling)

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

스플라인 (spline) — 구간을 매듭으로 나눠 각 토막을 낮은 차수 다항식으로 맞추되, 매듭에서 매끄럽게 이어지도록 한 조각별 다항식 함수.
조각별 다항식 (piecewise polynomial) — 구간마다 서로 다른 다항식으로 정의되는 함수.
매듭 (knot, t_i) — 조각이 바뀌는 경계점. 매듭 개수와 위치가 스플라인의 유연성을 정한다.
3차 스플라인 (cubic spline) — 각 토막이 3차함수이고 2차 도함수까지 연속인 스플라인. 가장 널리 쓰인다.
B-스플라인 (B-spline) — 국소적 받침을 갖는 기저함수로 스플라인을 표현하는 방법. 계산이 효율적이고 수치적으로 안정적이다.
절단멱함수 (truncated power function) — 매듭 이전에는 0이고 매듭을 지난 뒤에야 (t − t_i)^m으로 켜지는 항. 매듭 하나를 표현한다.
보간 (interpolation) — 주어진 자료점을 정확히 통과하는 함수를 찾는 것.
평활 스플라인 (smoothing spline) — 자료 충실도(잔차제곱합)와 매끄러움(휨 에너지)의 벌점합을 최소화하는 스플라인.
평활 상수 (smoothing constant, λ) — 자료 충실도와 매끄러움 사이의 비중을 조절하는 양의 모수.
보정 (graduation) — 관측된 사망률 등 거친 자료를 매끄러운 곡선으로 다듬는 보험계리 기법. 스플라인의 역사적 뿌리.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

스플라인은 한국 계리 실무에서 경험위험률 및 해지율 보정·평활에 가장 넓게 활용된다. 제10회 경험생명표(2024.4 적용, 평균수명 남 86.3세/여 90.7세)는 원시 관측 사망률에 Whittaker-Henderson·P-스플라인 평활을 거쳐 공표된다. 국내 생보사도 자체 경험생명표 작성 시 고연령 구간의 노이즈를 제거하고 단조성을 유지하기 위해 삼차 스플라인 또는 페날티 스플라인을 사용한다. K-ICS 계리적 가정 설정에서도 "고연령 외삽"이 문제가 되는데, 스플라인 외삽은 선형·지수 외삽 대비 연속성과 매끄러움을 보장해 선호된다.

IFRS17 할인율 커브 산출에서도 스플라인이 등장한다. 금융감독원은 유동성 프리미엄 추정에 스왑 금리의 Nelson-Siegel 혹은 스플라인 기반 수익률 커브 적합을 허용하며, 보험사는 커브의 매끄러움과 시장 금리 적합도를 동시에 충족시켜야 한다. 이때 매듭점(knot) 개수와 위치 선택이 장기 할인율의 궤적에 직접 영향을 미치므로, 매듭점 선택 방법론을 내부 정책으로 문서화하는 것이 감독 당국의 기대 사항이다.

자동차보험 참조순보험요율 산출과 GLM 기반 요율 산정에서도 연속형 변수(차령·연령 등)의 비선형 효과를 포착하기 위해 자연 삼차 스플라인 또는 B-스플라인 기저를 사용하는 사례가 증가하고 있다. 이는 GAM(일반화가법모형)과 결합되어 요율 산정의 정확도를 높인다.

실무 경험생명표 평활 시 스플라인 매듭점 관리

경험생명표 작성 시 매듭점을 너무 적게 설정하면 관측 데이터의 국소 패턴을 놓치고, 너무 많이 설정하면 과적합으로 단조성이 무너진다. 국내 실무에서는 Bayesian 정보기준(BIC)·AIC로 최적 매듭 수를 결정한 뒤, 최종 생명표의 사망률 변화율(개선지수)이 인접 연령과 단조성을 유지하는지를 별도로 확인한다. 고연령(85세+) 구간의 관측 건수가 적은 경우 스플라인 외삽이 급격히 발산하지 않도록 경계 조건(boundary constraint)을 부가하는 것이 표준 처리다.

[한국보험시장 현황]은 한국 보험시장 실무 관점(2026.6 기준)에서 추가 작성한 것임. · 원문: Encyclopedia of Actuarial Science (Wiley, 2004), "Splines", R. Champion, C.T. Lenard & T.M. Mills. · 본 해설서의 [해설]·[예제]·[부록]은 학부 입문 학습용으로 추가·구성한 것임.